随机集的条件核和条件凸包

回想一下函数f的共轭：XTh~np'8，8s由fopuq“supxPX'xu，xy'f pxq'，u P X定义，f的双共轭是fo:XP'8，8s的共轭。命题4.14。设X为随机凸闭集。那么，mpX'Hq i的支持函数是最大的H-可测下半连续次线性函数H:XP'8，8s，从而（4.5）持有。如果X是弱紧的，那么mpX | Hq的支持函数是ess infhxpuq，u P X的双共轭函数。证据根据定理4.12，（4.5）成立。如果h是最大的下半连续函数，使得（4.5）ho lds，那么它对应于anH可测的随机闭集Y。这一结论来自于将条件系数定义为x的最大H-可测子集。核和凸包19如果X是弱紧的，则支持函数的参数可能是非随机的。由ess infHhXpuq，u P X支配的最大次线性函数是其双共轭函数。5、条件凸包5.1。存在和构造。定义5.1。如果X是一个随机集，则其条件凸集hullMpX | Hq是包含X的最小H-可测随机凸集。定理5.2。如果X是RANDOM集合，则MpX | Hq存在，和（5.1）hMpX | Hqpζq“ess supHhXpζq，ζP LpX，Hq.Proof。在不丧失一般性的情况下，假设X是闭合的和凸的（具有可能的空值）. 然后epigra ph epi hXis在XR中是一个闭合的凸锥，因此mpepi hX | Hq存在，并且是引理4.3中的凸锥。根据定理3.7，mpepi-hX | Hq是H-可测随机闭凸集的支持函数的题记。Z的支持函数是支配hx的最小H-可测支持函数，因此Z“MpX | Hq是包含X的最小H-可测随机闭凸集。（5.1）的左侧大于或等于右侧。

由于ess supHhXpu`vqdess supHphXpuq`hXpvqqdess supHhXpuq`ess suphhxpvqf对于所有u，v P X，基本上确界保留了次加性属性，因此是一个支持函数。因此，右侧是H-可测随机闭凸集的支持函数，它是推论3.6得出的MpX | Hq的子集。conditionalconvex外壳的定义产生了等式。根据推论3.5，MpX | Hq等于随机半空间tx:xζ，xydess supHhXpζqu与ζP LpX，Hq的交点。如果MpX | Hq isa。s、 弱紧，则可以让ζ在确定性元素fr om X上运行。提案5.3。如果X是一个随机闭集X与半径为n的中心球的交点，则（5.2）MpX | Hq“cldnMpXn | Hq.Proof。如果XAY表示一个H-可测随机数m闭凸集Y，则xnAY。因此，MpXn | HqAY表示所有n，而MpX | HqAY表示所有n。20 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOV5.2。条件凸包的超可加性。提案5.4。I f X和Y是随机集，那么（5.3）MpX\'Y | HqAcl | MpX | Hq\'MpY | Hq\'。如果Y是H-m可测且凸的，则对于（5.3），必须证明右侧是一个H可测且包含X\'Y的凸闭集。第二个语句来自（5.1），因为hMpX\'Y | Hqpuq“ess suphhhx\'Ypuq”，ess supHphXpuqq ` hYpuq”hMpX | Hqpuq ` hYpuq。提案5。4加上相当明显的ho-mo-generity性质，意味着条件凸包是一个集值条件超线性期望。5.3. 核心和凸包之间的对偶性。下面的结果建立了条件凸包和条件核之间的关系，假设随机集X至少包含一个H-可测选择。提案5.5。I f LpX，Hq‰H，然后mpx'γ| Hq“pmppX'γqo | hqqo对于任何γP LpX，Hq.Proof。

