关于Fano比率和投资组合优化的注记

解为：a=αβ+γ（27）b=αβ（αβ+γ）（28）。注意，（20）来自（17）、（18）、（19）和（21）。我们有E=αβ（29）V=2αβ（αβ+γ）（30）F=（αβ+γ）（31）S=Sα（αβ+γ）2β（32）如果我们最大化夏普比，我们会得到E*= α/γ，V*= α/γ，F*= γ和S*= α. 由于γ<αβ，它允许t S<S*和F>F*（对于F和S来说，这并不奇怪*是其最大可能值p），且E<E*andV<V*. 因此，与最大化夏普比率相比，最大化Fano rat io会产生一个预期回报率较低但预期波动率也较低的投资组合。2.3结合边界从某种意义上说，溶液（14）不一定是好的，因为某些弱可能是负的。事实上，即使所有EI都是非负的，我们也可以对Cij中的o f-对角线元素具有负的宽度。因此，我们必须以某种方式将边界（13）合并到解中。问题是，我们这里不是在处理二次优化问题。然而，并不是所有的都丢失了，下面的技巧提供了一个合理的近似值。因此，可以将解（14）形式上视为最大化以下二次目标函数的解（λ在通过重新定标求解wi后固定，使得pni=1wi=1，重新定标不受边界（13）的影响）eg=eE-λV（33）受限于界限（13），其中（注意λ=α（J）β（J）+γ（J））eE=NXi=1wieEi（34）eEi=Ei+E（J）νi（35）E（J）=α（J）β（J）（36）注意，在基于夏普比率最大化的投资组合中，实现的预期回报和夏普比率可能与基于优化的预期值相差很大。

因此，与Fano比率最大化相比，夏普比率最大化时的预期回报率更高，这一事实对于实际回报率而言意义不大。这也是在存在边界的情况下最大化夏普比时的情况。[α（J）]=Xi，J∈J【C（J）】-1ijEiEj（37）[β（J）]=Xi，J∈J【C（J）】-1ijνiνj（38）γ（j）=Xi，j∈J【C（J）】-1ijEiνj（39），其中j={i | wi>0}是正权重的子集，[C（j）]-是N（J）×N（J）矩阵与N（J）×N（J）矩阵[C（J）]ij的逆矩阵，从Cijbyrestricting i，J获得∈ J、 （这里N（J）=| J |是J中的元素数。）因此，catch是that E（J），而t herebyeEi取决于未知的J。如果E（J）是先验的，那么我们可以通过标准的二次优化技术简单地最小化（33）受边界（13）的约束。所以，这里有一个近似最优解的松弛算法。在初始迭代中，我们假设j（0）是全集{1，…，N}，并计算wivia（14）。如果所有wi≥ 0，那么就没有其他事情要做了，我们完成了。因此，让我们假设seteJ（0）={i | wi<0}不是空的。让我们看看l ∈eJ（0），其中Fl= min（Fi），其中Fi=每种股票的Fano比率s。然后永久设置wl= 0，取J（1）=J（0）\\l 并计算wivia（14）。如果生成的wi≥ 0 f或所有i∈ J（1），那么我们就完成了。那么，让我们假设seteJ（1）={i | wi<0，i∈ J（1）}并不诱人。让我们看看l′∈eJ（1），其中Fl′= 最小值（Fi），i∈ J（1）（见第18条）。然后永久设置wl′= 0，取J（2）=J（1）\\l′并计算wivia（14）。等等我们重复这个过程，直到在第k次迭代时，所有的wi≥ 0 fori∈ J（k）。与往常一样，这种松弛算法的一个问题是计算成本：我们必须计算逆矩阵[C（J）]-1在每次迭代中执行。然而，对于m的K因子模型（这里ξ是具体的a.K.a。

