关于Fano比率和投资组合优化的注记

（如果我们将“市场”模式与统一的相关性ρ相加，则所得相关矩阵中的成对相关性将得到两个值，其中任何一个值都不必为负（但其中一个值可以为负）。O以上讨论可以推广到多因素模型（去掉“市场”模式）。数学更复杂，但我们上面讨论的1-fa cto r示例抓住了它的要点。因此，我们可以很容易地假设收益率EI与σior或因子载荷没有显著相关性Ohm因此，在优化Fano比率（与Sharpe比率相比）时，大多数股票（波动性较大的股票除外）的预期回报率会有效地通过正加性贡献进行转移。如上所述，这导致违反边界的权重减少（13），并且订单对账单也更加多样化。3长-短港口对账单以上我们讨论的是仅长港口对账单。多空组合怎么样？为了最大化Fano比率，我们需要最大化目标函数（11）。模块化使事情复杂化。首先，对于wi6=0和子集J={i | wi6=0}，其导数定义良好。g在（11）中的最大化等于g级/wi=0，i∈ J、 为了简单起见，让我们假设所有wi6=0。然后我们得到了所有这些对10的响应/√2.≈ 7.07标准偏差（第d部分，共5部分/√2.≈ 3.54–见上文）。在这里，我们将不深入研究wi=0（以及其他重要的）细微之处。例如，在具有线性成本的均值-方差优化的情况下，就出现了这种微妙之处。有关最近的讨论，请参见，例如，【Kakushadze，2015a】。

有关相关文献的部分列表，请参见，例如，[阿德科克和米德，1994年]，[贝斯特和赫卢斯科娃，2003年]，[卡德尼拉斯和普利斯卡，1999年]，[简·切克和史莱夫，2004年]，[凯勒勒、曼西尼和斯佩兰扎，2000年]，[洛博、法泽尔和博伊德，2007年]，[莫卡维萨和阿特金森，2002年]，[帕特尔和苏布拉曼亚姆，1982年]，[史莱夫和索纳，1994年]，以及其中的参考文献。对于只做多的投资组合，上述公式相同（没有任何界限，因为Wined不再是非负的），除了νiis替换为χi=符号（wi）。所以（14）的分析现在必须迭代求解。然而，在这里，我们将不深入探讨这个问题（或其微妙之处），因为还有一个更为平淡的问题需要解决。忽略上述细微之处，我们需要求解迭代读取的方程（见（14）和后续方程，以定义a和b）wi=NXj=1C-1ij【a Ej+bχj】（65），其中a和b也依赖于χi。然而，问题并不在于这种依赖性。相反，它是符号的存在，即（65）中的χi。迹象非常不稳定（它们“浮动”很多，尤其是对于较短的地平线）。为了说明这一点，让我们简化s，并考虑对角协方差矩阵Cij=σiδij的情况。然后bηi=Ei/σi，我们可以设置χi=符号（Ei）。因此，对于较小的Ei（例如，与其历史标准偏差或其适当倍数相比），如果其符号flips（但绝对值仍然很小），我们可以从χiinto（65）得到100%的oppo站点贡献。这是上述不稳定性的根本原因，非对角Cij也存在这种不稳定性（在这种情况下，事情变得更加混乱）。我们无法想象这样的情况。权重（65）实际上与两种策略的线性组合相同。一种是基于优化预期回报Ei的夏普比。另一种是基于优化二元RyexpectedReturns的Sharpe比率χi=±1。

