随机集的条件核和条件凸包

对于每一个γP clΞ和αP Lpp0，8q，Fq，都存在一个ξPΞ，使得}γ'ξ}αa.s.核和凸壳9证明。应用命题2.10，X是半径为α{2，中心为零的开放球。3、随机凸se t s3.1。支持功能。设X为X的对偶空间，其中xu为配对，xy为X P X和u P X。空间X配备了σpX、Xq拓扑图y（见【1，第5.14节】）和相应的Borelσ-代数，因此ζ是X中的随机元素，如果Xζ，xy是所有X P X的随机变量。设X是X的可数总集（始终存在）。X的可分性确保σpX，Xq拓扑是可度量的，相应的度量空间是完全可分离的，请参见[4]和[14，Th.7.8.3]。X中随机集X的支持函数由hxpuq定义“suptxu，xy:x P Xu，u P x。空集的支持函数设置为'8。很容易看出支持函数无法区分x及其闭凸包。支持函数是u的下半连续子线性函数；如果x是弱紧的，那么支持函数是σpX，Xq连续的，请参见[1，Th.7.52]. 回想一下，与配对一致的所有拓扑都具有相同的下半连续子线性函数。如果X是p-可积有界的，即}X}p LppR，Fq表示p p r1，8s，那么hXpζq p LpR，Fq表示ζp LqpX，具有p'1'q'1“1的Fq。如果Xis不成立，则支持函数可以采用有限的值，即使每个给定的u p X的概率为1，例如，如果X是一条直线X“R具有均匀分布的方向。这一事实要求hXbe的参数是随机的。以下结果因支持函数的确定性参数而广为人知；它指的是附录a引理3.1中基本上确界的定义。

对于每个ζP LpX，Fq和随机闭凸集，hXpζq是r'8，8s中的随机变量，和hXpζq“ess supFtxζ，ξy：ξP LpX，F qu a.s.如果X是a.s.非em pty.证明。由于tX”Hu P F，可以假设X是a.s.非空。采用铸造表示X“cltξi，iě1u，我们确认hXpζq“supixζ，ξiy是F-可测的。对于所有ξP LpX，F q，hXpζqěxζ，ξy是直接的，因此hXpζqěess supFtxζ，ξy：ξP LpX，F qu.10 E.Lepinete和I.MOLCHANOVAssume x是a.s.有界的，因此对于任何ε0，hXpζqě259; 8 a.s.随机闭集x x tx：xζ，xyěhx xpζq'εu是a.s.非空的，因此具有一个选择η。Theness supFtxζ，ξy：ξP LpX，F quěxζ，ηyěhXpζq'ε。让ε'O0得出（3.1）hXpζq“ess supFtxζ，ξy：ξP LpX，F qu a.s。对于一般闭集X，hXpζq是hXnpζq的极限，其中Xnis是X与半径为n的中心球的交点。因为（3.1）适用于X“Xnand XnAX a.s.，Xζ，ξnydess supFtxζ，ξy：ξP LpX，F qu a.s.对于所有ξnP LpXn，Fq。因此，ess supFtxζ，ξny：ξnP LpXn，Fqudess supFtxζ，ξy：ξP LpX，F qu a.s。因此，hXpζq”limnИ8hXnpζqdess supFtxζ，ξy：ξP LpX，F qu，和结论如下。备注3.2。对于ξ，ξP LpX，F q和ζP LpX，Fq，定义ξ“ξxζ，ξyaxζ，ξy′ξxζ，ξydxζ，ξy。然后定义ξP LpX，F q和xζ，ξy”xζ，ξyaxζ，ξy。因此，家族xζ，ξy：ξP LpX，F qu向上，因此xζ，ξny`OhXpζq，其中tξn，ně1u LpX，F q.3.2极性集s。随机集x的极性集由XO定义“tu P X：hXpuqd1u。极性t o X是凸σpX，Xq闭集，它与X的闭凸包的极性重合。引理3.3。如果X是X中的随机集，则其极性xo是随机σpX，Xq闭凸集。证明。根据命题2.7，cl X承认一个Castaing表示tξi，iě1u。

