非局部算子的障碍问题

通过构造，辅助函数u和v分别是xα、εandyα、ε的邻域，并且是Rn上的连续函数\\Br（xα，ε）和d Rn\\Br（yα，ε）。应用于“u”和“v”的软化参数表明，即使“u”和“v”不是函数，我们仍然可以应用定义1.3来获得最小值{-L'u（xα，ε）+c（xα，ε）'u（xα，ε）- f（xα，ε），\'u（xα，ε）- Д（xα，ε）}≤ 0，最小值{-L'v（yα，ε）+c（yα，ε）'v（yα，ε）- f（yα，ε），(R)v（yα，ε）- ν（yα，ε）}≥ 0。（2.27）对于ε>0 fix ed，如果存在序列{αk}k∈n接近完整性，使得'u（xαk，ε）≤ ν（xαk，ε），然后是（2.25）(R)u（xε）≤ Д（xε）。（2.27）中的第二个不等式表明'v（yα，ε）≥ν（yα，ε），对于所有α>0，s o，我们有v（xε）≥ Д（xε）≥ u（xε）。（2.28）如果我们无法找到序列{αk}k∈如果满足上述性质，则（2.27）中的不等式适用于左侧的第一项，通过减法意味着C（xα，ε）u（xα，ε）- c（yα，ε）v（yα，ε）=c（xα，ε）(R)u（xα，ε）- c（yα，ε）(R)v（yα，ε）≤ L’u（xα，ε）- L'v（yα，ε）+f（xα，ε）- f（yα，ε）。（2.29）我们将前面不等式中的最后一项写成I+I+I之和，其中每一项由I定义：=b（xα，ε）·（αzα，ε+2εxα，ε）- b（yα，ε）·（αzα，ε- 2εyα，ε）+f（xα，ε）- f（yα，ε），I：=ZBr \\{O}（\'u（xα，ε+f（xα，ε，y））- \'u（xα，ε）- \'u（xα，ε）·F（xα，ε，y））ν（dy）-ZBr \\{O}（\'v（yα，ε+F（yα，ε，y））- (R)v（yα，ε）- \'v（yα，ε）·F（yα，ε，y））ν（dy），I：=ZBcr（\'u（xα，ε+F（xα，ε，y））- \'u（xα，ε）- \'u（xα，ε）·F（xα，ε，y））ν（dy）-ZBcr（(R)v（yα，ε+F（yα，ε，y））- (R)v（yα，ε）- v（yα，ε）·F（yα，ε，y））ν（dy），其中我们表示zα，ε：=xα，ε- yα，ε。根据术语并使用函数u和v的定义，我们通过直接计算得出：I：=α（b（xα，ε）- b（yα，ε））·zα，ε+2ε（b（xα，ε）·xα，ε+b（yα，ε）·yα，ε）+f（xα，ε）- f（yα，ε），I：=α+ εZBr \\{O}|F（xα，ε，y）|+| F（yα，ε，y）|ν（dy），I：=ZBcr（u（xα，ε+F（xα，ε，y））- u（xα，ε）- v（yα，ε+F（yα，ε，y））+v（yα，ε））ν（dy）16 D.DANIELLI，A。