定量交易者毫不奇怪，第二种策略是次优策略。例如，如果我们采用符号（Ei）而不是EIA二元预期回报，那么这种策略将不利于基于优化Ei的策略。这是因为预测预期回报的方向而不是幅度只能提供部分信息。将这种次优战略与基于优化夏普比率的战略线性结合也是次优的。我们可以对此进行验证吗？我们可以在χi=符号（wi）中平滑符号。一种方法是将其替换为双曲正切：χi=tanh（wi/i） ，其中i重要参数。在限制内我→ 0我们恢复χi=符号（wi）。引入N个新参数我可能没有吸引力，因为它们很容易被证明是不稳定的。我们可以通过采取统一的我≡ （不过，我们将在下面对此放松）。然后我们得到wi=NXj=1C-1ij[a Ej+b tanh（wj/)] （66）我们可以通过将双曲正切线性化来求解该方程，为了简单起见，如上所述，假设所有wi6=0，即。如果某些wi=0，则相应的r返回不是二进制的，而是三元的（至少有少量null返回）。然而，这并没有改变上述关于符号χi不稳定性的结论。mally的数量达到极限，其中 → ∞ , b→ ∞, andeb=b/ 保持不变：wi=NXj=1C-1ijha Ej+eb wji（67）正式解决方案READSWI=aNXj=1eC-1ijEj（68）eCij=Cij-ebδij（69）通过要求归一化条件（2）来确定总体归一化参数a。然而，参数b是先验未定的。由于我们已经不再优化Fano比率，因此不再清楚什么是TEB。我们不能采取务实的方法，创建一个自由的参数，而不是试图“从理论上”确定它。Foreb=0我们只是在优化夏普比率。

对于b 6=0，我们正在优化夏普比率，但使用修改后的协方差矩阵Cij，其对角线元素与Cij的对角线元素不同，但对角线元素（方差）会发生移动：可以增加（eb<0）或减少（eb>0）。在这方面，考虑非均匀分布的情况是有益的i、 在这种情况下，我们仍然有（68），其中noweCij=Cij-ebiδij（70）andebi=b/i、 让我们考虑一个形式为（40）的因子模型。如果我们设置ebi=θξi，其中ξi是特定的方差，θ是一个参数，那么对于θ=1，矩阵是奇异的。我们可以把它倒过来↑ 1限值（在此限值中，无r lizat iona变为0，因此wi实际上是有限的），结果是，在总体归一化f因子（通过（2）固定）之前，权重wi由i/ξi给出，其中i是ei在因子载荷上的横截面回归残差Ohmi回归权重s zi=1/ξ且无截距【Kakushadze，2015年a】。等效地，ei=ei/ξi是矩阵上e i/ξ横截面回归的残差OhmiA/ξi，单位回归权重（无截距-见上文）。所以，这里我们在对Shar-pe比率进行插值和（加权）回归之间进行插值。正式而言，我们可以将（68）视为一个完整的系列（此处ap=aebp-1） ：wi=∞Xp=1apNXj=1C-1ijE（p）j（71）E（p+1）i=NXj=1C-1ijE（p）j（72）E（1）i=Ei（73）我们再次使用形容词“formal”作为a，b先验未确定（见下文）。除非截距已包含在因子载荷矩阵中OhmiA，就是这样。一、 例如，这是“一次优化”、“二次优化”、“三次优化”的组合，策略。事实上，我们可以简单地忘记我们是如何得到这个结果的（这是一种特殊的手工方式——然而，请参见下文），然后取一个t runcatedserieswi=noptXp=1apNXj=1C-1ijE（p）j=aNXj=1C-1ijbEj（74），其中BEI=Pnoptp=1ebp-1E（p）i。

只有一个NOPTCOfficients API是由标准化条件（2）确定的，即我们可以确定a=a。如上所述，没有确定B参数的指导原则。然而，我们可以要求系数A在Ei下具有适当的标度特性→ ζEiandCij→ λCij，其中ζ>0和λ>0（因此wi在这种重新校准下不变）：ap→ ζ-1ap（75）ap→ λpap（76）这意味着Eb在Ei下是不变的→ ζEi，我们有eb→ Cij下的λeb→λCij。考虑以下形式：eb=bb h=bbvuutPNi，j=1C-1ijEiEjPNi，j=1C-je（2）iE（2）j（77）Thenbb在ζ和λ重定标下都是不变的。因此，我们可以处理一个纯数值系数。例如，f或nopt=2，我们有wi=a“NXj=1C-1ijEj+bb hNXj=1C-也就是说，我们将“一次优化”和“两次优化”战略与BB控制的相对效率相结合。我们将在下面讨论此策略的回溯测试。3.1铃铛和哨子虽然我们的wiin（74）完全是美元中性的（由于Cij中存在“市场”模式，这一模式在多空策略中不需要事先移除），但它们并不完全是美元中性的。我们可能希望我们的长期-短期投资组合完全是美元中性的（例如，由于风险管理/合规要求等）：NXi=1wi=0（79）。更一般而言，我们可以脱离ap=aebp-1并将系数APA视为独立的。然后我们可以对ap>1进行数据挖掘，看看它们在样本外是否稳定。我们不会在这里这样做。更一般地，我们可能希望施加一个以上的线性齐次约束nxi=1Giαwi=0，α=1，m（80），其中N×m矩阵Giα的列与线性无关。通过用额外的m列“填充”因子荷载矩阵，可以很容易地将此类约束纳入优化问题中：eOhmieA=(OhmiA，Giα），其中指数A=（A，α）∈ H现在取K=| H |=K+m值（H={eA}）。