ThenGr Xo“ciě1tpω，uq POhm ^X：xu，ξipωqyd1u P F b BpXq，需要注意的是，xo对于所有ω都是闭合的，并且需要注意的是，X在σpX，Xq拓扑图y中是抛光的。核心和凸包11下面的结果是众所周知的事实的变体，即每个凸包闭集等于最多可数个半空间的交集。在随机凸集的设置中，这些半空间变得随机，并由Xo的选择决定。定理3.4。在可分Banach空间中，几乎可以肯定的是，每一个非空闭凸集X都是一个最可数个随机数空间的区间，即存在一个可数的se tζn，ně1uALpX，Fq使得（3.2）X“cně1tx P X:Xζn，xydhXpζnq。如果X是弱可比的，则可以从可数全集证明中确定ζnbe。首先，假设X几乎肯定包含原点，并且“cltζn，ně1u是Xo的Castaing表示，它是由Emma 3.3测得的图。由于X是凸的，它也是弱闭的，双极性定理得出X”pXoqo。第二个极性并不影响集tζn，ně1u及其闭包，其中X是tζn，ně1u的极性集，即（3.3）X“cně1tx P X:Xζn，xyd1u。表示为（3.2）的右侧。由于hXpζnqd1，所以（3.3）的右侧是▄X的超集。需要注意的是，t X是tx P X的一个集合：Xζn，xydhXpζnq代表所有n，因此是f▄X的子集。如果X不一定包含原点，请考虑Y”Xξ代表任何ξP LpX，f q，f因此，Y“cně1ty P X:Xζn，yydhYpζnq“cn1ty P X:Xζn，y `ξydhXpζnq。需要注意的是，X P X如果且仅当X'ξP y。如果X是弱紧的，则支持函数为σpX，xq在X上连续，hXpuq是每个P X的一个有限随机变量。

因此，X等于所有u P X的半空间的交点X:xu，xydhXpuqu。12 E.LEPINETTE和I.Molchanov推论3.5。可分Banach空间中的每个almos t必然非空随机闭凸集X满足（3.4）X“cζPLpX，F qtx P X:Xζ，xydhXpζqu.Proof。需要注意的是，t X是（3.4）右侧的子集，不可数交是（3.3）右侧的子集。推论3.6。如果X和Y是两个随机m凸闭集，则为dhYpζqdhXpζqa.s。对于每个ζP LpX，Fq，然后YAX a.s.Proof。考虑（3.3）给出的X表示。然后Xccně1tx P X:Xζn，xydhYpζnqAY，其中后一种夹杂物来自（3.4）。除非随机集是弱紧集，否则在推论3.6.3.3中不考虑确定性ζ。铭文。函数f的题记：Xr'8，8s定义为API f“tpu，tq P XR:fpuqdtu。支持函数的题词可以描述为XR的子集，在σpX，Xq拓扑y和R上的欧几里德拓扑的乘积中闭合，并且是凸锥，每个元素pu，tq包含所有sět的pu，sq。我们用E表示此类子集的族。以下结果描述了X和它本身就很有趣。其欧几里德空间的版本已知，请参见[15，Prop.5.3.6]。定理3.7。当且仅当epi hXis是一个F-可度量的随机闭集且值在e中时，X中的闭凸集值映射X是Fmeasurabl e。证据必然性考虑F可测随机闭凸集X的Castaing表示n X“cltξi，iě1u。