有必要假设X是一个随机凸集，0 P X a.s.，因此设γ“0 a.s.，那么pmpXo | hqqo包含X a.s。如果yi是一个包含X的H-可测随机凸集，那么yOAXoa.s.，其中YAmpXo | Hq a.s.，Y包含后一个集的极性。铭文也存在类似的二元关系，即Mpepi hX | Hq“epi hmpX | Hq，Mpepi hX | Hq”epi hmpX | Hq。备注5.6。考虑过滤pFtqt“0，…，t pOhm, F、 Pq。自适应序列pXtqt“0，…，Tof随机闭集被称为所有sdt的maxin gale ifXs”MpXt | Fsq，对于条件凸集同样适用。如果X是随机闭集，则Xt“MpX | Ftq，t”0，…，t是maxingale。随机集Xt“p'8，ξts形成maxingale当且仅当序列pξtqt“0，…，Tof随机变量是[2]意义上的maxingale inCORE和凸包21。类似的概念适用于条件核。如果条件核（或凸包）被期望替换，则恢复集值鞅的概念，请参见[11]和[15，第5.1节]。6。条件经验6.1。可积随机集。定义6.1（请参见[11]）. 设X是一个可积随机闭集，即LpX，F q‰H。关于σ-代数HAF的条件表达式EpX | Hq是随机闭集，使得（6.1）LpEpX | Hq，Hq“cltEpξ| Hq：ξP LpX，F qu。以下结果表明，可以采用L-closurein（6.1）。引理6.2。LpEpX | Hq，Hq与SettPξ| Hq：ξP LpX，F qu.的L-闭包一致。通过定义，Ξ“tEpξ| Hq：ξP LpX，F qu是pPEx | Hq，Hq的子集，它在Lsince EpX | Hq中是封闭的。因此，clΞLpEpXHq，Hq。根据命题2.7，随机集EpX | Hq允许一个Castaing表示tξi，iě1u，其中ξiP clΞ对于所有iě1。然后tξi，iě1u cl”因此，LpEpX | Hq，HqAclΞ由引理2.2。6.2.

随机集的广义条件期望。以下定义依赖于附录B定义6.3中讨论的广义预期的概念。设X是一个随机闭集，H是F的一个子σ-代数，使得LHpX，F q‰H。广义条件预测EgpX | Hq是H-可测的随机闭集，如t（6.2）LpEgpX | Hq，Hq“cltEgpξ| Hq：ξP LHpX，F qu。广义条件期望的存在性来自推论2.5，因为（6.2）右侧的族是Hdecomposable的。引理6.4。如果X是可积随机闭集，则EpX | Hq“EgpX | Hq.Proof。要显示非平凡包含，请考虑ξP LHpX，F q，sothat Egpξ| Hq”i“1Epξ1Ai | Hq1Ai用于H-可测分区22 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOVtAi，Iě1u，以及ξ1AiP LpX，Fq用于所有Iě1。如果γP LpX，F q，则egpξHq“limn~n8n"yI”1“Epξ1Ai | Hq1Ai ` Ep | Hq1OhmzYidnAiia.s.由于ξ1Aiandγa可重积，极限下的和属于px | Hq。因此，Egpξ| Hq P EpX | Hq a.s.由于EpX | Hq是一个随机闭集，所以族LpEpX | Hq，Hq在Lby引理6.2中是闭的。因此，EgpX | HqAEpX | Hq a.s。引理6.5。设X是一个随机闭集，使得LHpX，F q‰H。那么，对于每个ξP LHpX，F q，X′ξ是一个可积的随机闭集，andEgpX | Hq“EpX'ξ| Hq'Egpξ| Hq a.s.证明。由于X'ξ是可积的，因此EpX'ξ| Hq“EgpX'ξ| Hq byLemma 6.4。对于所有ηP LHpX，F q，EgpXη| Hq“Egpη'ξ'Hq'EgpXξ'Hq a.s.因此，EgpX| HqAEpX'ξ| Hq'Egpξ| Hq a.s.反向包含允许来自EgpX'ξ| Hq'EgpX | Hq'Egpξ| Hq。推论6.6。如果X是H-可测a.s.非空随机闭凸集，则EgpX | Hq“X a.s.众所周知，请参见[11]和[15]，如果X是a.s.凸集和不可积集，则hEpX | Hqpuq“EphXpuq | Hq a.s.对于所有u P X，请参见[15，Th.2.1.47]。