然后我们有（参见，例如，【Kakushadze，2015a】）C-1ij=ξiδij-XeA，eB∈他OhmieAξieQ-1eAeBe公司OhmjeBξj（81）eQeAeB=ДeAeB+Xi∈JξieOhmieAeOhmieB（82）ДAB=φ-1AB，A，B=1，K（83）ДAα=0，A=1，K、 α=1，m（84）Дαβ=0，α，β=1，m（85）矩阵C-1ij具有以下特性：NXj=1C-1ije公司OhmjeC=XeA，eB∈他OhmieAξieQ-1eAeBИeBeC（86），其（连同（84）和（85））反过来意味着Nxj=1C-1ijGjα≡ 0, α = 1, . . . , m（87）这导致解（74）满足线性约束（80）。在实践中，要最小化因子模型协方差矩阵中的噪声Ohm应选择与矩阵Giα正交的i【Kakushadze，2015a】：NXi=1OhmiAGiα≡ 0，A=1，K、 α=1，m（88）这不是上述“填充”技巧所必需的，它的工作与（88）无关。另一个考虑因素是，在实践中，通常需要对wi:w施加上下限-我≤ wi公司≤ w+i（89）此外，“填充”仅在Cijon（74）的r.h.s.中需要，在定义中不需要（72）。参见【Kakushadze，2015a】，了解面向公关活动的讨论。假设w-当i<0且w+i>0时，我们可以使用[Kakushadze，20 15a]中给出的算法很容易地合并此类边界，其源代码在[Kakushadze，2015b]中给出。界限（89）仅用于优化夏普比率，其“有效”预期回报率为（74）的r.h.s.（但（72）中没有界限）。最后，出于下面的回溯测试目的，我们将讨论如何包含交易成本。包括非线性影响使问题复杂化，对于我们这里的目的来说是不必要的。然而，我们可以包括线性交易成本。下面我们将考虑纯粹的盘中策略，即在开盘时只建立一次头寸，在同一交易日收盘时只清算一次头寸。对于标有i的股票，让每美元交易的线性交易成本为τi。

然后，在优化夏普比率的情况下，将这些成本与预期回报EI相加，以取代投资组合的预期回报（3）byE=NXi=1[Eiwi- τi | wi |]（90）中给出了将线性交易成本纳入均值-方差优化的完整算法，例如，【Kakushadze，2015a】。然而，出于我们的目的，这里有以下简单的“黑客”功能。我们可以定义有效的返回EFI=符号（Ei）最大值（| Ei |- τi，0）（91），简单地设置e=NXi=1effiwi（92），即，如果给定股票的预期收益幅度小于将要发生的预期成本，我们将预期收益设置为零，否则通过所述成本减少所述幅度。通过这种方式，我们可以避免一个无争议的itera tiveprocedure（见【Ka kushadze，2015a】），尽管我们强调该解决方案只是最佳解决方案的近似值。然而，这里我们已经使用了其他近似值，因此这种处理线性交易成本的方法是合理的。那么，我们应该使用什么作为τiin（91）？【Almgren e t al，2005年】的模型适用于我们这里的目的。让Hibe为标记为i的股票交易的美元金额。然后对于线性交易成本，我们得到ti=ζσi | Hi | Ai（93），这是投资组合一旦建立的预期回报。在计算损益时，我们不仅要考虑资产负债表的编制成本，还要考虑清算成本（因此从损益表中减去的总成本大约是建立成本的两倍）。对于（74）中的“多重优化”策略，使用更复杂的近似值可能有意义。为了简单起见，而不是使事情过于复杂，我们将在这里使用（91）。其中σi是历史波动率，Ai是平均每日美元交易量（ADDV），ζ是我们需要确定的总体非规范化常数。然而，在上述情况下，我们使用的是权重wi，而不是交易美元金额Hi。

