参数化谱风险测度的渐近分析

因此，我们得到ρX，Yα=r（1）- r（0）≥ r（0）=E[Y]，（3.8），其中上述关系中的最后一个等式来自（见[27]中的（5.12））hVaRα（X+hY）=E[Y | X+hY=VaRα（X+hY）]（3.9）和h类h=0ρα（X+hY）=Zh类由于支配收敛定理，h=0VaRu（X+hY）φα（u）du=E[Y]。因此，如果β+1<γ，则≤ ρX，Yα~ ρEulerα（Y | X+Y）-→E[Y]，α→ 1、在第4节中，我们对上述关系进行了数值验证。注意，我们还可以验证[C4]下的假设版本。备注2。（i） 如果FX是连续的，那么FX（X）在（0，1）上具有均匀分布（例如，参见文献[17]中的引理a.21）。因此，β<γ的M（α）≤ β+1重写为“M（α）=kβEQXα[Xβ+1-γ] 式中，eqxα表示关于概率度量eqxα的期望运算符，定义为dqxαdP=φα（FX（X））。（3.10）注意，我们有ρα（X）=EQXα[X]，因此QXα表示在ρα（X）的以下稳健表示中达到最大值的风险情景：ρα（X）=maxQ∈QEQ[X]，其中Q是(Ohm, F） 。还要注意，如果ρα=ESα，则qxα由dqxαdP=1给出- α{X≥VaRα（X）}，因此eqxα[Xβ+1-γ] =E[Xβ+1-γ| X≥ VaRα（X）]。在备注2结束之前，我们假设fx和fy是连续的。（ii）事实上，我们可以放宽独立条件[C1]，以便在可忽略的联合尾条件下，X可以弱依赖于Y（见[20]中的备注A.1）。在这种情况下，在一些其他假设下，如[20]中的[A5]和[A6]，我们可以做出与定理1相同的断言，其中定义（3.4）M（α）中的值e[Y]替换为等式xα[Y]。特别是，如果β+1<γρX，Yα~方程xα[Y]，α→ 1.（3.11）事实上，我们在附录B中的证明也适用于【20】中的定理A.1，而不是第4.1条。

请注意，我们需要一些附加条件才能得到thatlim infα→∞方程xα[Y]>0（3.12）（见附录B中的命题3）。（iii）如【20】的附录A.1所述，我们可以通过转换X+Y和X的角色，并通过施加修改（尽管有些正式）的数学条件，如【20】中的【A5’]和【A6’]，来获得定理A.1的另一个版本。特别是，如果β+1<γ，我们可以看到VaRX，Yα~E[Y | X+Y=VaRα（X+Y）]，α→ 1（3.13），然后（通过与定理1（3.13）相同的证明）ρX，Yα~EQX+Yα[Y]=ρEulerα（Y | X+Y），α→ 1（3.14）在某些假设下。这里，QX+Yα是由（3.10）定义的概率度量，用X+Y替换X。如果X和Y是独立的（根据密度函数的自然假设），那么（3.7）意味着（3.14）也是正确的。这里，请注意，（3.14）的最后等式是由（1.3）、（3.9）和支配收敛定理得到的。实际上，我们有ρEulerα（Y | X+Y）=ZE[Y | X+Y=VaRu（X+Y）]φα（u）du=EQX+Yα[Y]（3.15），因为FX+Y（X+Y）均匀分布在（0，1）上。在附录A中，我们将表明，在一些比[20]中的[A5]–[A6]和[A5’–[A6’]更自然的技术条件下，即使X和Y是相依的，在β+1<γ的情况下，关系（3.11）和（3.14）也同时成立。注意，如果ρα=ESα，则方程X+Yα[Y]=Esulerα（Y | X+Y）=E[Y | X+Y≥ VaRα（X+Y）]，被称为分量CVaR（也称为CVaR贡献），并被广泛使用，尤其是在信贷组合风险管理实践中（参见示例[1、19、24]）。4数值分析在本节中，我们对ρX，Yα。

