存在多重风险的墨西哥利率掉期定价

其次，我们讨论了藤井雅明、岛田康夫和高桥秋彦发表的论文的演变【藤井康夫等人，2010a】、【藤井康夫等人，2010b】、【藤井康夫和高桥，2015a】，然后通过欧元、日元和瑞典克朗（瑞典克朗）等多种货币应用该框架。需要指出的是，【Fujii et al.，2010b】是我们的主要参考文献，这项工作中涉及的几乎所有理论都基于此。最后，我们检查了插值和自举方法的基本文献。后危机时代为金融理论带来了一个多曲线框架，即如今的标准定价框架。在术语上，多曲线特征加上通过CSA协议存在的抵押品，通常被简化为OIS贴现。然而，我们不会使用这个术语，因为使用隔夜利率作为抵押品利率的特性只是多曲线框架的特征之一。第一篇探索无抵押多曲线摄影的论文是【Henrard，2007年】。在这份出版物中，作者对衍生品现金流的贴现方式提出了质疑。他意识到，由于交易对手具有不同的信用评级或违约风险，因此每个交易对手都必须为其衍生品头寸的定价关联一条独特的贴现曲线。然而，在实践中，对于根据伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）交易OIS和IRS的交易对手，通常会使用不同的贴现曲线对市值计价。事实上，国税局的现金流是使用伦敦银行同业拆借利率曲线中隐含的贴现曲线进行估值的，而OIS则使用隐含的伦敦银行同业拆借利率- 12.5个基点(≈ 联邦基金利率）曲线。

2010年，作者发表了本出版物的第二部分（【Henrard，2010】），他写道，讽刺的是，他的作品【Henrard，2007】发表于2007年7月，就在导致LIBOR-OIS利差扩大的金融动荡前一个月。危机后发表了许多其他论文，以加强多曲线框架背后的理论。在【Bianchetti，2008年】中，提出了多曲线框架，用于协调IRS定价，同时考虑了TSs市场的远期基差。在【Pallaviciniand Tarenghi，2010年】一文中，作者通过市场上引用的掉期期权和连续到期掉期（CMS）探索了市场证据，这表明存在避免产品套利的多条收益率曲线。在【Ametrano和Bianchetti，2013年】一文中，作者详细讨论了多重曲线摄影机。他们介绍了欧元市场的情况，特别是在构建多条曲线时必须考虑哪些产品，如何执行自举以及如何计算三角洲敏感性。我们将在本论文中讨论的模型完全基于【Fujii等人，2010b】。在这篇著名的论文中，Fujii、Shimada和Takahashi解释了使用所有相关掉期（如IRS、TSs、XCS）构建多个掉期曲线的方法，无论是否有附带协议。他们还考虑了在多货币体系中构建担保掉期期限结构的方法。他们提出了可用于美元和日元掉期定价的公式。在后来发表的一篇文章【Fujii等人，2010a】中，他们展示了选择货币的重要性。他们讨论了当衍生工具合同允许多种货币作为合格抵押品并在其中免费替换时，对市场风险管理的影响。

在东京大学，经济学院2文献回顾了更多最近的论文【Fujii和Takahashi，2015a】和【Fujii和Takahashi，2015b】，他们扩展了之前的作品。特别是，他们为融资利差动态制定了一个公式，该公式在与抵押品利率存在非零相关性的情况下更为合适。在【Gunnarsson，2013年】中，作者为欧元和美元市场实施了【Fujii等人，2010b】定价框架。Healso介绍了如何推导以美元为抵押的欧元衍生品的贴现曲线。在[Spoor，2013]中，作者介绍了如何使用抵押利率产品的市场报价来引导多重贴现曲线。他还开发了如何计算远期和远期利率之间的凸度调整，同时使用欧洲美元期货来引导三个月的远期曲线。同样，在【Lidholm和Nudel，2014年】中，作者将【Fujii等人，2010b】抵押定价框架应用于瑞典克朗（SEK）掉期市场。他们还分析了瑞典克朗和美元合格时抵押品的选择。在多曲线框架中，计算自举和插值的方法需要一个健壮且有能力的算法来执行该任务。事实上，负隔夜利率改变了插值方法背后的理论，因为现在允许远期负利率。插值算法的主要参考文献有【Hagan and West，2006】和【Hagan and West，2008】。然而，在【Du Preez，2011年】中，对各种插值方法进行了扩展分析。在整个工作过程中。采用自然三次样条算法。3回到基础3回到基础这项工作完全专注于利率衍生品的估值和风险管理。

