参数化谱风险测度的渐近分析

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英文标题：
《Asymptotic Analysis for Spectral Risk Measures Parameterized by
  Confidence Level》
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作者：
Takashi Kato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the asymptotic behavior of the difference $\\Delta \\rho ^{X, Y}_\\alpha := \\rho _\\alpha (X + Y) - \\rho _\\alpha (X)$ as $\\alpha \\rightarrow 1$, where $\\rho_\\alpha $ is a risk measure equipped with a confidence level parameter $0 < \\alpha < 1$, and where $X$ and $Y$ are non-negative random variables whose tail probability functions are regularly varying. The case where $\\rho _\\alpha $ is the value-at-risk (VaR) at $\\alpha $, is treated in Kato (2017). This paper investigates the case where $\\rho _\\alpha $ is a spectral risk measure that converges to the worst-case risk measure as $\\alpha \\rightarrow 1$. We give the asymptotic behavior of the difference between the marginal risk contribution and the Euler contribution of $Y$ to the portfolio $X + Y$. Similarly to Kato (2017), our results depend primarily on the relative magnitudes of the thicknesses of the tails of $X$ and $Y$. We also conducted a numerical experiment, finding that when the tail of $X$ is sufficiently thicker than that of $Y$, $\\Delta \\rho ^{X, Y}_\\alpha $ does not increase monotonically with $\\alpha$ and takes a maximum at a confidence level strictly less than $1$.
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中文摘要：
我们研究了差分$\\Delta\\rho ^{X，Y}\\uAlpha的渐近行为：=\\rho\\uAlpha（X+Y）-\\rho\\uAlpha（X）$作为$\\alpha\\rightarrow 1$，其中$\\rho\\uAlpha$是一个带有置信水平参数$0<\\alpha<1$的风险度量，其中$X$和$Y$是尾部概率函数有规律变化的非负随机变量。加藤（2017）处理了$\\ rho \\u \\ alpha$为$\\ alpha$的风险价值（VaR）的情况。本文研究了$\\ rho \\u \\ alpha$是一个谱风险度量，它收敛到最坏情况下的风险度量$\\ alpha \\ rightarrow 1$。我们给出了边际风险贡献与欧拉贡献之差的渐近行为。与加藤（2017）类似，我们的结果主要取决于$X$和$Y$尾部厚度的相对大小。我们还进行了一个数值实验，发现当$X$的尾部比$Y$的尾部足够厚时，$\\ Delta\\rho ^{X，Y}\\uAlpha$不会随$\\ alpha$单调增加，并且在严格小于1$的置信水平上取最大值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Asymptotic_Analysis_for_Spectral_Risk_Measures_Parameterized_by_Confidence_Level.pdf (5.08 MB)

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关键词：Contribution Probability Asymptotic confidence difference

谱风险度量的渐近分析参数由日本千代田县小町市数学金融实验室（AMFiL）2-10的Takashi KatoAssociation（置信水平）确定，东京102-0083。kato@mathfi-lab.COM 2017年11月20日摘要我们研究差异的渐近行为ρX，Yα：=ρα（X+Y）-ρα（X）为α→ 1，其中ρα是一个风险度量，具有置信水平参数0<α<1，其中X和Y是尾部概率函数有规律变化的非负随机变量。ρα是α的风险值（VaR）的情况在【20】中处理。本文研究了ρα是一个谱风险测度，收敛到最坏情况下的风险测度α的情况→ 1、我们给出了Y对portfolioX+Y的边际风险贡献和Euler贡献之间差异的渐近行为。与[20]类似，我们的结果主要取决于X和Y尾部厚度的相对大小。我们还进行了数值实验，发现当X的尾部比Y的尾部厚很多时，ρX，Yα不随α单调增加，在置信水平严格小于1时取最大值。关键词：谱风险度量、定量风险管理、渐近分析、极值理论、Euler贡献1简介本文的目的是研究差异的渐近行为ρX，Yα：=ρα（X+Y）- ρα（X）（1.1）为α→ 其中X和Y是厚尾随机变量（损失变量），而（ρα）0<α<1是一系列风险度量。文献[20]中讨论了ρα是α百分位风险值（VaR）的情况，其中表明VaRX，Yα根据X和Y尾部厚度的相对大小进行变化（VaR的定义在下一节的（2.1）中给出）。