在本节中，我们假设X和Y的分布分别为GPD（ξX，σX）和GPD（ξY，σY），其中ξX，ξY∈ （0，1）和σX，σY>0，其中GPD（ξ，σ）表示广义帕累托分布，其分布函数由1给出- （1+ξx/σ）-1/ξ，x≥ 0.然后，\'fx和\'fy满足（3.1），β=1/ξx，γ=1/ξY。注意，条件[C3]满足k=σYξY1/ξYσXξX-1/ξX（见[20]中的（5.2））。另请注意，VaRα（X）和VaRα（Y）解析解为VaRα（X）=σXξX(1 - α)-ξX- 1., VaRα（Y）=σYξY(1 - α)-ξY- 1..我们数值计算VaRX，Yα，ESX，Yα，ρEXP，X，Yα，ρPOW，X，Yα和ESEulerα，其中为了简洁起见，我们将letESEulerα=ESEulerα（Y | X+Y）。在所有计算中，我们确定σx=100，σY=80。对于ξx和ξY，我们检查了几种模式来研究以下三种情况：（i）β+1<γ，（ii）β<γ≤ β+1和（iii）β=γ。如果（i）β+1<γ，我们设置ξX=0.5，ξY=0.1。因此，β=2和γ=10，因此β+1<γ保持不变。图1显示了ESX，Yα，ρEXP，X，Yα，ρPOW、X、Yα和ESEulerα。每当α∈ （0，1），它们在α和→ 0和α→ 事实上，limα→0ρX，Yα=E[X+Y]-E[X]=E[Y]（4.1）成立，因为φESα（u）、φEXPα（u）、φPOWα（u）-→ 1, α → 每个u为0∈ [0，1）.极限为α→ 1是定理1的结果。此外，这些图的形式是单峰的。即函数α→ 对于某些α，ρX，Yα在（0，α）上增大，在（α，1）上减小∈ (0, 1).直觉上ρX，Yα似乎随着α的增加而变大，因为α越大意味着风险敏感性越高。然而，我们的结果表明，在某些α<1的情况下，将损失变量添加到先前风险文件X中的影响最大。图2显示了ESX、Yα和VaRX，Yα。我们看到了ESX，Yα在α=α时取最大值，其中α是VaRX，Yα=ESX，Yα。

（4.2）事实上，我们有以下结果。提案1。如果存在唯一解α∈ （0，1）到（4.2），然后max0<α<1ESX，Yα=ESX，Yα。请注意，与SRM的情况不同，如果α很小，则VaRX，Yα取一个小于e[Y]的值。这是因为VaR不是凸风险度量，因此ρα=VaRα的关系（3.8）不能保证。特别是，我们观察到LIMα→0VaRX，Yα=essinf（X+Y）- essinf X=0。（4.3）情况（ii）β<γ≤ β+1图3显示了近似误差，定义为误差α=(R)M（α）ρX，Yα- 1（4.4），其中ξX=2/3（β=1.5），ξY=0.5（γ=2）。我们看到误差α接近于0，即α→ 对于ρα=ESα，ρEXPα，ρPOWα的每种情况，都是1。此外，我们在数值上验证了图4中ρα=ESα的Theorem2断言。我们观察到，Mα/ESEulerα收敛到δ=1/γ=ξY=0.5，为α→ 1、相比之下，误差α的收敛速度为α→ 如果X和yar的尾部脂肪尾较少，则1会减少。图5显示了误差α，其中ξX=2/7（β=3.5），ξY=0.25（γ=4）。我们发现，误差α随着α趋于1而减小，但误差α和0之间的差距仍然很大，即使在α=0.999的情况下也是如此。案例（iii）β=γ最后，我们来看案例ξX=ξY=0.7。结果总结在图6和图7中。我们看到误差α接近0，为α→ 对于ρα=ESα、ρEXPα、ρPOWα的每种情况，为1。我们还证实，M（α）/ESEulerα收敛于δ={1+k- （1+k）1-1/β}/k≈ 0.870 asα→ 1、与情况（ii）类似，误差α的收敛速度随着X和Ybecome尾部的变薄而减小。图8显示了ξX=ξY=0.3时的误差α图。近似误差趋于零，为α→ 1，但仍小于-20%即使当α=0.999.5时，也包含了一些标记。本文研究了ρα（X+Y）和ρα（X）之间差异的渐近行为→ 1当ρα是满足（1.2）的参数化SRM时。