然后Hxpuq“suptxx，uy:x P Xu”supiě1xξi，uy，u P x。因此，由（3.5）Grpepi hXq“ěiě1tpω，u，tqp”给出的epi hXis图Ohm ^XR:těXξipωq，uyuFinally，而不是e，映射uThИXξipωq，uy相对于F和BpXq的乘积是可测量的。核心效率和凸包效率13。设Y是E中有值的随机闭集。那么，i是下半连续次线性函数hpuq“inftt:pu，tqp Y u”的上图。因此，h是具有闭凸值的集值映射X的支持函数。它仍然表明X是F-可测的。设tpζi，tiq，iě1u是Y的Castaing表示。由lettingZ定义和确定可测的随机闭集“cně1tx P X:Xζn，xydtnu。让Pζ，tq是Y的选择，即hpζqdt a.s.，并假设t“hpζq。引理2.2，pζ，tq是序列pζm，tmq的a.s.极限，其中pζm，tmq是作为Y的CastaingRepresentation n的成员的组合获得的。很容易看出tZAtx p X:Xζm，xydtmu，mě1，其中hZpζmqdTm用于所有mě1。请注意，在X上的normalTopology中，在σpX中也是如此。.p逼近极限并使用下半连续性支持函数hZyields thathZpζqdhpζq.通过推论3.6，ZAX.另一个内含物是明显的。4、条件核心4.1。存在以下概念与命题2.8中考虑的随机闭集的可测版本有关。定义4.1。设X是任意集值映射。条件na lcore mpX | Hq o f X（称为H-core的lso）是最大的H-可测随机集X，如XAX a.s。以下结果将条件核与X引理4.2的H可测选择族联系起来。如果mpX | Hq存在并且几乎肯定是非空的，则（4.1）LpX，Hq“LpmpX | Hq，Hq，尤其是mpX，Hq，如果仅当LpX，Hq‰H证明为空，则为a.s.非空。

为了显示非平凡夹杂物，考虑γPLpX，Hq。随机集Xpωq“tγpωqu是H-可测的，满足XAX a.s。因此XAmpX | Hq a.s.，因此γp mpX | Hqa.s。14 E.LEPINETTE和I.Molchanov H核的存在是最大可测集XAX存在的问题。它不会阻止mpX | Hq的存在。如果H是平凡σ-代数，那么mpX | Hq是所有点x P x的集合，这样x P Xpωq几乎可以肯定。这些点被称为随机集的固定点，很明显，固定点集可能是空的。引理4.3。如果X是一个随机闭集，那么mpX | Hq存在，并且是一个随机闭集，如果Xis a.s.凸（分别为圆锥体），则h是a.s.凸（分别为圆锥体）。证据我们首先考虑LpX，Hq‰H的情况。根据定理2.4，LpX，Hq“LpY，Hq为H-可测随机闭集。此外，Y”cltξn，ně1u a.s.对于ξnP LpX，Hq，ně1。由于Xis闭，YAX a.s。由于任何H-可测随机集ZAX满足LpZ，HqALpY，Hq，我们有ZAX a.s.，因此Y“mpX | Hq。如果X是凸的，那么LpX，Hq“LpY，Hq是凸的，根据定理2.4，Y是arandom凸集。现在让我们考虑LpX，Hq“H.denei”tH P H:LpX，H X Hq‰Hu的情况，其中LpX，H X Hq指定xpωq，ωP H的H X H-可测选择，相对于H在H上的迹可测。观察I‰H当且仅当存在一个闭合的H-可测子tzhof X，使得PtZH Hua0。如果I“H，我们让mpX | Hq”H。否则，H，HP I并不意味着HY HP I。因此ζ“ess supHt1H：H P Iu”1H，其中Hn`OH表示HnP I，ně1。特别是HP I。

