预防性储蓄的可能性和概率方法

要做到这一点，我们需要将男女匹配纳入婚姻市场。因此，我们的模型适用于非常相关的理论和实际经验应用，并且在深入研究这些现象的具体建模之前，作为第一步非常有用。2、预备知识2.1模糊数预备知识现在让我们介绍模糊理论中的一些初步概念。它们将有助于解决消费者的优化问题，其中一个风险源由模糊数表示。LetXbe一组非空状态。xis A函数的模糊子集]1,0[：XA。一个模糊集是正常的if1（xAfor someXx.  对的支持由}定义。0）（|{）（sup xAXxApNext，假设XR。对于]1,0[, 这个-级别集][AOFA定义为0））（（sup0}）（|{][ifApclifxARxA（））（（sup-Apclis的拓扑闭包）（sup-Ap）。fuzzy集是fuzzy凸if][Ais是R的凸子集，表示所有]1,0[.如果一个模糊子集R是正规的、模糊凸的和连续的，且有界支撑，则称之为模糊数。IfBA，是模糊数和R、 然后是fuzzynumbersBA安达定义为（），（min（sup））（（zbyaxbzy)（sup））（（yAxAxy一个非负单调递增函数f]1,0[：是加权函数iff101)(df。我们固定了一个加权函数和一个模糊数，如：）（），（[][21aaA级对于]1,0[. LETRU公司:是一个连续函数（解释为效用函数）。可能性预期效用）（，（AufEis定义如下：1021)())](())(([21))(,(DFAUAUFE。

（1） 如果是身份函数，那么从（1）中，可以得到加权的可能性预期值），（AfE（Fullér和Peter Majlender 2003）：1021)()]()([21),(dfaaAfE（2）If2）），（（）（AfExxu,  然后得出加权可能性方差（Wei Guo Zhang和Ying Luo Wang 2007）：dfAfEaAfEaAfVar）（]），（）（（）），（）（[（21），（102221）.                            （3） 何时2)( ffor]1,0[,),（AfEand），（Afvara）分别是Christer Carlsson和Fullér（2001）的可能性均值和可能性方差。2.2混合预期效用Georgescu和Kinnunen（2011）引入了混合预期效用的概念，目的是建立一个具有混合参数的风险规避模型：其中一些由模糊数描述，另一些由随机变量描述。乔治·斯库（Georgescu，2012b）也使用了同样的概念来研究存在背景风险的混合投资模型。在本节中，我们将回顾混合预期效用的定义及其一些性质。为清楚起见，我们将只考虑二维情况。然后，一个混合向量的形式是），（XA其中是一个模糊数，xis是一个随机变量。在不失去一般性的情况下，我们只考虑这种情况），（XA.LetXbe a random variable w.r.t.a probability space），（P. 我们将用（x）表示其期望值，用（x）表示方差。IfRRu:是一个连续函数，然后是xuxu)（是一个随机变量，和））（（XuMis）xw的（概率）预期效用。r、 我们选择一个固定的加权函数f  和一个二维、连续的实用功能RRU2:. 设，（xa是我们的特殊混合向量。假设level setsofAhave的形式为）]（），（[][21aaA级,]1,0[.

对于anyRu,RXau公司:),（将是由定义的随机变量）（，（））（，（wXauwXau对于任何w、 现在让我们定义混合预期效用的概念，它将在我们的最优储蓄方法中被最大化。定义2.1（Georgescu和Kinnunen 2011；Georgescu 2012a）混合预期效用），（，（XAufEassociated with UF，and The mixed vector），（XA定义为1021)())]),((())),((([21)),(,(Dfxaumxaufe（4）备注2.2（i）如果模糊数为恒量，则（），（（）），（，（XauMXAufE.（ii）如果随机变量轴为常数，则1021)()]),(()),(([21)),(,(DFBAUBAUFE。以下两个命题对于证明后续章节中讨论的主要定理至关重要：命题2.3（Georgescu和Kinnunen 2011；Georgescu 2012a）Lethg，be二维效用函数和RBA,.  伊夫巴古,  然后））。，（，（）），（，（）），（，（XAhfbEXAgfaEXAufE命题2.4（Georgescu和Kinnunen 2011；Georgescu 2012a）如果效用函数为形式（））（，（（），（XMyAfExyxu,  然后0)),(,( XAufE3.最优储蓄的概率方法Courbage和Rey（2007）以及Menegatti（2009）提出的最优储蓄模型考虑了两种风险的存在，即背景风险和收入风险，这两种风险在数学上都由随机变量表示。

