随机集的条件核和条件凸包

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英文标题：
《Conditional cores and conditional convex hulls of random sets》
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作者：
Emmanuel Lepinette and Ilya Molchanov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We define two non-linear operations with random (not necessarily closed) sets in Banach space: the conditional core and the conditional convex hull. While the first is sublinear, the second one is superlinear (in the reverse set inclusion ordering). Furthermore, we introduce the generalised conditional expectation of random closed sets and show that it is sandwiched between the conditional core and the conditional convex hull. The results rely on measurability properties of not necessarily closed random sets considered from the point of view of the families of their selections. Furthermore, we develop analytical tools suitable to handle random convex (not necessarily compact) sets in Banach spaces; these tools are based on considering support functions as functions of random arguments. The paper is motivated by applications to assessing multivariate risks in mathematical finance.
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中文摘要：
我们在Banach空间中定义了两个随机（不一定闭合）集的非线性运算：条件核和条件凸包。第一个是次线性的，第二个是超线性的（逆集合包含排序）。此外，我们引入了随机闭集的广义条件期望，并证明它夹在条件核和条件凸包之间。结果依赖于从选择族的角度考虑的不一定是闭合随机集的可测性。此外，我们开发了适用于处理Banach空间中随机凸集（不一定是紧集）的分析工具；这些工具基于将支持函数视为随机参数的函数。本文旨在应用数学金融中的多元风险评估。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：Applications Differential Mathematical Multivariate Quantitative

随机集的条件核和条件凸集Emmanuel LEPINETTE和ILYA MOLCHANOVAbstract。我们在Banach空间中定义了两个具有随机（不一定闭合）集的非线性运算：条件核和条件凸包。第一个是次线性，第二个是超线性（在逆向集合包含排序中）。此外，我们还引入了随机闭集的广义条件期望，并证明它夹在条件核和条件凸包之间。结果与从选择族的角度考虑的不一定闭随机集的可测性有关。此外，我们还开发了适用于Banach空间中handlerandom凸集（不一定是紧集）的分析工具；这些工具基于将支持函数视为随机参数的函数。本文的动机是应用数学金融中的多元风险评估。1、简介巴拿赫空间中的每个几乎肯定非空随机闭集X（见第2.1节中的定义）都有一个可测量的部分，即几乎肯定属于X的随机元素ξ。此外，Xequals是其选择的可数族的闭包，称为X的包含表示，见【15】。如果至少有一个选择是Bochnerintegrable的，则X成为可积选择的可数族的闭包，X的（选择）经验EX定义为其所有可积选择的期望集的闭包，参见【11，15】。几乎可以肯定，确定性选择（如果存在）构成了X的固定点集；该集合始终是EX的子集。所有选择的支持并集是EX的超集；可以将其视为X的支持。日期：2018年11月12日。2010年数学学科分类。

49J53、60D05、26E25、28B 20、60B11。关键词和短语。随机集、s选择、集值经验、次线性期望、超线性期望、支持函数、本质上确界。我得到了瑞士国家科学基金会拨款200021-153597.2 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOVIn的支持。本文中，我们计算出了这些概念的条件变量，这些变量也适用于不一定是封闭的grah可测随机集。给定概率空间pOhm, F、 Pq和F的一个子σ-代数H，我们引入了条件核mpX | Hq的概念，它依赖于考虑相对于H可测量的选择。如果H是平凡的，则条件核成为X的固定点集；它还与【10】中考虑的基本交叉点有关。conditionalcore对应于一系列随机变量的条件本质上确界（in-fim）的概念，参见【2】。如果X是a.s.凸的，则其条件核可以通过在其支持函数的范围内取条件本质来获得。取条件本质极大值，得到条件凸包MpX | Hq的对偶概念。虽然sumof集的条件核是其条件核之和的超集，但条件凸包的反包含成立。换言之，条件核和条件凸包是非线性集值选择。EpX | Hq的传统条件（选择）扩展是可积随机闭集的一个众所周知的概念，请参见[9，11]。在处理所有选择的广义条件期望集的基础上，我们引入了广义条件期望EgpX | Hq，并展示了它与传统条件期望的关系。