对于非空核，我们得到了LpX，H X Hq“LpXH，H X Hq，其中X是一个闭合的H X H可测子集，在H上是非空的。这是X.define mpX | Hq的最大H X H可测闭子集，由mpX | Hqpωq乘以mpX | Hqpωq，如果ωP H，则为H。考虑一个闭合的H-可测子集Z o f X。包含ZAmpX | Hq在tω上是微不足道的：Zpωq“Hu P H。使用可测选择参数，后一个集的补码H在PpHqa0时就属于I。因此，我们可以在非空集上修改H，并假设t HAH。我们通过构造xh推断ZAXHon H，而这个包含在补码tω：Zpωq”Hu上是平凡的。因此，mpX | Hq是X的最大闭H-可测子集。引理4.4。如果LppX，Hq‰H对于某些p p r1，8s和rand-omclosed集X，则LppmpX | Hq，Hq“LppX，Hq.CORE和凸包15证明。根据条件，mpX | Hq a进行p-可积选择，因此具有由p-可积选择组成的Castaing表示，请参见[11]和[15]。示例4.5。如果H由分区tB生成，不确定概率空间的Bmu，如果ωp Bi，i“1，…，m.4.2。条件核的次线性。引理4.6。设X为F-可测随机集。（i）λX为任意λp LpR，Fq的F-可测随机集。（ii）如果λp LpR，Hq，则（4.2）mpλX | Hq | mpX | Hq。（iii）如果X为随机闭集，则H的-σ-代数，thenmpmpX | Hq | Hq“mpX | Hq.Proof。（i）既然λXλ”ptλ“0u^t0uq Y pGrpλX ptλ‰0u^Xqq，就必须假设λ‰0 a.s.λX的可测性是中等的，因为映射φ：pω，XqThИpω，λ'1xq是可测的，ndGrpλXq“φ'1pGr Xq”。（ii）如果λp LpR，Hq和λmpX | HqAλX。假设XAλX是H-可测的。然后X“λ'1Xλ‰0'X1λ”0AXis H-可测量。

因此，XAmpX | Hq，因此XAλmpX | Hq。因此，mpλX | Hq退出且（4.2）保持不变。（iii）引理4.2，LpmpmpX | Hq | Hq，Hq“LpmpX | Hq，Hq X LpX，Hq“LpX，Hq”LpmpX | Hq，Hq。以下结果表明，对于反向包含顺序，条件核是次可加的；与引理4.6（ii）一起，它们意味着条件核是一个集值条件子线性展开。引理4.7。设X和Y是se t-va l-ued映射。然后（4.3）mpX | Hq ` mpY | HqAmpX ` Y | Hq。16 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOVProof。H-可测子集上的包含是微不足道的，其中（4.3）左侧的一个条件核是空的，因为此时的和是lso空的。如果γP LpmpX | Hq，Hq和γP LpmpY | Hq，Hq，则（4.1）得出γ\'γP LpX\'Y，Hq“LpmpX\'Y | Hq，Hq。示例4.8。设H是平凡的，X是平面上通过原点的一条线，具有随机方向，因此，mpX | Hq“t0u.IfY是一个确定的中心球，那么X\'yma的固定点集可能严格大于t0u\'Y”Y。而示例4.8表明（4.3）如果其中一个和数是H可测的，则不一定转化为等式，如果其中一个和数是H可测的s ingleton，则等式是H可测的。引理4.9。如果X是一个随机闭集，且ηP LpX，Hq，则ξP LpmpX | Hq“mpX | Hq |η。证明。考虑ξ| P LpmpX | tηu | Hq，Hq。然后ξ也是可测的，因此ξP LpmpX | Hq，Hq。相反的包含遵循fr om引理4.7。引理4.10。设X是一个随机闭集，存在一个γP LpX，Hq。设Xnbe为X与以γ为中心的半径ně1的闭合球的相互作用。mpX | Hq“cldně1mpXn | Hq.Proof。由于mpXn | HqAXnAX，我们有clTnmpXn | HqAX，whencecldnmpXn | HqAmpX | Hq。同样，考虑选择ξmpX | HqAX（否则，mpX | Hq“H，包含项很重要）。