在本节中，我们将介绍这些模型的一般特性，作为在以下各节中开始构建主要模型的基准。Courbage和Rey（2007）以及Menegatti（2009）提出的两个时期模型的特点如下：），（xyuand），（分别为0和1期的xyvare消费者效用函数；Y代表收入，X代表非金融变量；0期的变量Y和X分别具有特定值0和d0x；1期的收入不确定（由随机变量Y描述）和背景风险（由随机变量X描述）。这里，）（YMy和）（XMx.  在Menegatti（2009）中，变量syandx有四种可能的假设：（a）Yy,Xx号（同时存在收入风险和背景风险）；（b） Yy年,xx号（收入风险和无背景风险）；（c） yy年,Xx号（背景风险和无收入风险）；（d） yy年,xx号（无不确定性）。考虑分别对应于情况（a）、（c）和（d）的以下预期寿命实用程序：）、（（）、（）（00XsYvMxsyusV（5） ），（（），（）（00XsyvMxsyusW）（6） ），（），（）（00xsyvxsyusT（7） 其中是储蓄水平。根据Menegatti（2009），优化问题可表述如下：）（）（最大*SVS（8） ）（）（最大值sWsWs（9） ）（）（最大值sTsTs公司（10） 具有最佳解决方案），（**XYss,),（Xyss和），（xyss.差异不锈钢*和不锈钢*Menegatti（2009）中分别称为预防性储蓄和两种来源的预防性储蓄。

最后，给出了0的一些充要条件*ssand0*ss，它概括了Courbage和Rey（2007）之前获得的结果。在本文中，我们打算通过考虑收入风险或背景风险以模糊数形式表示的可能性，为Menegatti（2009）提供一种替代设置。因此，以下章节的结构与Menegatti（2009）相似，尽管我们将考虑混合向量类型，而不是他的随机向量），（XY），（XAor），（由。4。类型I的混合模型本节的混合模型基于以下假设：收入风险由模糊数描述，背景风险由随机变量X描述。我们将保留前一节中引入的符号。模糊数与变量Y相对应，随机变量X与变量X相对应。因此，代替了Menegatti的（2009）随机向量），（XY，我们有一个混合向量），（XA。我们将修正加权函数f，），（AfEa和）（XMx.  在这种情况下，第3节中的情况（a）-（d）变为：）（1aAy,Xx号)（1天,xx号)（1可,Xx号)（1天,xx号.在本节中，我们将研究在遵循路线时如何更改最佳保存）（（11ac,)（）（公元11年和）（（）（11ab. 前两个类似于Menegatti（2009）关于概率模型的案例研究。我们将定义预防性储蓄的三个概念，并建立这些指标为正的必要和充分条件。假设二维效用函数对每个分量都严格递增，严格凹，三次连续可微。