特别地，研究表明，无论X是否可集成，EgpX | Hq“X是X是H-可测量的。目前的ed结果是由数学金融中的应用驱动的，其中多资产投资组合表示为集合，其风险也表示为集合值，参见[7、8、16]. 在动态设置中工作需要更好地理解随机集的调节操作及其迭代特性。在这种关系中，条件lcore提供了一个简单的条件风险度量，它概括了多资产投资组合的基本上限概念。为了与经典的中心概念（其中实值风险度量为次线性）平行，集合通过反向包含进行排序，因此条件核为次线性，条件凸hullis为超线性。第2节介绍了随机集及其选择，并讨论了各种可测性问题，特别是证明了每个闭集值映射都允许一个可测版本。特别关注可分解性和有限可分解性，这是适用于关联随机向量族和随机集选择的关键概念。核心和凸包3第3节开发了各种适合处理随机凸集的分析工具。通过传递欧氏空间中的随机紧凸集的支持函数，可以有效地研究欧氏空间中的随机紧凸集，而sametool则适用于可分Bana ch空间中的弱紧凸集。否则（例如，对于欧几里德空间中的无界闭集），支持函数只是下半连续的，并且可能成为对偶空间上的不可分r andom函数。例如，具有各向同性法线的欧几里德空间中的随机ha-lf空间的支持函数几乎肯定在所有确定性方程上消失。

我们表明，通过将支持函数视为应用于对偶空间中随机元素的函数，可以避免这种复杂性。第三部分，我们证明了著名结果的一个随机变量，即闭凸集是由可数个半空间的交集给出的。它还表明，随机凸集可以交替地描述为其支持函数的可测曲线图，从而将紧随机集的欧几里德集中已知的事实推广到可分离banach空间中的所有随机凸集。第4节介绍并阐述了随机集条件核的性质。给定一个子σ-代数H，条件l corempX | Hq是x中包含的最大H-可测r和om闭集。当我们在Banach空间中处理随机集时，可以为一般Polish空间中的随机集定义条件核心。在线性空间中，反向包含的条件核是次可加的，即两个随机集之和的核是其条件核之和的超集。虽然条件核是给定单中包含的最大随机集，并且相对于子σ-代数H是可测的，但条件凸包MpX | Hq是包含X的最小H-可测随机凸包闭集。第5节确定了条件凸包的存在性。证明了条件凸包的支持函数是由X的本质上确界给出的，并得到了核与凸包之间的对偶关系。第6节介绍了Random集的广义条件期望的概念，并表明它夹在条件核和条件凸包之间。

通过将广义条件期望与不同概率测度求交（或闭凸包），可以得到条件集值非线性期望的一个集合。4 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOVRandom凸锥有一个特殊的性质，即它们的支持函数要么为零，要么为有限。第7节考虑了r和OM凸锥的条件核和凸包。附录中收集了一些关于条件本质上确界和随机变量数量以及广义条件期望的有用事实。可分解性和可测量版本2.1。图可测随机集及其选择。LetX是范数为}¨}的可分（实）Banach空间，由其强拓扑生成Borelσ-代数BpXq。fa集AAX的范数闭包用cl A表示，内部用int A表示。固定一个完整的概率空间pOhm, F、 Pq。设H是F的次σ-代数，它可能与F重合。用LppX，Hq表示X中的H可测随机元素族，p r1，8q的p-可积范数，如果p“8，则为本质有界，如果p”0，则为所有随机m元素。对于p p r1，8q，lp中的强拓扑中的闭合由cland clis表示，是p“0的概率闭合。如果p”8，则闭合在σpL，Lq-拓扑中考虑。H-可测随机集（简称随机集）是Ohm 对于X的所有子集族，如其图（2.1）Gr X“tpω，xq POhm ^X:X P Xpωqu属于乘积σ-代数HbBpXq；在这种情况下，X通常被称为可测量的图形，请参见【15，第1.2.5节】。除非另有说明，否则根据可测量性，我们始终理解关于t的可测量性。如果Xpωq是几乎所有ω的闭（凸，开）集，则称随机集X为闭（凸，开）集。