PETROSYAN和C.A.P OP- αZBcrzα，ε·（F（xα，ε，y））- F（yα，ε，y））dν（dy）- 2εZBcr（xα，ε·F（xα，ε，y）+yα，ε·F（yα，ε，y））·ν（dy），利用Mα，ε的定义（2.23），得出u（xα，ε+F（xα，ε，y））- u（xα，ε）- v（yα，ε+F（yα，ε，y））+v（yα，ε）≤ αzα，ε·（F（xα，ε，y））- F（yα，ε，y））+α| F（xα，ε，y）- F（yα，ε，y）|+2εxα，ε·F（xα，ε，y）+2εyα，ε·F（yα，ε，y）+ε|F（xα，ε，y）|+| F（yα，ε，y）|,这意味着≤αZBcr | F（xα，ε，y）- F（yα，ε，y）|ν（dy）+εZBcr|F（xα，ε，y）|+| F（yα，ε，y）|ν（dy）≤ Kα| xα，ε- yα，ε|+2ε,在最后一行中，我们使用了条件（1.2）和（1.3）。属性（1.3）表示I收敛为零，如r↓ 将上述观察结果应用于恒等式（2.29）的右侧，并让r趋于零，我们得到c（xα，ε）u（xα，ε）- c（yα，ε）v（yα，ε）≤ α（b（xα，ε）- b（yα，ε））·zα，ε+2ε（b（xα，ε）·xα，ε+b（yα，ε）·yα，ε）+f（xα，ε）- f（yα，ε）+Kα| zα，ε|+2ε.因为b是一个有界的Lipschitz连续函数，我们可以找到一个正常数C，例如C（xα，ε）u（xα，ε）- c（yα，ε）v（yα，ε）≤ Cα| zα，ε|+ε+ε（| xα，ε|+| yα，ε|）+ |f（xα，ε）- f（yα，ε）|。现在让α趋于完整，并使用性质（2.24），（2.25），以及f的事实∈ C（Rn），它遵循C（xε）（u（xε）- v（xε））≤ C（ε+ε| xε|），（2.30）和使用条件（1.9）由系数C（x）满足，我们有u（xε）- v（xε）≤ C（ε+ε| xε|）。从恒等式（2.26）可以清楚地看出，ε| xε|以ε为界，而thatlimε↓0（u（xε）- v（xε））=supx∈Rn{u（x）- v（x）}。现在让ε在前两个性质中趋于零，我们得到u（x）- v（x）≤ 0，对于所有x∈ 注册护士。再加上不等式（2.28），这就完成了证明。备注2.3。检查定理2.2的p屋顶，我们可以从不等式（2.30）中看到u（xε）- v（xε）≤Cc（xε）（ε+ε| xε|），其中当我们假设c（x）是RN上的正函数且满足性质（1.13）时，右侧收敛为零。

因此，如备注1.13所示，我们再次得出U（x）- v（x）≤ 0，对于所有x∈ Rn，定理2.2的结论成立。非局部算子的障碍问题17定理1.5的证明。这是定理2.2的一个明显结果。3.进化障碍问题在这一节中，我们概述了命题1.7、定理1.9和1.11的证明，以及引理3.2中的一个动态规划原理和定理3.3中的一个比较原理。由于证明与固定障碍问题的证明非常相似，我们只指出了§2中需要对证明进行的主要修改。我们从一个辅助引理开始，我们用它来证明命题1.7：引理3.1{X（t）}t的连续性≥0). 假设满足假设1.1，则存在一个正常数，C=C（kbkC0,1（Rn），K），因此E最大值∈[0，t]| Xx（s）- Xx（s）|≤ C | x- x | eCt， x、 x个∈ Rn，t≥ 0，（3.1）E最大功率∈[s，t]| Xx（r）- Xx（s）|≤ C | t- s |∨ |t型- s |， x个∈ Rn，0≤ s<t.（3.2）证明。为了证明不等式（3.1），利用随机方程（1.1），我们得到了xx（t）- Xx（t）=x- x+Zt（b（Xx（s））- b（Xx（s）））ds+M（t）， t型≥ 0，（3.3），其中我们用{M（t）}t表示≥0 s q uare可积鞅：M（t）：=ZtZRn \\{O}（F（Xx（s-), y）- F（Xx（s-), y） ）eN（ds，dy）。将等式[1，定理2.1.5]和[1，引理4.2.2]中的Doob鞅应用于{M（t）}t≥0，并使用属性（1.2）得出∈[0，t]| M（s）|#≤ 4E|M（t）|≤ E“ZtZRn \\{O}| F（Xx（s-), y）- F（Xx（s-), y） |ν（dy）ds#≤ KE公司Zt | Xx（s）- Xx（s）| ds.p递减不等式、恒等式（3.3）和漂移系数b（x）的Lipschitz连续性，以及Gronwall不等式，意味着估计（3.1）。