特殊风险，OhmiA，A=1，K是因子载荷矩阵，φabi是因子协方差矩阵）Cij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAφABOhmjB（40）计算[C（J）]-1ij，我们只需要求K×K矩阵φabon的逆，加上我们必须求K×K矩阵[Q（J）]AB=φ的逆-1AB+Xi∈JξiOhmiA公司OhmiB（41）在每次迭代时。然而，假设K，这些反演要便宜得多<< N、 例如，见【Delbos和Gilbert，2005】【den Hertog，1992】【Jansen，1997】【Kakushadze，2015a】【Murty，1988】【Pang，1983】，以及其中的参考文献。如果有多个值l 其中Fl= min（Fi），那么我们取l 为此，Cll= max（Cii），如果仍有多个值l 剩下的，我们只取最低的l.以最低的Fano比率反复抛售股票只是一个近似值。然而，它在计算上是可行的。E、 例如，以对全Fano比率（31）影响最小的方式反复抛售股票，将可能需要反转~ 每次迭代时，N个矩阵（41）。2.4“市场”模式我们下一步要解决的问题与我们上面讨论的最大化Sharperatio、Fano比率和广义平均风险比率同样相关。为了更加精确和简单，让我们关注最大化夏普比的情况。让我们暂时忽略界限。然后重量由wi=aNXj=1C给出-1ijEj（42）a-1=NXi，j=1C-1jeiνj（43）对于典型配置，即使所有EI均为非负，接近50%的权重也可能为负。因此，为了说明这一点，让我们考虑下面的“玩具”协方差matr ix：Cij=σiσjψij，其中σi是方差；相关矩阵ψij=（1- ρ） δij+ρνiνj；和νi≡ 1是单位N向量。一、 例如，所有N个股票都具有均匀的成对相关性，等于ρ。

将该矩阵求逆得到以下权重：wi=aσi（1- ρ） “eEi-ρνi1+（N- 1） ρNXj=1eEj#（44），其中eei=Ei/σi是归一化预期收益。总的来说，后两者的平均值大致对称分布。从（44）可以看出，t，除非ρ<< 1/N，大约50%的权重为负。现在，在实践中，具有均匀成对相关性的关联矩阵是不现实的。然而，即使对于实际的相关矩阵，上述问题仍然存在。因此，考虑一般相关矩阵ψij。我们可以把它写成ψij=（1- ρ） δij+ρνiνj+ij=ψ′+ij（45）这里ρ=N（N-1） PNi，j=1；i6=jψij是平均成对相关，Pni，j=1ij=0。在第0个近似值中，我们可以ij，即ψij≈ ψ′ij。其第一主成分U（1）i=νi/√N、 它描述了“市场”模式【Bouchaud和Potters，2011年】，即所有股票的平均相关性，非零（且不小，确切地说是ρ6<< 1/N）。“市场”模式对应于广义市场的整体运动，它影响所有股票（不同程度）-现金流入（流出）到（从）市场往往推动股票价格上涨（下跌）。这是市场风险因素。为了缓解这一风险因素，人们可以持有美元中性的投资组合股票。然而，长期投资组合因建设而面临市场风险。这是一个单因素模型的示例。另见【Kakushadze和Yu，2017a】。注意，ψ′ij的特征值对应于U（1）iiλ′*= 1+ρ（N- 1).因此，在最大化夏普比率的同时中和市场风险因素是一个新的特点。

为什么？因为最终我们还是设定了界限（13），所以市场风险仍然存在，但由于将负权重（即无界优化）推至零，因此最终的投资组合会受到人为扭曲，从而也会影响正权重。罪魁祸首是，当使用包含“市场”模式的协变量矩阵最大化夏普风险时，我们几乎中和了投资组合的市场风险。换言之，我们对冲所有即将破产的股票，即兄弟广告市场。然而，持有数千只股票的长期投资组合必然会受到广泛市场的影响。因此，我们必须从协方差矩阵中消除“市场”模式。在因子模型（4 0）的背景下，这可以相对容易地实现。在这种情况下（忽略边界（13）），我们有（如上所述，a通过pni=1wi=1固定）wi=a“Eiξi-ξiKXA，B=1Ohm室内空气品质-1ABNXj=1EjξjOhmjB#（46）QAB=φ-1AB+NXi=1ξiOhmiA公司OhmiB（47）从CIJ中消除“市场”模式相当于要求因子加载矩阵与某些正N向量vi>0:NXi=1vi正交OhmiA公司≡ 0（48），那么我们不再有大约50%的负权重wi。虽然一些权重仍然可能为负，但与N相比，此类负权重的数量通常会相对较少（假设所有Ei≥ 0，即）。那么，vi是什么？一种——但不是唯一一种——关于VIS的思考方式是，它们是一些ben c hmark lo ng only投资组合的权重：vi=wbenchmarki>0。如果这个基准投资组合合理多样化，那么它的选择并不那么关键。例如，我们可以≡ 1，即同等权重的基准。我们可以取vi=1/σior vi=1/ξi。这可能会使投资组合偏向低波动性（通常是大市值）股票。