下面的结果是对支持函数的可能随机参数这一事实的推广。引理6.7。如果LHpX，F q‰H，thenEgphXpζq | Hq“hEgpX | Hqpζq，ζP LpX，Hq.Proof。通过将γP LHpX，F q‰H的X传递到X'γ，可以假设t X包含概率为1的原点，并使用常规条件期望。每个ηP lpex | Hq，Hq是ξnP LHpX，F q，ně1的Epξn | Hq的几乎确定极限。然后Xζ，ηy“lim Epxζ，ξny | HqdEphXpζq | Hq。因此，hEgpX | HqpζqdEgphXpζq | Hq a.s.在另一个方向，fixε0和ca0和letY“tx P X：Xζ，xyěhXpζq'εu Y tx P X：Xζ，xyěcu.CORE和凸包23那么X X Y几乎肯定是一个非空随机闭集，它拥有一个选择ξ，使得Xζ，ξYěminphXpζq'ε，cq。传递到条件l期望会产生epminphxp q'ε，cq'Hq'Epxζ，ξY'HqdhEpX'Hqpζq。X的支撑函数是非负的，让c`O8和ε'O0总结证据。注意，引理6.7适用于常规条件期望，如果X是可积的，并且ζP LpX，Hq，即（强）normofζ本质上是有界的。引理6.8。设X是一个随机dom闭集，使得LHpX，F q‰H，让Xn“X X Bn，ně1。ThenEgpX | Hq”cldnEgpXn | Hq a.s.证明。通过将任何γP LHpX，F q从X传递到X'γ，可以假设0 P X a.s.，因此X是可积的。用Y表示右侧。注意，YAEpX | Hq。要确定反向包含，让ξ“Epη| Hq表示ηP LpX，F q。然后ξ是ηEp的极限L中的n | Hq，其中ηn“η1 |η| nP LpXn，Fq.SinceEpηn | Hq P EpXn | Hq a.s.，ξP Y a.s.，结论如下。6.3. 三明治定理。现在我们证明了（广义）条件期望被夹在条件cor e和条件凸包之间。提案6.9。I f X是a.s。

非空随机克隆集，然后（6.3）mpX | HqAEgpX | HqAmpX | Hq a.s.证明。第一个包含是无关紧要的，除非LpX，Hq‰H。然后，mpX | Hq的每个可测量选择ξ满足ξ“Egpξ| Hq，第一个包含在此。对于第二个包含，请注意，XAmpX | Hq和GPMPX | Hq | Hq由Coro llary 6.6确定。如果P X a.s.为0，则命题5.5得出MPX | HqAEgpX | HqApmpXo | Hqqo，24 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOVwhencempX | HqA'EgpX | Hq X PEGPXX | Hqqo'。考虑所有概率测度Q的族Q相对于P是绝对连续的。以下结果可以看作是对超线性函数和次线性函数表示的分析，它们是线性函数的上函数和下函数。定理6.10。设X为随机闭凸集。mpX | Hq（分别为mpX | Hq）是最小（分别为最大）的H-可测随机闭凸集a.s。包含所有Q P Q的EgQpX | Hq，从而存在广义条件期望。证据考虑tζn，ně1u族，其通过（3.2）的分析产生MpX | Hq。根据（5.1）和定理A.2，EgQnmphXpζnq | Hq`OhMpX | Hqpζnq A.s.作为序列tQnm的m~n8，mě1uAQ.通过引理6.7，hMpX | Hqpζnq“hTmEgQnmpX | HqpζnqdhTn，mEgQnmpX | Hqpζnq.鉴于（3.2），MpX | HqAcl codn，mě1EgQnmpX | Hq。命题6.9产生了反向包含，因此等式成立。如果X不包含任何不允许Q下广义条件期望的选择，则并集可以等价地接管所有Q P Q，从而使广义条件期望为空。如果Z是所有Q P Q的EgQpX | Hq的H-可测子集，hZpζq“EgQphZpζq | HqdEgQphXpζq | Hq.根据定理A.2，hZpζqdess infHhXpζq适用于所有ζP LpX，Hq.根据命题4.14，hZpζqdhmpX | Hqpζq.根据推论3.6，mpX | HqAZ。