为了证明不等式（3.2），我们再次使用随机方程（1.1），得到了thatx（t）- Xx（s）=Ztsb（Xx（r））dr+N（t）， 0≤ s<t，（3.4），其中我们用{N（t）}t表示≥0平方可积鞅：N（t）：=ZtsZRn \\{O}F（Xx（r-), y） eN（dr，dy）， t>s.18 D.DANIELLI、A.PETROSYAN和C.A.P将Doob的鞅不等式[1，定理2.1.5]和[1，引理4.2.2]应用于{N（t）}t≥0，并使用系数b（x）的有界性，从恒等式（3.4）得出“supr∈[s，t]| Xx（r）- Xx（s）|#≤ C | t- s |+E“ZtsZRn \\{O}| F（Xx（r-), y） |ν（dy）ds#！≤ C | t- s |+| t- s | ZRn \\{O}|ρ（y）|ν（dy）！（按条件（1.3））≤ C | t- s |∨ |t型- s |。这就得出了不等式p屋顶（3.2）和爱玛L屋顶（3.1）。命题1.7的证明。我们将证明分为两个步骤。步骤1（空间变量中的Lipschitz正则性）。使用值函数（1.16）的表达式，我们可以看到| v（t，x）- v（t，x）|≤ sup{| v（t，x；τ）- v（t，x；τ）|：τ∈ TT-t} ，并证明存在一个正常数C，使得| v（t，x；τ）- v（t，x；τ）|≤ C | x- x |， t型∈ [0，T]， x、 x个∈ 注册护士， τ ∈ TT-t、 （3.5）类似于P位置1.2，使用c、f、Д和g的Lipschitz连续性，以及零阶项c和s顶部时间τ的有界性∈ [0，T]，我们得到| v（T，x；τ）- v（t，x；τ）|≤ 总工程师最大值0≤s≤T-t | Xx（s）- Xx（s）|.将H¨older不等式和估计（3.1）应用于p递减不等式的右侧，我们得到（3.5）成立，因此我们得到了sup{kv（t，·）kC0,1（Rn）：t∈ [0，T]}<∞. （3.6）步骤2（C-时间变量中的规律性）。

我们假设在失去一般性的情况下，th为0≤ t<t≤ T，并使用以下事实-t型 TT-t、 下面的不等式成立：v（t，x）- v（t，x）≤ supτ∈TT-t型v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）,v（t，x）- v（t，x）≤ supτ∈TT-t型v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）,其中，我们使用符号τ′：=τ1{τ<T-t} +（t- t） 1{τ=t-t} 和τ′：=τ∧ （T- t）∈ TT-t、 （3.7）我们的目标是证明存在一个正常数C，使得v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）≤ C | t- t |， τ ∈ TT-t、 （3.8）v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）≤ C | t- t |， τ ∈ TT-t、 （3.9）上述四个不等式将意味着th atsup{kv（·，x）kC（[0，t]）：x∈ Rn}<∞. （3.10）我们将不等式（3.8）和（3.9）的证明分为两种情况。非局部算子的障碍问题19案例1（不等式证明（3.8））。我们表示simplicityE（t，s，x）：=e-Rsc（t+r，Xx（r））dr， t型∈ [0，T]，s∈ [0，T- t] ，x∈ Rn，并使用（3.7）中停止时间τ′的选择，我们得到分解：v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）=E{τ<T-t} （E（t，τ，x）- E（t，τ，x））Д（t+τ，Xx（τ））+ E{τ<T-t} E（t，τ，x）（Д（t+τ，Xx（τ））- Д（t+τ，Xx（τ）））+ E{τ=T-t} （E（t，τ，x）- E（t，τ，x））g（Xx（τ））（τ′=T- Tτ=T时- tby（3.7））+EZτ（E（t，r，x）- E（t，r，x））f（t+r，Xx（r））dr+ EZτE（t，r，x）（f（t+r，Xx（r））- f（t+r，Xx（r）））dr- E{τ=T-t} ZT公司-tT-tE（t，r，x）f（t+r，Xx（r））dr.不等式（3.8）是前面表达式、零阶项c的有界性以及函数c、f、Д和g的Lipschitz连续性的直接结果。案例2（不等式证明（3.9））。

