管理波动性风险：Karhunen Lo \` eve的应用

请注意，可以解释为微笑平行移动的firstiegenfunction解释了89.62%的动力学。第二个特征函数解释了大多数剩余动力学，可以解释为倾斜变化（旋转）。第三个特征函数的影响更具争议，可以理解为凸度的变化。事实上，对于男高音索引微笑，可以在图2中获得相同的理解。然而，这些直观的解释对于过期指数微笑不再有效。图3说明了失效指数微笑对数返回的特征函数和特征值。虽然Firstiegenfunction仍然可以解释为平行位移，但第二个函数几乎没有任何解释，它几乎占动力学的10%。过期指数微笑和男高音指数微笑之间的差异与从业者的经验一致，即男高音指数微笑比过期指数微笑更“僵硬”。因为当期限固定时，不同的到期日将在期权合同中包含不同程度的不确定性。不同到期日的隐含波动性关系松散，表现出较少的规律性。Karhunen-Loève分解也可以应用于多元函数序列。图4说明了到期日对数收益率和期限指数波动率曲面的前三个特征函数。第一个本征函数，尽管不太灵活，但总是正的，可以解释为平行位移。第二个特征函数反映了到期期间的旋转，因为它单调地交叉0，但在整个期限内平行移动。

一个重要的备注是，0 5 10 15 20 25 30x0.40.30.20.10.00.10.20.30.40.5Дi（x）本征函数λ1=3.08e的边缘函数-03，98.26%解释λ2=3.53e-05，1.13%解释λ3=8.23e-06，0.26%解释图2：Tenorindex微笑对数返回的前三个特征函数和Karhunen Loève分解的特征值。货币=0，到期=10年，货币=美元。x轴的单位为年。0 5 10 15 20 25 30x0.40.20.00.20.40.60.81.01.2Дi（x）本征函数λ1=4.13e-03，79.21%解释λ2=5.09e-04，9.76%解释λ3=4.29e-04，8.24%解释图3:ExpireyIndex微笑日志返回的前三个特征函数和Karhunen Loève分解的特征值。货币=0，期限=10年，货币=美元。x轴的单位为年。图4中的二维本征函数与图2和图3中的一维本征函数并不完全对应。这应该是因为波动率表面上的一些波动率具有显著的相关性。例如，由于百慕大群岛期权的存在，10年期10年期掉期期权的隐含波动率应与9年期11年期掉期期权的隐含波动率密切相关，百慕大群岛期权是交易最活跃的奇异掉期期权。对于将于20年后到期的百慕大掉期期权合同，合同持有人可在9年或10年后行使合同。因此，10Y 10Y掉期期权的隐含波动率以这种方式与9Y 11Y掉期期权的隐含波动率相关联。还应注意的是，在图3和图2中，如果定义域相同，到期指数微笑的特征值大于期限指数微笑的特征值[0，30]。因此，与到期日相关的变动应该比图4中与期限相关的变动更为显著。

这可能解释了图4中的第二个特征函数，其中边缘函数对于固定到期时间近似不变。表1：货币指数smilelog回报的Karhunen Loève分解{ξi}If之间的相关性。到期日=10年，期限=10年，货币=美元预测组合{ξi}i 1和2 1，3 2和3皮尔逊相关性0.00001%0.00016%-0.00007%p值99.99975%99.99346%99.99715%。图1中前三个组成部分的对数回报预测如图5所示。这些是方程式15中定义的ξ的时间序列。表1表明，它们实际上是互不相关的。4预测时间序列风险价值（VaR）的过滤历史模拟最初是摩根大通的内部风险管理措施，现已成为银行系统评估市场风险的基准。尽管有人批评不提供预期缺口（Dowd【1998年】）或不具有次加性（Artzner等人【1999年】），VaR是一种直观且易于计算的度量方法，总结了重要的风险信息。市场风险来自不同的风险因素，我们这里关注的风险因素是波动性。但隐含的波动性是一个微笑，一个表面，或者在交换期权的情况下是一个立方体，这使得对其动力学的研究变得困难。如前几节所示，可以采用Karhunen Loève分解来对动力学进行简洁而准确的描述。最多需要三个特征向量以及这些特征向量上的投影来表征动力学。因此，波动性风险因素可以恢复为三个相互不相关的过程，可以分别研究这三个过程来评估VaR。计算VaR最常用的方法是历史模拟。