我们已经证明了ρX，Yα渐近等价于（3.4）中给出的？M（α），其形状根据X和Y尾部厚度的相对大小而变化。特别是，对于β+1<γ，我们发现了收敛limα→1.对于一般CLBSRMs（ρα）α，ρX，Yα=E[Y]。此外，我们还发现ρX，Yα~ ΔρEulerα（Y | X+Y）为α→ 常数δ为1∈ （0，1）由（3.6）给出。这阐明了边际风险贡献和Eulercontribution之间的渐近关系。我们在β+1<γ情况下的数值结果表明ρX，Yα不增加，但相对于α是单峰的，这意味着组合X+Y中Y的影响并不总是随着α增加。有趣的是，这种现象与直觉不一致。我们的结果基本上取决于X和Y是独立的假设。然而，损失变量X和Y的依赖结构在金融风险管理中起着至关重要的作用。ρα=VaRα的依赖X和Y的情况已经在[20]的第A.1节中进行了研究。如备注2所述，我们现在将此结果推广到CLBSRMs的情况。然而，我们需要一个有点强的假设，即X和Y之间并不是强烈依赖的。通过下面附录A中的额外分析，我们将看到，如果β+1<γ，我们的主要结果仍然适用于一般依赖结构，但如果β≤ γ ≤ β + 1. 在未来的工作中，我们将继续研究ρX，Yα为α→ 1、无独立条件。在简短地考虑相依情况后，我们简要地研究了ρX，Yα为α→ 当X和Y不独立时为1。在本节中，我们假设外汇、FY和外汇+是连续的。因此，（3.8）重写为ρX，Yα≥方程xα[Y]。将这个结果与（3.3）相结合，我们得到了eqxα[Y]≤ ρX，Yα≤方程x+Yα[Y]。

（A.1）请注意，每当（3.9）成立时，（A.1）适用于一般SRMρα。A、 1共单调情形我们考虑X和Y是共单调的情形。换句话说，它们是完全正相关的（参见[17]中的定义4.82和[22]中的定义5.15）。在这种情况下，下面的命题将直接显示出来。提案2。如果X和Y是共单调的，那么ρX，Yα=EQXα[Y]=EQX+Yα[Y]=ρα（Y）。（A.2）这个命题意味着，当β+1<γ时，即使X和Y强相关，渐近关系（3.11）和（3.14）仍然成立，但当β≤ γ ≤ β + 1.A、 2额外的数值分析类似于第4节，我们假设X~ GPD（ξX，σX）和Y~ σX=100，σY=80的GPD（ξY，σY）。为了描述X和Y之间的依赖关系，我们引入了copula。根据Sklar定理，我们可以看到联合分布函数F（X，Y）（X，Y）=P（X≤ x、 Y型≤ y） 随机向量（X，y）的值由f（X，y）（X，y）=C（FX（X），FY（y）），对于copula C:[0，1]-→ [0，1]，这是一个具有均匀边缘的分布函数。这里，我们检查以下三个copula：（a）高斯copula CGaussρ（u，v）=Φ（Φ-1（u），Φ-1（v）），-1<ρ<1，（b）Gumbel copula CGumbelθ（u，v）=exp-((-对数u）θ+(-对数v）θ）1/θ, θ ≥ 1，（c）反单调copula Ccmon（u，v）=max{u+v- 1，0}，其中Φ（x）=Zx-∞e-是/2/√2πdy是标准正态分布的分布函数（有关copulas的更多详细信息，请参见[22]第5章）。参数ρin（a）和θin（b）描述了X和Y之间依赖性的强度。在本节中，我们始终设置ρ=0.3和θ=3。如果C=Ccmon，则X和Y完全负相关。

特别是，在这种情况下，X和Y表示为X=F-1X（U）andY=F-1年（1- U） ，其中U是均匀分布在（0，1）上的随机变量。图9总结了ξX=0.5和ξY=0.1的结果。我们比较ρX，Yα（ρα=ESα，ρEXPα，ρPOWα）和Esulerα（Y | X+Y）。我们发现，通过让α→ 注意，当x和Y是反单调的时，它们会收敛到零作为α→ 1，因此（3.12）在这种情况下不成立。图10显示了当我们设置ξX=2/3和ξY=0.5时，ρα=ESα、ρEXPα、ρPOWα的相对误差图（4.4）。我们发现误差α不收敛为零→ 图11中观察到类似现象，设定值ξX=ξY=0.7。因此，当β≤ γ ≤ 如果X和Y相关，则β+1。请注意，上述发现与共单调情形（命题2）一致。A、 3理论结果在β+1<γ的情况下，我们描述了以下条件。【C5】对于每个y≥ 0，FX（·| Y=Y）在[0]上有一个正的、非递增的密度函数FX（·| Y=Y），∞), 其中，FX（·| Y=Y）是给定Y=Y的X的条件分布函数。此外，FX（X | Y=Y）在X和Y中是连续的。[C6]有一个κ∈ R使得fX（x | Y=Y）在以下意义上随指数κ均匀有规律地变化：supy≥0fX（tx | Y=Y）fX（x | Y=Y）- tκ-→ 0，x→ ∞ （A.3）对于每个t>0。此外，外汇+收益率有规律地变化。[C7]SUPX是这样的≥0E[Yη| X=X]+supz≥0E[Yη| X+Y=z]<∞ （A.4）对于某些η>最大值{-κ - β, 1}.条件【C5】–【C7】与【20】中的条件【A5】–【A6】强烈对应。应该注意的是，假设索引参数κ等于-β - 1在[20]中的条件[A6]中，但该等式不是获得结果所必需的。还请注意，κ可能与-β - 1.