与案例1的证明类似，通过直接计算，我们可以将差异写为三项之和，对应于案例τ<T- t、 t型- t型≤ τ<T- t、 和τ=t- t： v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）=I+I+I，其中表示：I=E{τ<T-t} （E（t，τ，x）Д（t+τ，Xx（τ））- E（t，τ，x）Д（t+τ，Xx（τ）））+ E“Zτ∧（T-t） （E（t，r，x）f（t+r，Xx（r-) - E（t，r，x）f（t+r，Xx（r）））dr#，I=E{T-t型≤τ<T-t} （E（t，τ，x）Д（t+τ，Xx（τ））- E（t，t- t、 x）g（Xx（t- t） ））+ E{T-t型≤τ<T-t} Zτt-tE（t，r，x）f（t+r，Xx（r）dr,I=E{τ=T-t} （E（t，τ，x）g（Xx（t- t） （）- E（t，τ，x）g（Xx（t- t） ））.为了证明不等式（3.9），我们进一步将每个项展开如下：I=E{τ<T-t} （E（t，τ，x）- E（t，τ，x））Д（t+τ，Xx（τ））+ E{τ<T-t} E（t，τ，x）（Д（t+τ，Xx（τ））- Д（t+τ，Xx（τ）））+ E“Zτ∧（T-t） （E（t，r，x）- E（t，r，x））f（t+r，Xx（r））dr#+E“Zτ∧（T-t） E（t，r，x）（f（t+r，Xx（r-) - f（t+r，Xx（r）））dr#，20 D.DANIELLI，A.PETROSYAN和C.A.P OPI=E{T-t型≤τ<T-t} （E（t，τ，x）- E（t，τ，x））Д（t+τ，Xx（τ））+ E{T-t型≤τ<T-t} （E（t，τ，x）- E（t，t- t、 x））Д（t+τ，Xx（τ））+ E{T-t型≤τ<T-t} E（t，t- t、 x）（Д（t+τ，Xx（τ））- Д（T，Xx（τ）））+ E{T-t型≤τ<T-t} E（t，t- t、 x）（Д（t，Xx（τ））- g（Xx（τ）））+ E{T-t型≤τ<T-t} E（t，t- t、 x）（g（Xx（τ））- g（Xx（T- t） ））+ E{T-t型≤τ<T-t} Zτt-tE（t，r，x）f（t+r，Xx（r）dr,I=E{τ=T-t} （E（t，τ，x）- E（t，τ，x））g（Xx（t- t） （）+ E{τ=T-t} （E（t，τ，x）- E（t，t- t、 x））g（Xx（t- t） （）+ E{τ=T-t} E（t，t- t、 x）（g（Xx（t- t） )- g（Xx（T- t） ））.兼容性条件（1.15）告诉我们，Iis表达式中的第四项为非正。利用c是有界函数且g是Lipschitz连续的事实，我们将Ian表达式中的第五项和Iby表达式中的最后一项绑定起来E{T-t型≤τ<T-t} E（t，t- t、 x）（g（Xx（τ））- g（Xx（T- t） ））+E{τ=T-t} E（t，t- t、 x）（g（Xx（t- t） （）- g（Xx（T- t） ））≤ CE“支持-t型≤s<T-t | Xx（s）- Xx（T- t） |#，对于正常数C。