根据定理6.10的思想，可以提出构造非线性集值期望的一般方法。如果Mis是Q的一个子族，那么cQPMEQpX | HqCORE和凸包25的可测量版本是一个集值次线性条件期望，满足（4.3）和可测量版本的cQPMEQpX | hqsaties（5.3）。示例6.11。假设M由所有概率度量qs组成，例如dQ{dPdα'1对于某些αP p0，1q。然后，上述公式提供了风险条件平均值的集值子线性和超线性类似物，这是一个众所周知的风险度量，参见[5，6]。7。极集和随机锥如果X是X中的凸锥，那么X“'xo被称为X的正锥，因此X“tu P X：xu，xyě0@X P xu。命题7.1。设K是X中的一个随机conv e X闭锥。然后，mpK | Hq和mpK | Hq都是闭凸锥，mpK | Hq”mpKHq和EpK | Hq“MpK | Hq a.s.证明。鉴于MpKHqHq的定义，cor和凸面外壳的锥形特性是显而易见的。由于MpK | HqAK，KMpKHqAMpKHqHqHqHqHq因此，MpK | HqAMpKHqHqHqKb与MpKHqAMpKHqHqHqKb相反。条件核的定义。对于最后一句话，假设tγP LpMpK | Hq，Hq不属于LpEpK | Hq，Hq.B根据Hahn-Banach分离定理，存在ηP LpX，Hq和c P R，使得对于所有ξP lpkHq，Hq，Exξ，ηyacaExγ，ηyf。由于LpEpK | Hq，Hq是一个圆锥体，我们有ca0，'η属于LpEpK | Hq，Hq。由于mpK | HqAEpK | Hq，EpK | HqmpK | HqmpKHqby proposition 7.1。因此，自γP K a.s.，Exγ，ηyd0以来的ηP Ka.s.与ca0相矛盾。定理6.10（i）给出了相反的包含。26 E.LEPINETTE和I。

MOLCHANOVEach随机凸集X在X中产生随机凸集Y“conepXq in R`^X”，由（7.1）conepXq“tpt，txq:tě0，X P Xu给出。请注意，Y不一定是R` X的子集，因此不能由（7.1）表示。命题7.2。如果Y“conepXq”由（7.1）给出，那么mpY | Hq“conepxx | Hqq”，如果MpX | Hq是a.s有界的，那么也可以由MpX | Hq给出Y |总部“conepMpX | Hqq.Proof。根据定义，mpY | HqAconepMpX | Hqq，因为后者设置为可测。如果pξ，ξq是mpY | Hq的H-可测选择，那么η”ξ{ξa.s.属于X且是H-可测的，其中ηp mpX | Hq，以及pξ，ξq”ξp1，ηq。显然，mpY | HqAconepx | Hq我们展示了EpY | Hq“conepMpX | Hqq。Y的支持函数由hyppu，uqq给出“supttu\'txu，xy:tě0，x P Xu”#0，如果u\'hXpuqd0，8则为其他。因此，如果u\'hXpuqd0 a.s.，则EhYppu，uqq“0”。需要注意的是，u\'hXpuqd0 a.s当且仅当u\'ess suphxpuq，并参考定理5.2。示例7.3（R中的随机圆锥体）。如果融资，随机段X“rSb，SasAR `对买卖价差进行建模，正双coneto Y”conepXq被称为偿付能力锥，见【13】。命题7.2表明，mpY | Hq是由ress supHSb，ess infHSas生成的锥，而mpY | Hq是由ress infHSb，ess supHSas生成的。附录A。有条件的基本SupremuletALpR，Fq是A（可能不可数）实值族F-可测随机变量，设H是F的次σ-代数。下面的结果是众所周知的，参见例如[6，附录A.5]和[2]和[12]中的进一步结果。定理A.1。对于任何一类随机变量，都存在一个唯一的ξP Lpp'8，`8s，Hq，表示b y ess supH，并称为Γ的条件上确界，因此，对于所有ξPΞ和ηěa.s，存在一个唯一的ξP Lpp'8，`8s，Hq。