在本文中，我们研究了ρα作为参数化谱风险度量的一种推广情况，得到了与文献[20]相似的结果。特别是，我们发现，如果X和Y是独立的，并且如果X的尾部比Y的尾部更胖，那么ρX，Yα收敛到期望值e[Y]为α→ 1每当（ρα）0<α<1时，光谱风险度量值会收敛到最坏情况下的风险度量值。也就是说，每当ρα（Z）-→α→1ess supωZ（ω）（1.2），在某种意义上，每个损失随机变量Z。我们的结果不需要ρα的任何特定形式，这意味着该性质是稳健的。此外，假设X和Y的概率密度函数的一些技术条件，我们研究了Euler贡献的渐近行为，定义为ρEulerα（Y | X+Y）=hρα（X+hY）h=1（1.3）（见[29]中的备注17.1），并表明ρX，Yα渐近等价于ΔρEulerα（Y | X+Y）asα→ 1、这里，δ∈ （0，1）是根据X和Y尾部厚度的相对大小确定的常数。我们现在简要回顾一下本研究的财务背景。在定量财务风险管理中，重要的是通过使用适当的风险度量来捕捉尾部损失事件。最标准的风险度量之一是VaR。巴塞尔协议提供了一套推荐《银行业监管条例》基本上建议使用VaR作为银行风险资本的衡量标准。变量确实简单、有用，而且它们的值很容易解释。例如，以Xm计算的年度99.9%VaR意味着已实现损失大于xis 0.1%的风险事件的概率。换言之，风险资本的数额足以以99.9%的概率防止违约。因此，坐标轴的含义很容易理解。然而，VAR经常因其次可加性不足而受到批评（例如，参见[2,4,15]）。

VAR不反映风险分散效应。预期缺口（ES）被提议作为一种不同的（尤其是次加性）可处理的替代风险度量，风险金额至少为相应VaR的风险金额。请注意，ES有多种版本，如条件风险值（CVaR）、平均风险值（AVaR）、尾部条件期望（TCE），和最坏条件期望（WCE）。在某些自然条件下，这些都是等效的（见[3-6]）。应该注意的是，巴塞尔协议最近也将采用ESs作为最低资本要求，以便更好地捕获市场尾部风险（例如，参见[7，8]）。文献[2]中提出了一种谱风险度量（SRM），作为ESs的推广。SRM以权重函数φ为特征，该函数表示风险管理者每一级别的重要性。SRM等价于共单调律不变的相干风险度量（见下一节的备注1）。VAR和ESs作为风险度量取决于置信水平参数α∈ (0, 1). Welet VaRα（resp.，ESα）表示置信水平为α的VaR（resp.，ES）。当α接近1时，VaRα和ESα的值在无约束条件下增加，如（1.2）所示。参数α对应于风险经理的风险规避水平。α值越高，表明风险管理者越厌恶风险，尾部风险越严重。在本文中，我们考虑了一个由置信水平α参数化的SRM族（ρα）0<α<1。我们作出了一个数学假设，直观地暗示了情况（1.2），并研究了（1.1）和（1.3）作为α的渐近行为→ 1，当X（resp.，Y）的尾部概率函数随指数有规律变化时-β（分别为。，-γ).