对于给定的时间序列{rt}t（例如{ξi（t）}t），我们要计算VaR（α），即随机过程分布F的第α分位数。与假定先验参数分布F并估计分布参数的参数方法不同，历史模拟直接使用X10510115202530X2051015202530Иi（x）0.0240.0260.0280.0300.0320.0340.0360.0380.040特征函数#1（λ1=1.14e-01，83.18%解释）X10510152002530X2051015202530Дi（x）0.150.100.050.000.05本征函数#2（λ2=1.59e-02，11.65%解释）X10510152002530X2051015202530хi（x）0.120.100.080.060.040.020.000.020.040.06本征函数#3（λ3=2.70e-03，1.97%解释）图4:expiryand和tenor indexed surface log return的前三个特征函数和Karhunen Loève分解的特征值。货币=0，货币=美元。xis到期和xis期限。2008、2009、2010、2011、2012、2013、2015、2016、20171510505102008、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、20172520151050510152008、2009、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017201510505105101520图5：前三个组成部分的货币指数微笑日志回报预测（ξi）。到期日=10年，期限=10年，货币=美元。基于滚动窗口的经验分布。例如，为了计算时间t的VaR（α），我们首先使用L个最新历史观测值rt生成所有经验累积分布函数^F-五十、 rt公司-L+1，···，rt-1，其中L是滚动窗口的长度。ThenV aRt（α）=^F-1(α). 由于^F是阶跃函数，通常需要插值。然而，正如Cont【2001】所指出的，金融回报时间序列往往表现出波动性聚集现象，即条件异方差。对于更一般的时间序列，条件均值结构也很常见，例如在自回归模型中。

值得注意的是，条件均值结构和条件异方差结构都与时间序列的平稳性相一致。除可以检测到单位根的特殊情况外，对于研究中的时间序列，通常会假设后者。尽管存在这种兼容性，但条件平均值或条件异方差的存在将使历史模拟变得不可信，因为即使观测值-五十、 rt公司-L+1，···，rt-1具有相同的分布在无条件意义上，它们来自条件不同的分布。例如，如果时间t的条件波动率-1大于时间t时的值-五十、 然后同时使用它们来估计^fti是不太合理的。这就是为什么提出过滤历史模拟的原因。让我们首先考虑条件均值结构。对于ξ，其时间序列如图5的第一个面板所示，其自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）如图6所示。考虑到PACF，我们可以用AR（1）对ξ进行建模，因为Roue fff【2016】证明了以下定理。0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0自相关0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0偏自相关图6：ξ的ACF和PACF，从moneynessindexed微笑的Karhunen Loève分解中获得。定理1假设X是具有偏自相关函数κ的中心弱平稳过程。那么X是AR（p）过程当且仅当所有m>p的κ（m）=0。用AR（1）拟合ξ，我们得到以下模型：ξ（t）=βξ（t- 1) + （t） β=0.179634（27）的时间序列，以及残留物的ACF和PACF{（t） }皮重如图7所示。虽然ACF和PACF类似于白噪声，但时间序列显然具有波动性聚集效应。

事实上，取残留物的绝对值，重新计算ACF和PACF，我们得到了图8。因此可以建模为弱白噪声，但不是IID噪声。它表现出条件异方差结构，在估计VaR之前应该先去掉这些结构。如何估计? 最简单的方法是基于滚动窗口的标准差，不幸的是，这种方法效果很差。更复杂的考虑，如GARCH（p，q）模型，肯定可以完成这项任务。在这里，我们采用了一种称为指数加权移动平均（EWMA）的简约方法。更具体地说，对于centeredprocess X，我们可以使用以下递归公式估计其条件波动率：σ（t）=θσ（t- 1) + (1 - θ） X（t- 1） （28）式中θ∈ (0, 1). 该方法被称为“指数法”，因为方程28可以递归应用，得到以下方程：σ（t）=（1- θ） WXi=1θi-1X（t- i） +θWσ（t- W）（29），其中W是估算条件波动率的窗口长度。在我们的研究中，W=60，θ=0.9soθWσ（t-W）可以忽略。计算残留物的EWMA挥发度σ和权力下放通过σ，我们得到了时间序列{（t） σ（t）}t如图9所示。的ACF和PACF|σ|如图10所示。波动性聚集现象已完全消除！综上所述，我们首先通过对projectedtime seriesξ应用AR（1）来去除条件平均结构，以获得残差, 然后通过对残差的去校准得到条件异方差结构条件波动率σ。现在，历史模拟可以安全地应用于σ. 在我们的研究中，估计第一个和第99个滚动分位数，然后通过乘以σ进行“再挥发”，得到残留物的第一个和第99个滚动分位数.

分别表示第1个和第99个分位数（0.01）和（0.99），我们有：^（α） （t）=σ（t）^F-11，t（α）（30），其中σ是使用EWMA方法估计的条件波动率，^F1，是滚动经验累积分布，定义为：^F1，t（x）=LLXl=1x≤（t）-l） σ（t-l） （31）^的比较(0.01), ^（0.99）和实现的时间序列如图11所示。可以看出^（0.01）和^（0.99）形成良好的轮廓.此外，根据方程式27，ξ的分位数可通过以下公式估算：2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 20171510505100 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0自相关0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0偏自相关图7：时间序列、ACF和PACF, 从等式27.0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0自相关0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0偏自相关图8：的ACF和PACF||.2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017864202468图9:/σ、 其中σ是EWMA波动率衰减因子θ=0.9，波动率估计滚动窗口W=60.0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0自相关0 5 10 15 20 25 300.00.20.40.60.81.0偏自相关图10：ACF和PACF|/σ|.2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 201715105051015Q1Q99实现值图11：预测的第一个分位数^（0.01），第99分位数^（0.99）和实现的时间序列^ξ（α）（t）=βξ（t- 1) + ^（α） （t）（32），其中β=0.179634，微笑对数返回的极端平行位移为√λ^ξ（α）（t）e（x）。因此，预测的极端微笑为^I（α）（t，x）=I（t- 1，x）+exp（qλ^ξ（α）（t）e（x））（33）注意，我们使用下标1强调预测的微笑仅与沿第一主成分的移动相关。表示C（ft，κ，σ）付款人期权在t时的定价函数，其期权合同在t+t到期。