这里，iu、iju、ijku（iv、ijv、ijkv）分别表示U（v）的一阶、二阶和三阶偏导数。接下来，如Menegatti（2009）所述，我们将使用以下泰勒近似： ))（，（））（，（），（），（），（121111xxxsavayxsavxsavxsyv（11）使用第2.2小节中的混合预期效用的概念，我们介绍以下预期寿命效用：），（，（），（）（001XsAvfExsyusV（12） ），（（），（）），（，（），（）（00001XsavMxsyuXsavfExsyusW（13） ），（），（）（001xsavxsyusT（14） ），（，（），（）（001xsAvfExsyusU）.                                                                              （15） 此处，111，，t分别为第3节中WV的类似物，1来自上述情况）（1b。考虑到第2.1小节中的公式（1）： ),（）（01xsyusV（16）1021)())],)((()),)((([21dfXsavMXsavM。如果我们加以区分，从（16）中可以得到：),（）（0011xsyusV）]）（）（，（2））（，（））（，（，（[21112122111XXAYXSAVXXXSAVAYXSAV102111)())],)((()),)((([21dfXsavMXsavMwhich，根据第2.1小节中的公式（1），可以写成：），（，（），（）（10011XsAvfExsyusV.                          （17） 如果我们从（13）-（15）中进行区分，则如下所示：），（（），（）（10011XsavMxsyusW（18） ），（），（）（10011xsavxsyusT（19） ），（，（），（）（10011xsAvfExsyusU.                                                             （20） 命题4.1函数111、、twvand1是严格凹的。证据区分（1sV）的表达式以上内容：),（）（00111xsyusV10211111)())],)((()),)((([21dfXAavMXAavM。自2011年起uand011v、 一个获得0）（1sV。同样，可以证明其他三个函数是严格凹函数。

证据到此为止。我们现在考虑以下优化问题：）（）（最大*111SVS（21））（）（max111sWsWs（22））（）（max111sTsTs公司（23））（）（max111 sUsUs（24），其中，（*1*1XAss,),（11Xass,),（11xass和），（11xAss是最佳解决方案。根据命题4.1，四个最优解由以下公式给出：0）（*11sV，0）（11sW，0）（1sT，0）（11苏。考虑到（17）-（20），最优条件写为：），（，（），（*110*101XsAvfExsyu（25）），（（），（110101XsavMxsyu（26）），（）），（（），（11110101xsavXsavMxsyu（27）），（，（），（110101xsAvfExsyu.                                                                      （28）继Menegatti（2009）之后，我们介绍了混合预防储蓄的三个概念：1*1秒,1*1秒,1*1秒。在这里1*1秒对应于Menegatti（2009）中的预防性储蓄，并衡量从（Xxay）开始时最佳储蓄的变化至），（三十日,  i、 例如，在存在背景风险X的情况下增加收入风险A。区别1*1秒表示从确定情况移动时最佳储蓄的变化），（xxay至），（三十日,  i、 例如，增加收入风险A和背景风险X。最后1*1测量从（xxAy）开始移动时最佳储蓄的变化至），（三十日, i、 例如，通过增加背景风险xin来说明收入风险a的存在。接下来，我们打算提供三个指标为正的必要和充分条件。命题4.2设），（XAbe为带），（AfEa）的混合向量和）（XMx. 下列不等式等价：（i）0），（），（1*1 XasXAs公司;（ii）0）），，（*1111 xxAsav。这一结果背后的直觉与概率模型中通常出现的预防性储蓄有关。

消费者决策的最优性要求第一期边际效用等于消费品的第二期预期边际效用。如果边际效用函数是凸函数，那么在存在均值保持价差的情况下，第二个周期的预期边际效用将上升。因此，第一阶段的消费将需要下降。因此，当且仅当效用函数的三阶导数为正时，即边际效用曲线为凸时，预防性储蓄将是对风险的最佳反应。证据使用近似公式（11）和命题2.3，通过应用混合期望效用算子，可以得到： ),（）），（，（11XsavXsAvfE )（），（），（），（1211xXMxsavaAfExsav ))（（），（））（，（），（[2121222111xxMxsavaAfExsav）））（，（），（2112xaafexsav.请注意0），（ aAfE，0）（ xXM，），（）（，（2AFvarafe）和）（）（（2XVarxXM.  此外，0）））（（，（） xXaAfE；因此，之前的关系变成： ),（），（21），（）），（，（11111 afvarxsavxsavxsavfe（29））（），（21122XVarxsav.类似的计算表明：）（），（21），（）），（，（12211XVarxsavxsavXsavfE.                                        （30）考虑到1W是严格凹形的，因此1W正在严格减少；因此11不锈钢iff）（）（11*11sWsW软件. （18）和（25）：），（（），（）（*110*101*11XsavMxsyusW）)),（，（）），（（*11*11XsAvfEXsavM）.通过近似计算），（（*11XsavM）和），（，（*11XsAvfE）利用公式（29）和（30）给出的值，从前面的关系中可以得到：），（），（）（*1111*11AfVarxsavsW.