实际上，我们可以验证，至少在数字上，对于每个y≥ 0，函数fx（·| Y=Y）随指数κ=-1.- β/(1 - ρ） （分别为κ=-θβ - 1） 如果我们采用C=CGaussρ（分别，C=CGumbelθ）作为随机向量（X，Y）的copula，其边缘分布由广义Pareto分布给出。使用与一致收敛定理（Theorem1.2.1 in[10]）的证明中类似的参数，以及fX（x | Y=Y）在Y中的连续性，我们从（a.3）得到∈Ksupy公司≥0fX（tx | Y=Y）fX（x | Y=Y）- tκ-→ 0，x→ ∞, （A.5）对于每个压缩集K (0, ∞).我们现在介绍以下结果。定理3。假设[C5]–[C7]和（3.12）。如果β+1<γ，则认为等式xα[Y]~ ρX，Yα~方程x+Yα[Y]，α→ 这个定理声称（3.11）和（3.14）在某些条件下都是真的，即使nx和Y是相依的。引理1的证明。假设（2.5）。修复任何u∈ [0，1）。那么，（2.5）意味着limα→1Z（1+u）/2uφα（v）dv=0。（B.1）因为φα是非递减的和非负的，所以我们看到z（1+u）/2uφα（v）dv≥1.- uφα（u）≥ 0。（B.2）结合（B.1）和（B.2），我们得到limα→0φα（u）=0。相反，如果我们假设（2.6），那么普罗霍罗夫定理意味着对于每个递增序列（αn）n≥1. （0，1）limnαn=1时，还有一个子序列（αnk）k≥1和[0，1]上的概率度量u，使得Φαnk弱收敛到uas k→ ∞. 然后，foreachβ∈ （0，1），我们看到0≤ u([0, β)) ≤ lim信息→∞Zβφαnk（u）du≤ lim信息→∞βφαnk（β）=0。这立即导致u（[0，1））=0，因此u=δ。因此，我们得出（2.5）。命题1的证明。设f（α）=ESX，Yα。我们观察到f（α）=（1- α） Zα玉都瓦克斯-1.- αVaRX，Yα=g（α）1- α、 其中g（α）=ESX，Yα-VaRX，Yα。通过（4.1），（4.3）和定理1，我们可以看到g是连续的（0，1），g（0+）=E[Y]>0和g（1-) = 此外，根据假设，对于所有α，g（α）=0，g（α）6=0∈ (0, 1) \\ {α}.