如果X是闭合的，则当且仅当X是可测量的，即tω：Xpωq X G‰Hu P F，对于每个开集G，t hen（2.1）成立，请参见[15，定义1.2.1]。定义2.1。H-可测随机元ξ，使得ξpωq PXpωq几乎适用于所有ωpOhm 被称为X的H-可测选择（简称选择），LpX，Hq表示X的所有H-可测选择族，LppX，Hq是p p r1，8s的p-可积选择族。众所周知，几乎可以肯定的是，每个非空随机集至少有一个选择，请参见[9，Th.4.4]。引理2.2。设tξn，ně1 u是LpX，Fq的一个序列，因此xpωq“cltξnpωq，ně1u是一个随机闭集。设ξP LpX，F q.CORE和凸包5，则对于每个ε261 0，存在一个可测分区a，…，AnofOhm 这样，e“>>ξ'n"yi”1Aiξi>>>^ 1iε。证明。考虑一个可测量的可计数分区tBi，iě1uOhm, 因此，Bian上的ξiε{2，并选择足够大的n，使E“Yiěn\'1Bi}ξ}ξ}1iε{2。定义a”由pYi\'1Biq和Ai“bifori”2…，n。由于映射x~ax^1增加，E“>>ξn\'255i”1Aiξi>1>1iE“n"yi”1}ξ'ξi}1Ai'1'1'1'。然后是“>ξ'n"yi”1Aiξi>'1'n"yi“1E”}ξ'ξi'1Ai ^ 1'n"yi“1E”“}ξ'ξi}1Bi^1‰`E”Yiěn'1Bi}ξ'ξ}1‰ε。定义2.3。族ΞALpX，Fq称为H-可分解的如果f对于每个ξ，ηPΞ和每个A P H，随机元素1Aξ\'1Acη属于Ξ。文献[3]以稳定集的名义研究了LpRd，Fq的可分解子集。下面的结果对于p“1[11]，对于rp p r1，8s[15，Th.2.1.6]，是众所周知的，并且在[13，Prop.5.4.3]中提到，对于p“0”，我们给出了以下证明，并为随机凸集提供了变量。定理2.4。设Ξ为p“0”或p r 1，8s的LppX，Fq的非空子集。然后随机闭集X的LppX，F q如果且仅FΞ是F-可分解且闭的。

fam i l yΞ是凸的（是LppX中的一个con，Fq），当且仅当X是凸的（i是X中的一个锥）。证据必要性微不足道。设p“0”，并假设Ξ是F可分解且闭合的。考虑一个可数稠密集txi，iě1uAX和def ineai“infηpΞE r}η'xi}^1s，iě1。对于所有i，jě1，都存在一个ηijPΞ，使得E r}ij'xi'1sdai'j'1.6 E.LEPINETTE和i.MOLCHANOVDe'Xpωq“cltη所有ωp的ijPωq，i，jě1uOhm. 由于Ξ是可分解且闭的，因此LpX，F qΞ由引理2.2给出。如果Ξ是凸的或是一个锥，那么对于X是tηijpωq，i，jě1u的闭凸或由这些随机元素生成的闭锥，同样的包含也适用。假设存在一个ξPΞ，它不属于LpX，F q。然后存在一个δP p0，1q，使得a“ci，jě1t}ξηij}^1aδuhas正概率。因为Ohm “Yit}ξxi}^1aδ{3u，事件Bi”A X t}ξxi}^1aδ{3u对某些iě1有正概率。回想一下A'b}^1'A'c'1'c'b}^1。然后，在集合Bi上，}xiηij}^1'ξij''ξ'xi}^1ě2δ。此外，ηij“ξ1Bi'ηijBciPΞ通过可分解性，和j'1ěE'ηij'xi'1'ai'E'ηij'xi'1'E“}ηij'xi}1‰E”p}ηij'xi}1'}ξ'xi}1q 1BiiěδPpBiq。由于Biandδ不依赖于j，让j~n8产生一个矛盾。推论2.5。如果具有p“0或p p r1，8s的ΞALppX，Fq是封闭的且H可分解的，则存在一个H-可测的随机闭集X，使得ΞX LppX，Hq”LppX，Hq。命题2.6。如果X是一个随机集，则其点式闭集Xpωq，ωpOhm, 是一个随机闭集，Lpcl X，F q“clLpX，F q.证明。由于概率空间是完备的，并且X的图在乘积空间中是可测的，投影定理得出了任意开集G的tx G‰Hu P F。最后，注意，X命中任意开集G当且仅当cl X命中G。