然后ξn“ξ1}ξ'γ}n'γ1}ξ'γ}nP LpXn，Hq，从而ξnP mpXn'Hq a.s.让n尼8完成程序。随机集序列tXn，ně1u的强上限s-lim sup Xnof被定义为每个几乎肯定是强收敛序列ξnkP LpXnk，Fq，kě1的极限集。提案4.11。如果s-lim sup XnAX a.s.对于随机闭集tXn、ně1u和随机闭集X序列，则（4.4）s-lim sup mpXn | HqAmpX | Hq a.s.CORE和凸包17证明。如果γnkP mpXnk | Hq和γnk~nγ，那么γ是H-可测的，并且几乎肯定属于X，其中γ是mpX | Hq的选择。应注意，（4.4）中的反向包含不成立，例如。，如果Xn“tξnu具有非H-可测ξ，则ξna.s.收敛到支持函数的H-可测ξ4.3.必要集。可以将随机闭凸集的条件cor e还原为其支持函数的条件必要集。定理4.12。设X为a.s.非空随机闭凸集。然后（4.5）hmpX | Hqpζqdess INFHXPζq，ζP LpX，Hq，和（4.6）mpX | Hq“ěPLpX，F q！x P x：ess infH ` hXpζq'xζ，xyě0u。如果tζn，ně1u是（3.2）的序列，那么（4.7）mpX | Hq“ěn！x P x：ess infH ` hXpζnq'xζn，xyě0u。如果x是弱压缩的，那么（4.8（mpX |总部“cuPXtx P X:xu，xydess infHhXpuqu，并且可以接管所有u P X证明。在不丧失一般性的情况下，假设mpX | Hq‰H。通过引理3.1，hmpX | Hqpζq”ess supHtxζ，ξy：ξP LpmpX | Hq，Hqu固定任何ζP LpX，Hq“ess supHtxζ，ξy：ξP LpX，Hqu。此外，mpX | HqAXAtx:xx，ζydhXpζqu。因此，Xζ，ξydhXpζqf对于ξP LpX，Hq。由于Xζ，ξy是H-可测的，Xζ，ξydess infhxp q，因此（4.5）成立。由于hx | Hq的每个选择ξ也是（4.7）右侧的选择xpζnq'Xζn，ξyě0 a.s.适用于所有n。

函数ηpxq“ess infH`hXpζnq'xζn，xy“ess infHhX'xpζnqis Lipschitz在x和so中是连续的。由于ηpxq对所有x是H-可测的，因此函数在pω，xq中是联合可测的。因此，右侧的每个集都是H-可测的随机闭集，其中区间也是一个随机闭集，等式来自18 E.Lepinete和I.Molchanov条件核的最大值（4.6）是（4.7）右侧的子集，包含mpX | Hq，其中（4.6）ho lds。通过在（4.5）中选择ζ“u，我们可以看到（4.8）的左侧是右侧的子集，交叉点位于allu P X上。在（4.8）的右侧是一个H-可测的随机闭集，用▄X表示。它需要假设▄X是a.s.非空，并考虑其H-可测选择γ。对于所有u P X，xu，γydess infHhXpuqdhXpuq，γP X a.s.，和AX mpX | Hq a.s。方程（4.6）可以被认为是条件核的双重表示。示例4.13。（4.5）中的不等式可以是严格的。设X是穿过原点的平面X“r中的一条线，其法向量ζ具有非原子分布，因此对于ant X‰0，xx，ζy不可测量。此外，假设H包含F中的所有空事件。那么X的唯一H-可测量选择是theorigin，因此（4.5）的左侧消失。对于每个确定性（和H-可测量）非消失u，我们有hXpuq“8 a.s.，因此（4.5）的右侧是有限的。仍然（4.7）与ζ“ζ”和ζ“ζ”保持一致。实际上，然后是xζ，xy“0 a.s.，这仅适用于x”0。请注意，ess infhxpuq不一定是u的次加函数，因此可能无法作为函数的支持。