再次利用零阶er项c有界且c、f、Д和g为Lipschitz函数这一事实，差分V（t，x；τ）表达式中的其余项- v（t，x；τ′）可由C | t限定- t |，对于一个正常数C。因此，它遵循v（t，x；τ）- v（t，x；τ′）≤ C | t- t |+CE“支持-t型≤s<T-t | Xx（s）- Xx（T- t） |#。将H¨older不等式和估计（3.2）应用于右侧的第二项，可以得出p性质（3.9）成立。不等式p屋顶（3.8）和（3.9）表示估计值（3.10）。属性（3.6）和（3.10）完成证明。在引理2.1中证明的平稳情况下，我们在动态规划的演化情况中有以下类似的例子：引理3.2（动态规划原理）。假设命题1.7的假设成立。然后，（1.16）中定义的值函数v（t，x）满足：v（t，x）=sup{v（t，x；r，τ）：τ≤ τr∧ （T- t） }， （t，x）∈ [0，T）×Rn，（3.11）非局部算子21的障碍问题，其中我们表示v（T，x；r，τ）：=Ehe-Rτc（t+s，Xx（s））dsИ（t+τ，Xx（τ））1{τ<τR∧（T-t） }i+Ehe-Rτc（t+s，Xx（s））dsv（t+τ，Xx（τ））1{τ=τR，τ<t-t} i+Ehe-Rτc（t+s，Xx（s））dsg（Xx（τ））1{τ<τR，τ=t-t} i+EZτe-Rρc（t+s，Xx（s））dsf（t+ρ，Xx（ρ））dρ.（3.12）证明。为了证明引理3.2，我们可以使用用于建立引理2.1的参数，并进行以下更改。我们选择TT中的停止时间τ-T，我们将（2.9）中定义的函数v（x；r，τ）的使用替换为（3.12）中的函数v（T，x；r，τ）。在Lemma 2.1证明的步骤1中，我们对σ-代数Fτr进行条件处理∧（T-t） 在引理2.1的步骤2中，我们选择集合{Ak}k的族，而不是Fτr∈它将[0，T]×Rn而不是Rn进行划分，并将命题1.2的应用替换为命题1.7的应用。为了简洁起见，我们省略了其余的证明细节。

我们现在可以使用引理3.2来证明演化障碍问题（1.14）的粘性解的存在性。定理1.9的证明。这个证明与定理1.4非常相似，我们用引理3.2的应用替换了引理2.1的应用。我们省略了详细的证据。定理3.3（比较原理）。假设满足假设1.1，g属于toC（Rn），c，f，Д在c（[0，T]×Rn）中，条件（1.15）和（1.20）保持不变。如果u和v分别是进化障碍问题（1.14）的aviscosity子解和su-persolution，则u≤ v、 证明。除以下修改外，证明与定理2.2相同。我们将Mα，εin（2.23）的定义替换为Mα，ε：=sup（t，x），（s，y）∈[0，T]×Rnnu（T，x）- v（s，y）-α|x个- y |+| t- s|- ε（| x |+| y |）o.（3.13）在定理2.2的p屋顶中，我们使用了零阶系数c（x）为正的事实，这在定理3.3的假设下不一定是真的。我们注意到，因为c（x）是有界的，所以存在一个正常数λ，使得λ+c（x）>0。从定义1.8可以清楚地看出，如果v是进化障碍问题（1.14）的粘度亚或超解，则eλ（T-t） 对于方程（1.14）的粘度子解或上解，我们用c（x）+λ>0替换c（x），用eλ（t，x）替换f（t，x-t） f（t，x）和Д（t，x）乘以eλ（t-t） ^1（t，x）。为了简洁起见，我们省略了其余的证明。定理1.11的证明。定理1.11的结论是定理3.3的直接结果。参考文献[1]D.Applebaum，《列维过程与随机微积分》，第二版，《剑桥高等数学研究》，第116卷，剑桥大学出版社，剑桥，2009年。[2] S.I.Boyarchenko和S.Z.Levendorski，非高斯Merton-Black-Scholes理论，世界科学：RiverEdge，新泽西州，2002年。[3] ，L’evy过程下的永久美国期权，暹罗J.Control Optim。

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