总之，这意味着g是正的（0，α），负的（α，1），而FH是相同的模式。因此，f（α）在α=α时取最大值。命题2的证明。因为ρα是共单调的，我们显然有ρX，Yα=ρα（X）+ρα（Y）- ρα（X）=ρα（Y）。这里，我们看到X=F-1X（U）和Y=F-1Y（U），对于一些均匀分布在（0，1）上的随机变量U（参见[17]中的引理4.89–4.90及其证明）。那么我们有e[Y | X=VaRα（X）]=F-1Y（α）=VaRα（Y），thusEQXα[Y]=ZVaRu（Y）φα（u）du=ρα（Y）。类似地，因为F-1X+Y=F-1X+F-1Y，我们有e[Y | X+Y=VaRα（X+Y）]=VaRα（Y），andEQX+Yα[Y]=ρα（Y），这完成了证明。B、 定理1的证明我们首先陈述并证明一些命题。为此，将f表示为（3.5）。再次注意，（3.4）中定义的满足度M（α）=Z（u）φα（u）du。提案3。lim infα→1μM（α）>0。证据如果β+1<γ，我们可以看到\'f（α）=E[Y]>0，因为Y是非负的，\'fy是正的。如果β<γ≤ β+1，我们观察到M（α）≥kβZαVaRu（X）β+1-γφα（u）du，≥kβVaRα（X）β+1-γ1.-Zαφα（u）du,-→kβVaRα（X）β+1-γ> 0, α → 1，其中α∈ （0，1）是满足VaRα（X）>0的实数。可以使用[10]中的命题1.5.1和1.5.15证明这种α的存在。同样，如果β=γ，我们有lim-infα→1米（α）≥ {（1+k）1/β- 1} VaRα（X）>0。提案4。0≤Z'f（u）du<∞.证据如果β+1<γ，则从β>1的假设来看，断言是显而易见的。如果β<γ≤ β+1，我们看到0≤Z'f（u）du=kβE[Xβ+1-γ] ≤kβE[X]β+1-γ< ∞,因为0<β+1- γ < 1. 如果β=γ，我们有0≤Z'f（u）du={（1+k）1/β- 1} E[X]<∞. 推论1。\'M（α）<∞, α ∈ (0, 1).证据这源于（3.2）和命题4。定理1的证明。设f（α）=VaRX，Yα，α∈ (0, 1). 注意LIMα→根据【20】中的定理4.1（i）–（iii），1f（α）(R)f（α）=1，（B.3）。此外，（B.3）立即暗示LIMα→1supu∈[α,1)f（u）(R)f（u）- 1.= 0

（B.4）此外，它认为ZF（u）du=ZVaRu（X+Y）du-ZVaRu（X）du=E[X+Y]-E[X]=E[Y]<∞, （B.5）因此f是可积的。命题4保证了f的可积性。临时固定任何δ∈ (0, 1). 从（2.6）和（B.5）中，我们很容易看到（0≤)Zδf（u）φα（u）du≤ φα（δ）Zf（u）du-→ 0, α → 1.（B.6）同样，我们有limα→1Zδ′f（u）φα（u）du=0。（B.7）此外，我们还有rδf（u）φα（u）du'M（α）=Zδf（u）'f（u）ψα（u）du，（B.8），其中ψα（u）=f（u）φα（u）/'M（α）。利用（B.7）和命题3，我们得到了zΔψα（u）du=1-\'M（α）Zδ\'f（u）φα（u）du-→ 1, α → （B.9）根据（B.8）和（B.9），我们已经Rδf（u）φα（u）du'M（α）- 1.≤Zδf（u）(R)f（u）- 1.ψα（u）du+ZΔψα（u）du- 1.≤ supu公司∈[δ,1)f（u）(R)f（u）- 1.+ZΔψα（u）du- 1.-→ supu公司∈[δ,1)f（u）(R)f（u）- 1., α → 1、结合（B.6）和命题3，我们得出atlim supα→1.ρX，Yα′M（α）- 1.≤ supu公司∈[δ,1)f（u）(R)f（u）- 1..因为δ∈ （0，1）是任意的，我们通过（B.4）获得所需的断言。B、 2为简洁起见，定理2Let Z=X+Y的证明。我们看到Z有一个密度函数fz（Z）=ZzfX（Z- y） fY（y）dy=ZzfX（x）fY（z- x） dx。引理2。fZis正且持续开启（0，∞). 此外，FZI随指数有规律地变化-最小值{β，γ}- 它认为→∞zfZ（z）(R)FZ（z）=最小值{β，γ}。（B.10）证明。连续性和积极性是显而易见的。通过【C4】和【9】中的定理1.1，我们可以看到Fz（z）~ fX（z）+fY（z），z→ ∞ fZis随指数max有规律地变化{-β -1.-γ -1} = -最小值{β，γ}- 最后一个论断是由[10]中的命题1.5.10得出的。设FY（·| Z=Z）是给定Z=Z的Y的条件分布函数。那么我们有e[Y | Z=Z]=Z∞yFY（dy | Z=Z）。（B.11）提案5。它认为fy（y | Z=Z）=Zy∧zfX（z- y） fZ（z）fY（y）dy，y，z≥ 0.证明。对于每个y、z≥ 0，一个简单的计算∧zfX（z- y） fZ（z）fY（y）dyfZ（z）dz=P（y≤ y、 Z≤ z） ，这意味着我们的主张。