为了缓解这种情况，我们可以对σi（或ξi）的偏态（大致对数正态）分布进行风扫或其他处理。等等。在这里，人们可以争辩说，可以通过选择股票权重来构建“市场中性”的只做多投资组合，使其成为中性的w.r.t.市场Beta，通过利用某些Beta可以受益的fac t。然而，不仅贝塔系数在样本外往往高度不稳定，我们还有b边界（13）（对于贝塔系数中性的投资组合来说，这不是那么容易满足的），而且中和反对“市场”模式（其要素都是正的）对构建贝塔系数中性的长期投资组合没有任何帮助。有关一些市场中立战略的回顾（然而，这些战略不仅很长），请参见，例如，[Lo and Patel 2008]和其中的参考s。也就是说，要达到总体正常化。2.5统计风险模型统计风险模型【Kakushadze和Yu，2017b】提供了一个特别简单的因子模型示例，其中fa-cto-r协方差矩阵是对角的。因此，让ψsampleij为基于历史收益时间序列计算的样本相关矩阵。ψsampleij可以是单数。这不会影响我们下面的讨论。样本协方差矩阵为Csampleij=σiσjψsampleij。我们可以构造一个统计风险模型协方差矩阵Cijas如下：Cij=σiσjψij（49）ψij=eξiδij+KXa=1λ（a）V（a）iV（a）j（50）eξi=1-rXa=K+1λ（a）[V（a）i]（51）这里V（a）i是矩阵ψsampleij的主成分，其相应的特征值按降序排列：λ（1）>λ（2）>····>λ（r），其中r是ψsampleij的库（如果r<N，则对于a>r，λ（a）=0）。系数K的数量是通过（截断或四舍五入的）eRank（有效等级）确定的【Roy and Vetterli，2007】–详情参见【Kakushadze and Yu，2017b】。与theso的问题构建了Cijis，它包含“市场”模式。

事实上，在不损失一般性的情况下，我们可以假设第一个主成分V（1）i的所有元素都大于0–如果需要，可以通过如下更改基础来确保这一点：Cij→ ijCij，其中i=符号（V（1）i）。那么，全正V（1）可以被视为“市场”模式【Bouchaud和Potters，2011年】。事实上，对于大N，我们有V（1）i≈ 1/√N、 请注意，较高的主成分V（a>1）IIn可变地具有负元素。因此，我们需要消除第一个主成分。这可以通过定义cij=σiσjbψij（52）bψij=bξiδij+KXa=2λ（a）V（a）iV（a）j（53）bξi=1来实现- λ（1）[V（1）i]-rXa=K+1λ（a）[V（a）i]（54）这不是唯一可能的定义，但它与任何其他定义一样好。根据这一定义，我们可以将基准投资组合视为vi=V（1）i/σi。我们上面的讨论是为了最大化夏普比率，但同样适用于最大化Fano比率和广义平均t o风险比率。这是因为在所有这些情况下，权重都需要反转协方差矩阵。实际上，在（14）中，我们有wi=aPNj=1C-1ijE′j，其中E′i=Ei+νib/a，因此上述仍然适用。2.6为什么这很有用？长期而言，只有优化Fano比率的投资组合才能有效地通过（35）将预期收益转化为正数，这会导致由于边界（13）而被排除在投资组合之外的股票减少（包括一些预期收益为负的股票，其有效收益可以为正），即。，在更加多样化和更少倾斜的港口对账单中（与优化速比相比）。对于对角矩阵Cij=σiδij，这一点很明显。这一结论适用于“市场”现代化的f因素模型形式的非对角Cijof。