FTI是基础掉期合同固定期限的远期利率。那么，平行smileshift在时间t产生的交换期权的VaR将是：C（ft，κ，^I（α）（t，κ- 英尺）- C（英尺-1，κ，I（t，κ- 英尺-1） ）（34）如果我们想计算前几个主要组成部分的组合变动所产生的VaR，该怎么办？重复本节中描述的程序，可以类似的方式估计^ξ（α）和^ξ（α）。因此，根据方程式15，微笑日志返回的分位数可以通过以下公式计算：^u（α）（t，x）=Xi=1qλi^ξ（α）i（t）ei（x）（35）。在这里，我们仅使用前3个特征向量，因为它们解释了几乎100%的动力学。但这里有一个警告：三维向量的VaR，即^u（α）（t，x）的情况，没有很好地定义。例如，在货币指数微笑的情况下，如果我们取α=0.01，看看图1，那么^ξ（0.01）（t）e（x）表示极端负的平行位移，^ξ（0.01）（t）e（x）表示极端逆时针旋转，^ξ（0.01）（t）e（x）表示微笑的极端弯曲。因此，方程式35中定义的^u（0.01）（t，x）包含这三个方面。然而，我们也可以将VaR定义为极端正平行移动、极端逆时针旋转和极端微笑的组合，即^ξ（0.99）（t）e（x）+^ξ（0.01）（t）e（x）+^ξ（0.01）（t）e（x）+^ξ（0.01）（t）e（x）。因此，smile VaR的定义将基于实践中的关注点，我们将坚持这一定义，以简化符号。

根据方程式26和35，如果我们在时间t-1，我们可以通过：^I（α）（t，x）=I（t）来估计时间t时波动率微笑（或表面等）的极端情况- 1，x）+exp（^u（α）（t，x））（36）因此，在时间t时，微笑移动导致的互换变量为：C（ft，κ，^I（α）（t，κ- 英尺）- C（英尺-1，κ，I（t，κ- 英尺-1） ）（37）5重构的波动率微笑是否违反了无套利条件？众所周知，无套利条件是衍生品定价中最基本的假设。这对期权价格有直接影响，即使在无模型条件下也是如此。对于付款人，在某些情况下，可能不需要自回归结构。ξ和ξ就是这种情况，因为它们的填料层像白噪声。掉期期权，其期权合约为看涨期权，掉期期权的价格应随行使而递减且凸。为了证明这一想法，必须研究一个简单的欧洲看涨期权看涨期权（S，κ，σ）。应满足以下条件：调用（S，κ，σ）K≤ 0 (38)调用（S，κ，σ）K≥ 0（39）如果我们查看原始定价函数调用（S，κ，σ）=E（ST- κ)+. 对于第二个，想象一个投资组合X，由λ调用的多头头寸和κ键组成，多头头寸为1- λ调用带strikeκ，以及调用带strikeλκ+（1）的短位置- λ)κ. 根据函数x+的凸性，利用Jensen不等式，我们得到：λ（ST- κ)++ (1 - λ） （ST- κ)+- （ST- λκ- (1 - λ)κ)+≥ 0（40）这意味着T到期时投资组合的终值为非负值。因此，按照预期，投资组合在0时的价格也应为非负。

由于λ可以承载，我们得到了Call相对于κ的凸性。上一节构造的^I（α）（t，x）是否违反了无套利条件？为了回答这个问题，我们应该求助于价格函数。使用前面章节中的符号，掉期期权的预测极端价格为C（ft，κ，^I（α）（t，κ-英尺）。注意，我们使用了κ-ftto代替x，因为x代表25中定义的货币。图12显示了与罢工有关的价格函数示例，它观察了等式39中的条件。事实上，在我们所研究的历史时期（2007-2017年），没有一天违反了非套利条件。这表明，Karhunen Loève分解以及我们采用的过滤历史模拟与定价框架非常兼容。6回测变量（或ξ）估计良好？从图11中我们可以看到^（0.01）和^（0.99）形成良好轮廓, 但VaR估计的“优点”到底是什么？Campbell【2006】总结了VaR的回溯测试方法。为了继续回溯测试，我们应该首先定义所有“命中序列”，如下所示：h（0.01）（t）=（1如果（t）≤ ^（0.01）（t）0如果（t） >^（0.01）（t）（41）h（0.99）（t）=（1如果（t）≥ ^（0.99）（t）0如果（t） <^（0.99）（t）（42），以便命中序列符合是否实现了超过所报告变量的移动的历史。3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0罢工0.00.51.01.52.02.5价格图12：使用极端预测隐含波动率时，付款人掉期期权罢工的定价函数示例。t=2008-06-12，到期t=10年，期限=10年，货币：美元，α=0.01。Christopherson等人。