（31）但是，0），（AfVar；因此1*1秒if0）（*11sWiff0），（*1111 xsav。证据到此为止。前一命题的性质（i）指出，增加收入风险的效果是背景风险的存在，即最优储蓄的增加。特别是，从命题4.2可以看出，if0111v、 然后0），（），（1*1 XasXAs公司对于任何收入风险A和任何背景风险X。接下来，我们研究了路线上最优储蓄的变化（）（11ad.命题4.3设），（XAbe为带），（AfEa）的混合向量和）（XMx. 以下是等效的：（i）0），（），（1*1 xasXAs公司（ii）0）（），（（），（）），（（*1122*1111） xvarxxasavavavarxxasav。在这种情况下，收入和背景风险都会对第二阶段预期的消费边际效用产生影响。因此，消费边际效用的凸性必须相对于整个混合向量进行评估。证据考虑到1是严格凹的，1*1秒iff0）（）（11*11标准试验。根据公式（19）和（23），等式为：），（），（）（*110*101*11xsavxsyusT)),（，（），（*11*11XsAvfExsav.公式（21）给出了以下近似值： ),（），（21），（）），（，（，（*1111*11*11AFVARxSAVxSAVxSAVxSAVFE）（，（21*1122XVarxsav,因此，）]（），（），（），（[21）（*1122*1111*11XVarxsavAfVarxsavsT.以下等效值如下：11不锈钢iff0）（*11刚性0）（，（），（），（*1122*1111 XVarxsavAfVarxsav。证据到此为止。命题4.3的条件（i）指出，增加收入风险A和背景风险的效果是增加最优储蓄。特别是，根据命题4.3，if0111vand0122v、 然后对于任何混合向量），（XA，01×1不锈钢。推论4.4假设，（xa是一个混合向量，0），（），（1*1 XasXAs公司.  If0122vthen0），（），（1*1 xasXAs公司, 其中），（AfEa和）（XMx.证据

证明来自命题4.2和4.3，考虑到0），（AfVarand0）（XVar。证据到此为止。最后，考虑路线上的最佳节约变化）（（11ab.命题4.5设），（XAbe为带），（AfEa）的混合向量和）（XMx. 以下是等效的：（i）0），（），（1*1xAsXAs；（ii）0）），，（*1122 xXAsav。证据使用近似公式（11）并应用命题2.3，其如下：），（），（21），（）），（，（11111 afvarxsavxsavxsavfe.                （32）由（20）和（25）：），（，（），（）（*110*101*11xsAvfExsyusU）)),（，（）），（，（，（*11*11XsAvfExsAvfE）.通过替换）），（，（*11xsAvfE和），（，（*11XsAvfE）通过应用（32）和（29）得到的近似值，可以得到：）（），（21）（*1122*11XVarxsavsU.由于1U是严格凹形的，1*1ssiff0）（）（11*11sUsUiff0），（*1122 xsav。证据到此为止。前一个命题的条件（i）表示，将背景风险xin与收入风险的存在相加，可以增加最优储蓄。推论4.6 If01*1ssand01*1ss，然后01*1不锈钢。证据应用命题4.2、4.3和4.5。在下一个示例中，我们将显示存在混合向量、（XAwith）、（AfEa和）（XMx和实用函数Vu，条件0），（），（1*1 XasXAs公司不表示：0），（），（1*1 xasXAs公司.示例4.7 Letdc是两个实数，这样DC0.使用DACA设置模糊编号 )(,)(21,  对于任何]1,0[和X上的均匀重新分配，，[dc。已知2）（dcXM和12）（（）（2dcXVar.  简单计算表明，2），（dcAfE和4）（，（2dcAfVar. 然后：）]，（31），（[4（）（），（），（），（），（122111212211xyvxyvdcxvarxyvafvarxyv.