我们的主要定理断言，（1.1）和（1.3）的交感行为强烈依赖于β和γ的相对大小。注意，我们的结果包括ρα=ESα的情况，其中的包含在【20】中作为未来任务进行了讨论。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们准备了基本设置，并介绍了基于可信度的SRM定义。在第3节中，我们给出了我们的主要结果。我们对第4节中的结果进行了数值验证。最后，第5节总结了我们的研究。在本文的主要部分，我们假设X和Y是独立的。附录A中研究了X和Y不独立的更一般情况。附录B.2序言部分给出了所有证明(Ohm, F、 P）是一个标准概率空间，让L+表示定义的一组非负态变量(Ohm, F、 P）。对于每个Z∈ L+，我们用Fz表示Z的分布函数，用FZits尾部概率函数表示；也就是说，FZ（z）=P（z≤ z） 和'FZ（z）=P（z>z）。此外，对于每个α∈ （0，1），我们定义α（Z）=inf{Z∈ RP（Z≤ z）≥ α}. （2.1）注意，VaRα（Z）正是FZ广义逆函数的左连续版本。我们现在介绍SRM的定义。定义1。（i） 一个Borel可测函数φ：[0，1）-→ [0, ∞) 如果φ为右连续、非递减且满足φ（α）dα=1，则称为容许谱。（2.2）（ii）风险度量ρ：L+-→ [0, ∞) 如果存在ρ=Mφ的容许谱φ，则称为SRM，其中Mφ（Z）=ZVaRα（Z）φ（α）dα，Z∈ L+。备注1。SRM具有法律不变性、共单调性和一致性风险度量。然而，如【17、18、21】所示，如果(Ohm, F、 P）是无原子的，那么对于任何定律不变的共单调凸风险测度ρ，在[0，1]上有一个概率测度u，使得ρ（Z）=ZESα（Z）u（dα），（2.3）对于每个Z∈ L∞(Ohm, F、 P）。

这是由于广义Kusuoka表示定理（文献[17]中的定理4.93），其中ESα（Z）是Z的α-百分位数预期短缺：ESα（Z）=1- αZαVaRu（Z）du。（2.4）此外，这样的ρ始终是一致的，并且满足Fatou性质[18]。此外，表示（2.3）也可以重写为ρ（Z）=Mφu（Z），其中φu（α）=Z1- u[0，α]（u）u（du）。在这里，很容易看出φu是非负的、非递减的、右连续的，并且满足φu（α）dα=Z1- uZ{0≤u≤α} dαu（du）=1，意味着φu是一个容许光谱（见【25】）。因此，任何具有法律不变性的共单调凸（或相干）风险测度都被完全刻画为SRM。参数类似于上述参数，替换为L∞(Ohm, F、 P）带Lp(Ohm, F、 P），其中1≤ p<∞, 可以在[23，25]中找到。接下来，我们介绍一个由置信水平α参数化的SRM族（ρα）0<α<1。定义2。设（φα）0<α<1为容许谱族，ρα=Mφα。如果Φα，则（ρα）0<α<1称为一组基于置信水平的光谱风险度量（CLBSRMs）-→wδ，α→ 1，（2.5）其中，Φα是由Φα（du）=φα（u）du定义的[0，1]上的概率度量，δ是单位质量为1的Diracmeasure。条件（2.5）正式暗示（1.2）。确实，如果Z∈ L+是一个有界随机变量，其分布函数在[0，z]上连续且严格递增*], 其中z*=esssupωZ（ω），然后是函数u 7→ VaRu（Z）有界且连续，因此（2.5）给出ρα（Z）=ZVaRu（Z）Φα（du）-→ z*, α → 1，其中我们识别VaR（Z）=F-1Z（1）=z*. 此外，我们看到引理1。关系式（2.5）等于φα（u）-→ 0, α → 每个u 1个∈ [0，1）。（2.6）我们现在给出一些CLBSRM的示例。示例1，（2.4）定义的预期短缺（ESα）0<α<1是CLBSRM的一个典型示例。相应的容许光谱为φESα（u）=1- α[α，1）（u）。很容易看出（2.5）确实成立。