正如我们稍后将看到的那样，利率衍生工具的定价会降低到未来现金流的估值，而未来现金流的估值并不一定是已知的。因此，我们需要以下基本财务概念：1。贴现系数：允许我们计算未来收到的现金流的现值。2、远期利率：允许我们对未来利率水平做出假设。贴现系数也称为零息票债券【Brigo和Mercurio，2007年】，回顾这些是固定收入世界中最简单的产品，我们将其定义如下：定义3.1。（零息票债券）到期日为T的零息票债券是一种保证其持有人在T时支付一单位货币的合同，无需中间付款。t<t时的合同值用P（t，t）表示。为了避免套利，我们需要P（t，t）<1表示所有t<t，P（t，t）=1表示所有t≥ T、 请注意，如果C是发生在时间T的现金流，则C·P（T，T）给出了现金流C在时间T的值（现值）。因此，零息票债券可以被视为贴现因子。重要的是要指出，在一些市场，如欧洲和日本，由于负利率，P（t，t）<1的性质受到了破坏。有关该主题的更深入、更集中的讨论，请参见【Hannoun，2015】、【Arteta and Stocker，2015】和【Jackson等人，2015】。现在我们可以定义远期零息票债券。定义3.2。（远期零息债券）一种（T+α）-到期的远期零息债券是在T时观察到的一种合同，向发行人支付P（T，T，T+α），并保证其持有人在T+α时支付1，无中间付款。远期零息票债券是在合同订立之日的价格，用于在稍后日期但在到期之前购买零息票债券。下一个结果确定了远期零息票债券的公平价格。定理3.1。

远期零息票债券P（t，t，t+α）的价格由，P（t，t，t+α）=P（t，t+α）P（t，t）给出。（3.1）证明。为了证明这个公式，我们必须建立一个交易策略，复制与远期零息票债券定义相关的现金流。考虑到在时间t，我们购买了1个单位的（t+α）到期零息票债券，并卖空了（t，t+α）P（t，t）个单位的t-到期零息票债券。该策略的成本计算如下：，-P（t，t+α）+P（t，t+α）P（t，t）P（t，t）=-P（t，t+α）+P（t，t+α）=0。该策略的成本等于零，因此我们在时间t没有现金流。然后在时间t卖空交易到期时，我们必须支付现金流P（t，t+α）P（t，t）。最后，在T+α时，（T+α）-到期零息票债券到期，我们收到的现金流为1。这给我们带来了一种在远期零息票债券的多头头寸中具有相同现金流的策略。因此，通过无套利论证，P（t，t，t+α）=P（t，t+α）P（t，t）。（3.2）3回到基本面，我们将这些远期零息票债券称为远期贴现因子，可以互换。贴现系数可以用利率表示。这种零利率（与零息票债券相关）可以简单复利或连续复利。定义3.3。（简单复合零利率）t到期日t时盛行的简单复合零利率用L（t，t）表示，是在t时P（t，t）的投资与投资时间成比例累积的固定利率，收益率为单位到期日t。