因此，cl X是可测的，随机闭集也是可测的。夹杂clLpX，F qAlpclx，F q显然成立。由于LpCellpx，fq是可分解的，因此存在一个随机闭集Y，如clLpX，fq“LpY，fq。由于LpX，fqALpY，fq，我们有XAY a.s。因此，clxAY a.s。结论如下。核心和凸包7以下结果是众所周知的随机闭集的Castaing表示，参见示例[15，Th.1.2.3]。提案2.7。如果X是一个非空随机集，则存在X的可数族tξi，iě1u的可测选择，使得cl X“cltξi，iě1u a.s.证明。它需要用“Lpcl X，f q”重复定理2.4的证明部分，并观察t hatai“infηPLpX，f qE}ηxi}^1”infηPΞe}ηxi}^1，iě事实上，根据命题2.6，Ξ“clLpX，f q。命题2.7得出范数}X}“supt}X}：X P Xu“supt}ξ}：ξP LpX，F quand任意两个随机集之间的hausdorff距离是随机变量，其值为r0，8s。以下结果证明了任何闭值映射都存在可测版本。命题2.8.对于任何闭集值映射Xpωq，ωPOhm,存在一个随机闭集Y（称为x的可测版本），使得LpX，F q“LpY，F q。如果X是凸的（分别是l y，acone），那么y也是凸的（分别是一个锥）。证明。假设LpX，F q是非空的，否则，该陈述对于空y是显而易见的。由于LpX，F q是闭的和可分解的，定理2.4确保满足所需条件的y的存在。如果Xi，i P i，是一个不可数的随机集族，那么命题2.8可以定义其并集或交集闭合的可测量版本。对于A，BAX，将其点式和定义为\'B“tx\'y:X P A，y P Bu。相同的定义适用于LppX，Fq子集的和。

请注意，两个闭集的和不一定是闭的，除非至少是紧致的。如果X和Y是两个随机闭集，那么X\'Y的闭包也是一个随机闭集，请参见[15]。8 E.LEPINETTE和I.MOLCHANOV2.2。最终可分解性。定义2.9。如果所有序列tξn，ně1u fromΞA和所有H-可测分区stan，ně1u ofOhm.在LpRd的F可分解子集中，Fq称为σ-稳定素[3]。如果一个分区由两个集合组成，并且让所有其他集合都为空，那么最终的可反编译性就立即意味着可分解性。观察到n不完全可分解族Ξ不一定在L中闭合，例如。， Ξ “LpX，F q与非闭dx之和。很容易看出，如果Ξ是不完全可分解的，那么它的闭域也是不完全可分解的。在欧几里德空间中，开集G与另一集的和等于G与M的闭域之和。下面的结果表明，在不完全可分解性假设下，LpX子集的类似结果，Fq成立。命题2.10。让Ξ是px，Fq的一个完整的F-可分解子集，并且让X是一个F-可测的a.s.非空随机开集。然后，证明。考虑γP LpX，F q和ξP cl，以便ξnΞξa.s.对于ξnPΞ，ně1。通过一个可测量的选择参数，存在一个αP Lpp0，8q，Fq，使得以γ为中心的半径α的球是X a.s的子集。让我们定义一个零集，kpωq“影响：ξPωqξnP q}αPωqu，ωPOhm.由于映射ωTh~nkpωq是F-可测的，因此映射ωξpωq“ξkpωqpωq”1ξjkpωq”j也是F-可测的，并且根据有限分解性消耗属于。自}ξξ'ξ'αa.s.，ξ'γ”pξ'γ'ξq'ξp LpX，F q'φ6;。推论2.11。设Ξ是px，Fq的一个完全F可分解子集。