实际上，对于任何定义为[0，1]的有界连续函数，我们可以看到1- αZαf（u）du=Zf（u+α（1- u） ）du-→ f（1），α→ 1利用有界收敛定理。同样，我们也可以检查（ESα）α是否满足（2.6）。ESα被描述为大于或等于VaRα的最小法律不变一致风险度量[21]。注意，如果目标随机变量Z的分布函数是连续的，则ESα（Z）与CVaRα（Z）重合，其中CVaRα（Z）=E[Z | Z≥ VaRα（Z）]（详见[5]）。示例2。与SRM M Mφ相对应的指数/幂SRMsAn容许谱φ表示风险管理者对损失分布的每个分位数的偏好。因此，φ所采取的形式对应于管理者的风险厌恶，这在经典决策理论中也用效用函数来描述。最近，人们研究了预期效用函数与SRM之间的关系，但尚未完全解决。这里我们介绍一些基于特定效用函数的SRM示例。指数效用函数是可处理效用函数suγ（p）=-e-γpγ，其中p表示收益和损失（p>0表示收益），γ表示风险偏好程度。我们关注0<γ<∞ 因此Uγ描述了一个风险规避函数。我们将参数γ转换为置信水平α∈ （0，1）使用α=（2/π）tan-1γ. 注意，原始参数γ可以使用逆γ=tα：=tan（πα/2）恢复。然后给出置信水平为α的损失l的指数效用为Utα(-l） =-eltα/tα。Cotter和Dowd【12】通过构造容许谱φEXPα（u）=-λUtα(-u） 对于某些λ>0，因此φEXPα（u）满足（2.2）。

那么，λ必须设置为tα/（etα- 1） ，给出φEXPα（u）=tαe-tα（1-u） 1个- e-tα。请注意，上述方法的理论有效性尚不清楚。文献[11，26，30]中讨论了从指数效用函数定量构建SRM的其他方法，但尚未得出明确答案。特别是，文献[11]指出，预期效用理论与SRM决策之间不存在普遍的一致性。在任何情况下，我们都可以很容易地验证上述定义的（φEXPα）α满足（2.5）–（2.6），这意味着（ρEXPα）α实际上是一个CLBSRM。与上述类似，参考文献14研究了基于功率效用函数的SRMρPOWα=MφPOWα。将风险规避参数更改为置信水平α后∈ （0，1）如上所述，φPOWα表示为φPOWα（u）=uα/（1-α)1 - α.我们还可以验证（ρPOWα）0<α<1是CLBSRM。现在我们介绍一些用于渐近分析和极值理论的符号和定义。设f和g为[x，x]上定义的正函数，其中x∈ [0, ∞) 和x∈ （十），∞].我们说f和g是渐近等价的（表示为f）~ g） 作为x→ xiflimx公司→xf（x）/g（x）=1。当x=∞, 我们说f随指数k有规律地变化∈ Rif认为limx→∞f（tx）/f（x）=每个t>0的tk。此外，我们说，如果f在[x]上不增加，则f最终减少，∞) 对于某些x>0。有关更多详细信息，请参阅[10，16]。3主要结果我们的主要目的是研究CLBSRM（ρα）0<α<1随机变量X，Y的（1.1）的性质∈ 分布为厚尾分布的L+。考虑到这种情况，我们假设“fx和”fy是随指数有规律变化的函数-β和-γ、 分别为。也就是说，对于每个x，\'FX（x），\'FY（x）>0≥ 0和limx→∞\'FX（tx）\'FX（x）=t-β、 林克斯→∞\'FY（tx）\'FY（x）=t-γ、 对于某些β，t>0（3.1），γ>0。在[20]中，我们研究了（1.1）asα的渐近性质→ ρα=VaRα时为1。