式中：L（t，t）：=τ（t，t）P（t，t）- 1., （3.3）式中，τ（t，t）=t- t是以年表示的时间差。同样，在（3.2）中替换（3.3）yieldsL（t，t，t+α）=αh1+L（t，t+α）（t+α- t） 1+L（t，t）（t- t）- 1i=αhP（t，t）P（t，t+α）- 1i，（3.4），其中L（t，t+α）和L（t，t）是简单的复合零利率。我们将L（t，t，t+α）定义为t定义3.4时所示的[t，t+α]期间的隐含复合远期利率。（连续复合零利率）到期日t时的持续复合零利率用R（t，t）表示，是指t时P（t，t）的投资持续累积以在到期日t时产生一个单位的恒量。式中：R（t，t）：=-ln P（t，t）τ（t，t），（3.5），其中τ（t，t）=t- t是以年表示的时间差（根据日计数惯例）。很容易看出，P（t，t）=e-R（t，t）（t-t） 。（3.6）注意，如果我们在（3.2）中替换（3.6），我们得到R（t，t，t+α）=R（t，t+α）（t+α- t）- R（t，t）（t- t） α，其中R（t，t+α）和R（t，t）是连续复合零速率。而R（t，t，t+α）被定义为时间t时所见的[t，t+α]期间的连续复合远期利率。现在让我们给出这些利率的定义。3.1国际银行同业拆借利率国际银行同业拆借利率是基于银行向其他银行借贷无担保资金的平均利率的每日参考利率，国际银行同业拆借利率是银行同业拆借利率的缩写。Ibor利率通常计算为参与银行提供的利率之间的修正平均值。偿还期可以是一天到一年，最常见的期限是：1周、1个月、3个月和6个月。除存款（金融机构之间的借贷）外，该利率的主要用途是掉期、上限、贷款和其他利率衍生品。

Ibor利率的示例如下：3返回基本LIBOR（伦敦银行同业拆借利率），该利率由伦敦银行确定，并由英国银行业协会于每个伦敦营业日格林尼治时间上午11点公布。公布的期限为：1m、3m、6m和12m。有19家银行参与设定伦敦银行同业拆借利率：3家美国银行和16家非美国银行。欧元银行同业拆借利率（EURIBOR）由欧元区银行确定，并由欧洲货币市场研究所于格林尼治时间上午11点+每个target营业日2点发布。公布的期限为：1百万、3百万和6百万。TIIE（Tasa de Interés Interbancaria de equiremio）由墨西哥银行确定，并由墨西哥银行于格林尼治时间下午12点发布-每个墨西哥工作日5天。公布的期限为：28d、91d和182d。其他主要货币Ibor利率为：英镑Ibor（GBP LIBOR）、瑞士法郎Ibor（CHF LIBOR）、日元Ibor（TIBOR）、加元Ibor（CDOR）和香港元（HIBOR）。银行同业拆借利率有一些惯例，如日数、即期滞后和日期滚动。计日惯例是计算一年中天数的方式，最常见的是：ACT/360和30/360，见附录B。即期滞后是指结算日期和估价或付款日期之间的天数。最后，日期滚动约定确定了即期滞后在一个工作日内的付款日期（向前或向后）。例如，LIBOR 3m有2天的即期滞后、ACT/360天计数惯例和修改后的后续工作日惯例；其中，28d具有1天的现货滞后、ACT/360天计数惯例和后续营业日惯例。与IRS或其他利率衍生工具相比，Ibor利率的波动趋于恒定（或变化较小），因为Ibor利率代表的存款利率比衍生工具的价差更大。

然而，Ibor利率在央行会议后明显调整；即使货币政策的变化完全在预料之中，因为银行参与者通常希望在调整利率之前看到利率的变化。让我们介绍一些数学符号，特别是Ibor利率，这些符号将在整个工作中使用。定义3.5。（国际银行同业拆借利率）国际银行同业拆借利率（包括到期日、应计期和付款日）由国际银行同业拆借利率（S，T）表示：=国际银行同业拆借利率（S，T），（3.7），其中≤ S<T≤eT。定义3.6。（远期Ibor利率）时间t的远期Ibor利率，包括时间、应计期[S，t]和付款时间，用Eqett（IboreS，eT（S，t））：=EeTt（Ibor（S，t）），（3.8）表示，其中t<eS≤ S<T≤eT和QeTis是与数字P（t，eT）（eT-到期日零息票债券）相关的远期指标。请注意，远期Ibor利率EeTt（Ibor（S，T））是[S，T]期间的零利率。因此，利用Ibor利率是简单复合的事实和方程式（3.4），我们得到以下定义。TARGET（Trans-European Automated Real Time Gross Settlement Express Transfer）是一个跨银行支付系统，用于实时处理整个欧盟的跨境转账。3回到基本假设3.1。在假设利率基础银行的违约概率可以忽略的情况下，我们可以用零息票债券表示远期利率，即EeTt（Ibor（S，T））：=τ（S，T）P（t，S）P（t，t）- 1., t型≤锿≤ S<T≤eT，（3.9），其中τ（S，T）是S和T之间的年份分数。3.2利率衍生产品在本小节中，我们将定义一些提及其基本特征的利率产品，并提供普通衍生产品的条款清单样本。解释的产品将在整个工作过程中使用，因此充分了解它们很重要。