这可以用Cij=σiσjψij形式的简单1-fa cto r模型来说明，其中相关矩阵ψij=（1- ρ） δij+ρsisj，对于i值的一半，si=1，且si=-另一半为1（假定股票数量N为偶数）。（如上所述，让我们暂时忽略边界。）那么我们有（这里a由（27）给出）wi=aσi（1- ρ） “eE′i-ρsi1+（N- 1） ρNXj=1eE′jsj#（55）eE′i=eEi+αβνiσi（56）eEi=Ei/σi（57）α=（1- ρ)NXi=1eEi-ρ1+（N- 1） ρNXi=1eEisi！(58)β=(1 - ρ)NXi=1σi-ρ1+（N- 1） ρNXi=1siσi！（59）可以合理地假设σi的值与符号si或ei和si的值之间没有实质性的相关性。那么我们可以估计PNi=1si/σi~<√N/σ*, 式中N/σ*=PNi=11/σi。类似地，PNi=1eEisi~<√原姓的*, 何处NeE*=PNi=1eEi。此外，我们可以合理地假设ρ6<< 1/N（和N>> 1). 那么我们有α=NeE*(1 - ρ)[1 -O（1/N）]（60）β=Nσ*(1 - ρ)[1 -O（1/N）]（61），并且，对于被1/N抑制的项，权重由WI给出≈aσi（1- ρ） “eEi+eE*νiσ*σi-siNNXj=1eEjsj+eE*σ*sjσj#（62）在本表达式中，包含EE的术语*与优化Fano比有关；优化夏普比率时，会出现其他两项（在这种情况下，总体归一化系数a会有所不同）。正是（62）中的方括号中的第二个终端造成了这里的差异。以下是原因和方式。基于我们上面的论点，（62）中包含j上的和的项具有序方的数量级*/√N、 现在考虑指数i的值，例如σi<<√Nσ*. 对于这样的i，（62）中的第二项，确实取消了包含the sum的项，我们有≈aσi（1- ρ)eEi+eE*νiσ*σi（63）对于i的这些值，wi可以是正的，即使对于负回报Ei也是如此。

这是因为i）协方差矩阵Cijin中的正交项对优化的贡献被抑制，以及ii）固有的Fa no比项（比例toeE*) 提供加性正贡献。这减少了负权重股票的数量（当我们忽略边界时），当我们包含边界时，这些股票会被“推高”。即使对于σi6的i值，这种加性贡献也是正的<<√Nσ*. 让我们量化一下。我们可以合理地假设，t与1/σi之间没有实质性的相关性。那么，可以独立估计（62）中的两个项的偏差。包含（62）（约）isp2/NeE中总和的术语的标准偏差*. 保守地假设其实际值偏离5/√2.≈ 3.54在任一方向上的标准偏差，我们可以估计σ上的界限eσ，对于σi<eσ，不太可能（在3.54标准偏差置信水平下）包含（62）中总和的项超过（62）中的第二项，因此这些项的总贡献为负：eσ≈√Nσ*（64）此类股票的数量通常非常少（与投资组合中的股票数量相比）。为了说明这一点，下面是一个FROM数据示例。我们以截至2014年9月6日的全球股票行情为例，在http://finance上有历史定价数据。雅虎。2008年8月1日至2014年9月5日期间的com（于2014年9月6日访问）。截至2014年第6步，我们限制该范围仅包括BIC（BloombergIndustry Classification System）部门、行业和子行业分配的美国上市的普通股和类别股（无OTC、优先股等）。在我们的数据中，此类股票的数量为3811。

然后，我们根据数据中最近日期（2014年9月5日）的每日收盘收益率计算21个交易日（即1个月）的历史价值。一只股票在21个交易日内没有交易（零波动），因此我们剩下3810只股票没有零波动。这些是我们的σi。σii的横截面分布完全对数正态分布，在较高的值下有较长的ta il（见图1和图2）。此处选择此窗口并不重要。我们只是简单地使用了现有的数据。σiis的381 0值汇总如下：Min=0.64×10-3，第一个Q uartile=9.16×10-3，中位数=0.0137，平均值=0.0185，第三个四分位数=0。02197，最大值=0.3252，标准差=0。01706，MAD（平均绝对偏差）=8.37×10-3、此外，我们还有σ*= 9.99 × 1 0-3，以及这个宇宙中σi的股票数量≥ eσ仅为14。如果我们在分母中取10而不是在定义中取5（64），我们仍然只能得到78支σi的股票≥ eσ。如果我们按ADDV（平均每日美元交易量，也基于相同的21个交易日计算）将我们的股票范围限制在前2000个流动性最强的股票中，结果是相似的（见图3和图4）：Min=0.64×10-3，第一个四分位数=7.86×10-3，中位数=0.0111，平均值=0.01470，第三个四分位数=0.01678，最大值=0.2566，SD=0.01408，MAD=5.60×10-3、此外，我们还有σ*= 8.55 × 10-3，以及这个宇宙中σi的个数≥ eσ仅为16。如果我们在分母中取10，而不是在定义（64）时取5，那么我们仍然只能得到69只σi的股票≥ eσ。2.7多因素风险模型在上一小节中，我们讨论了一个简单的1-f因素模型，其中成对相关性（去掉“市场”模式后）可以取两个值，±ρ。