对于ηP Lpp'8，'8s，Hq和所有ξPΞ表示ηě^ξa.s.核心和凸面外壳27很容易验证塔的性能“ess supHξ，如果HAH。设Q是关于P绝对连续的所有概率测度的集合。在下面的公式中，EQdesignates the expectation under Q.定理A.2。设ΞLpR，Fq，设H为子σ-代数ofF。如果每个HξPΞ都是A.s.非负的或其广义条件EgQpξ| Hq存在于所有Q P Q，则ess supHξ”“ess supFtEgQpξ| Hq，ξPΞ，Q P Qu。此外，如果Ξ”tξu是一个单态，则tEgQpξ| Hq，Q P Qu族向上定向，并且存在一个序列QnP Q，ně1，使得eqnpξHq`Oess supHΞeve rywh e re onOhm.证据由于ess supHΞěξ对于所有ξPΞ和ess supHΞ是可测量的，因此ess supHěEgQpξ对于所有Q P Q和ξPΞ是可测量的。因此，ess supHΞess supFtEQpξ| Hq，ξPΞ，Q P Qu“￠γ。对于所有ξPΞ，仍然需要证明|γěξa.s。这在集合|γ”8u上是微不足道的。因此，我们可以假设|γa8 a.s.假设存在一个ξPΞ和一个非空集a P f，如|γaξ在a上。然后|γ1A|1Acdξ，不等式在a上是严格的。对于α，让dQ“α1AdP”“PpAq'1，因此Q P Q.通过定义γ，EgQpξ| Hq1A'ξ1Acdξ，不等式严格在A上。采用条件期望得到tEgQpξ| HqEgQp1A | Hq'EgQpξ1Ac | HqdEQpξ| Hq，其中EgQpξ1Ac | Hq'EgQpξ| HqEgQp1Ac | Hq，不等式是严格的。事实上，根据假设，上述质量中的随机变量在R中取其值。然后我们得到一个矛盾，自QpAcq“0”起，为了表明族tEgQpξ，Q P Qu是向上的，考虑Q，QP Q，使dQi“αidP，i”1，2。通过将dQ“cαd P”与α“αEQpξ| HqěEQpξ| Hq `αEQpξ| HqaEQpξ| Hq28 E.LEPINETTE和i.MOLCHANOVand ca0进行定义，从而选择QPOhmq“1。

每小时的EgQpξ1Hq“EgPpαξ1HqěEgQpEgQipξ| Hq1Hq a.s.，其中EgQpξ| HqěEgQipξ| Hq a.s.用于i”1，2。结论如下。类似的定义和结果适用于条件要素。附录B：广义条件期望定义B。设H是F的一个子σ-代数。我们说，如果存在H-可测变量tAi，iě1u，使得ξ1对所有iě1都是可积的，则存在ξP LpX，Fq的广义条件期望。在这种情况下，我们说ξP LHpX，Fq和let（B.1）Egpξ| Hq“i”1Epξ1Ai | Hq1Ai。很容易看出，广义条件期望不依赖于所选的划分。定理B.2。我们有ξP LHpX，Fq如果a，并且仅当ξP LpX，Fqwith Ep}ξ}Hqa8 a.s。对于随机变量ξP LHpR，Fq，w e haveEgpξ| Hq“Epξ` | Hq'''Ep| Hq，其中ξ`“ξ_0和ξ'“\'pξ^0q.Proof.如果Ep}ξ}Hqa8 a.s.，通过lettingAn”tω：Ep}ξ}Hq p rn，n\'1qu p H，ně0定义一个H-可测划分。自Ep}ξ}1Anq“EpEp}ξ}Hq1Anqdn\'1以来，我们有ξ1是可积的，而GPξ| Hq“nEpξ1A”n | Hq1AnIfξ是一个随机变量，则Epξ` | Hqa8和Epξ''Hqa8 a.s.andEgpξ'Hq“npEpξ''''hq1an“Epξ`'Hq'Epξ''''Hq.反过来，设ξP LHpX，Fq，即存在一个H-可测分区tAi，iě1u，使得}ξ}1对所有iě1都可积。然后，Ep}ξ}Hq'ξ}1An | Hq1An。核和凸包29因为}ξ}1是可积的，EpEp}ξ}1An}| Hqq“Ep}ξ}1Anqa8，因此Ep}ξ}1An | Hqa8 a.s.和Ep}ξ}Hqa8 a.s。引理B.3。随机元素ξP LpX，如果仅当ξ“γξ”，则Fq承认广义条件期望，其中γP Lpr1、8q、Hq和ξi在可积证明中。让ξ承认广义条件期望。定义γ“p1\'Ep}ξ}Hqq，使Ep}ξ}Hqd1。因此，0dEp}ξ| qd1和ξ是可积的。反过来，如果ξ“γОξ与γP Lpr1，8q，Hq和积分ξ，t henξ1可积为Ai”tγP r i，i\'1qu，iě1。