必须强调的是，这些产品中的大多数都是场外交易（OTC）。场外交易是在双方之间直接进行的，不受交易所或清算所的任何监督。与场外交易相比，交易所有以下好处：促进流动性，减轻一方违约的信贷风险，并提供透明度。因此，在OTC市场中，与交易所交易相比，合同的流动性较低，但可以为客户量身定做。此外，场外交易合同的价格不一定在市场上公布。我们提供的产品是利率掉期。我们不推出以下产品：远期利率协议、上限、利率、互换期权、数字上限、数字利率和其他具有波动性或浮动指数的利率衍生品。3.2.1利率掉期利率掉期（IRS）是一种衍生工具，双方同意在未来的固定日期进行利息支付。通常，一方向另一方支付固定利率，而另一方根据未来利率趋势支付利息。假设交易对手A和B签订IRS合同，其中A同意支付固定利率（收取浮动利率），而B同意支付浮动利率（收取固定利率）。按照惯例，付款人/收款人属性指的是掉期的固定部分，因此A进入付款人掉期，而B进入收款人掉期。浮腿通常基于Ibor利率。让PVPayer（t）为付款人利率掉期的现值。然后PVPayer（t）=浮腿（t）- 固定支腿（t），（3.10）带浮动支腿（t）=MXi=1α（ti-1，ti）Eetit（Ibor（ti-1，ti）P（t，eti）固定支腿（t）=kNXj=1β（sj-1，sj）P（t，esj），（3.11），其中：k：利率掉期的固定利率，N：浮动息票数量（分别为固定息票）ti，sj：浮动段的息票期（分别为。

固定航段）eti、esj：第i张息票（分别为第j张息票）的支付时间α（ti-1，ti））：第i张息票的应计系数β（sj-1，sj））：第j个耦合的应计系数（Ibor（ti）-1，ti））：第i张息票的远期Ibor利率。3回到基础现在，让我们展示一个基于MXN参考利率28d的普通IRS的条款清单示例：MXN IRS合同交易日期tSpot Lag 1天开始日期t+1固定利率银行的1820D层是固定利率银行的接收人B固定利率4.87%指数利率TIIE 28d名义值MXN 10M付款频率28天每日计数公约法案/360个营业日日历墨西哥城市日期滚动约定如下表3.1：基于TIIE 28d、成熟度为5y的纯香草IRS的条款清单样本。假设交易日期为2015年1月29日（星期四），则开始日期=交易日期+SpotLag=2015年1月29日+1天（使用以下日期滚动惯例和墨西哥城日历）=2015年1月30日。然后，结束日期计算为结束日期=开始日期+1820天，使用以下日期滚动惯例和墨西哥城日历，我们得出该结束日期=2020年1月24日。最后，我们得到1820/28=65，这意味着IRS有65张息票，因此，玩家交换的现值由PVPayer（t）=FloatLeg（t）给出- 固定支腿（t），（3.12）带浮腿（t）=1000000xi=1τ（ti-1，ti）Et（L（ti-1，ti）P（t，ti）（3.13）固定支腿（t）=10000000·4.87%·Xi=1τ（ti-1，ti）P（t，sj），（3.14），其中τ（ti-1，ti）=ti之间的实际天数-1和ti。注意，对于所有i，应计系数τ（ti-1，ij）完全确定，因为掉期日历不取决于市场报价。实际上，掉期日历是使用其自身的特性构建的，即工作日日历、滚动日期约定和支付频率。从方程式（3.13）和（3.14）可以很容易地看出，IRS的现值我们“只”需要贴现因子和远期利率。