结果显示以下五种模式：（i）β+1<γ，（ii）β<γ≤ β+1，（iii）β=γ，（iv）γ<β≤ γ+1和（v）γ+1<β。在案例（iv）和（v）中，我们考虑差异变化，Xα代替VaRX，Yα，结果是案例（i）和（ii）的重述结果。因此，我们在此假设β≤ γ，仅关注案例（i）–（iii）。我们进一步假设β>1。这种假设保证了X和Y的可积性（例如，参见[16]中的命题A3.8）。设（ρα）0<α<1是一个具有容许谱族（φα）0<α<1的CLBSRM。这里我们假设φα（1-) = 利木→1φα（u）<∞ （3.2）对于每个α∈ (0, 1). 那么，文献[17]中的引理A.23意味着ρα（X+Y）≤ φα(1-)ZVaRu（X+Y）du=φα（1-)（E[X]+E[Y]）<∞对于每个0<α<1。这立即意味着ρα（X），ρα（Y）<∞. 此外，根据[29]中的（17.9b）和命题17.2，我们可以看到ρX，Yα≤ ρEulerα（Y | X+Y）≤ ρα（Y），（3.3），其中ρEuler（Y | X+Y）由（1.3）给出，如果ρα（X+hY）在h中连续可微。请注意，只要ρα是相干的，不等式（3.3）对于每个0<α<1都成立。本节的主要目的是详细研究ρX，Yα，以及ρEulerα（Y | X+Y），如果定义为α→ 1、为了清楚地说明我们的主要结果，我们建立了以下条件，这些条件在【20】第4节中假设成立。【C1】X和Y是独立的。[C2]有一些x≥ 使fx具有正的、非递增的密度函数fXon[x，∞); 也就是说，FX（x）=FX（x）+ZxxfX（y）dy，x≥ x、 【C3】函数xγ-β\'FY（x）/\'FX（x）收敛到某个实数k作为x→ ∞.让我们采用符号“M（α）”=E[Y]如果β+1<γ，kβZVaRu（X）β+1-γφα（u）du，如果β<γ≤ β+1，{（1+k）1/β- 1} ρα（X），如果0<α<1，β=γ（3.4）。请注意，M（α）对于每个固定α都是有限的∈ （0，1）（见附录B中的推论1）。我们的主要结果是以下两个定理。定理1。

假设[C1]–[C3]，ρX，Yα~\'M（α）为α→ 1、【20】中定理4.1的断言（i）–（iii）通过设置Φα=Δα，形式上与定理1的假设相同。也就是说，我们有VaRX，Yα~\'f（α）为α→ 1，其中'f（α）=E[Y]如果β+1<γ，kβVaRα（X）β+1-γ如果β<γ≤ β+1，{（1+k）1/β- 1} 如果β=γ，则为VaRα（X）。（3.5）定理1证明了以下关系：ρX，Yα=ZVaRX，Yuφα（u）du~Z'f（u）φα（u）du='M（α），α→ 注意，当β+1<γ时，定理1不需要条件[C3]。此外，当β+1<γ时，定理1暗示ρX，Yα收敛为α→ 1、极限[Y]不依赖于（φα）α的形式，因此该结果是稳健的。第二个主要结果如下。定理2。假设[C1]和[C3]。此外，假设[C4]X和Y在[0]上分别具有正、连续和最终递减的密度函数fx和fy，∞).在这些假设下，ρEulerα（Y | X+Y）~\'M（α）/δasα→ 1，其中δ是由δ驱动的正常数=1如果β+1<γ，k/（E[Y]β+kγ）如果β+1=γ，1/γ如果β<γ<β+1，{1+k- （1+k）1-如果β=γ，则为1/β}/k。（3.6）定理1和2一起暗示，如果X和Y是独立的，如果fx和fy有足够的密度函数，那么ρX，Yα~ ΔρEulerα（Y | X+Y），α→ 1.（3.7）注意δ始终小于或等于1，因此（3.7）与不等式（3.3）一致。特别是，如果β+1<γ，则边际风险贡献之间的渐近等价性ρX，Yα和欧拉贡献ρEulerα（Y | X+Y）被调整（见[29]中的（17.10））。请注意只要随机向量（X，Y）满足合适的技术条件，如[27]中的假设，ρX，Yα总是大于或等于toE[Y]。（这里，我们修改了假设原始版本的一些条件，以便于关注非负随机变量。）实际上，由于ρα是凸风险度量，因此函数r（h）：=ρα（X+hY）是凸的。