在我们上文讨论的纯日内交易策略的情况下，它们仅通过Hi=I wi进行关联，其中iI为总投资水平（即，建立后的总绝对美元持有量）。因此，我们有（注意Ti=τi | Hi |=τiI | wi |）τi=ζσiAi（94），我们将通过以下启发式确定总体归一化ζ。我们将（保守地）假设每交易一美元的平均线性交易成本为10个基点（1个基点=1个基点=1/100），即平均值（τi）=10-3和ζ=10-3/平均值（σi/Ai）。3.2回溯测试我们讨论了一些回溯测试。我们希望了解美元中性日内模型的“多重优化”策略（74）与优化夏普比率（即“单一优化”策略）相比如何。为了进行这种比较，我们对一个sin进行了回溯测试【Kakushadze，2015b】。对于我们的Cij（在所有情况下），我们使用杂种风险模型[Kakushadze，201 5b]。我们在回溯测试中使用的历史数据与【Kakushadze，2015b】中的数据相同，并在本文第6.2和6.3小节中进行了详细描述。交易范围选择在【Kakushadze，2015b】第6.2小节中进行了描述。我们假设投资组合是以开放价格建立的，并以开放价格提供融资；ii）在当天收盘时进行清算，因此这是一种纯粹的盘中策略，以收盘价进行融资。我们包括本协议第3.1小节中讨论的交易成本。此外，我们还包括严格的交易界限（在这种情况下与头寸界限相同）| Hi |≤ 0.01 Ai（95）我们进一步对投资组合实行严格的美元中性，因此Nxi=1Hi=0（96）我们的后验测试中的总投资水平为I=2000万美元（即1000万美元长，1000万美元短），与[Kakushadze，2015b]中的相同。对于带边界的Sharpe rat io优化，我们使用R函数bopt。[Kakushadze，2015b]附录C中的计算选项（）。

我们在“多重优化”策略中使用BB=1（见上文）。表1总结了回溯测试结果，表明nopt=2策略优于nopt=1策略（这只是优化Sharpe比率）。然而，对于更高的noptit，我们似乎得到了——非常确切地说——“递减回报”。这相当于假设，要建立一个等权重的投资组合，其成本为10个基点。4仅长期投资组合的结论性意见优化Fano比率有效地等于通过（3 5）将预期收益转化为正值，这导致较少的股票由于边界（13）而被排除在投资组合之外（包括一些预期收益为负的股票Ei，其有效收益可以为正），即。，在更加多样化的投资组合中（与优化夏普风险相比）。然而，对于多空投资组合来说，这一点从一开始就不是问题：所需的权重不是非负的。正如我们上面所讨论的，在这种情况下，将Fano r atio最小化是次优的。然而，Fano比率优化启发人们考虑对Sharpe ra t io进行优化的修改，如（66）和（67）。在这方面，下面的评论是合适的。将（66）中的双曲正切线性化相当于完全删除第3节中讨论的符号“fli-fl-fl”问题，即使我们将（66）中的符号替换为（67）中的双曲正切，也会出现该问题（程度较低）。通过（74）的进一步缩减基本上是为了简单地组合多个不同的字母，即使这里的字母是特殊（“多重优化”）形式。

然而，更普遍的是，将多个（甚至大量）不同的Alpha组合在一起，会产生更高的回报和夏普比率，以及更低的营业额和更高的每股美分（参见，例如，【Kakushadze和Yu，2017a】）。最后，让我们提到，Fano比率是在通过聚类技术进行统计行业分类的背景下产生的【Kakushadze和Yu，2016b】。在定量交易的背景下，集群的一个问题是集群什么？聚类回报率（Clusteringreturns）是次优的。简单地说，聚类归一化回报率（Ei/σi）似乎是合理的。然而，正如【K akushadze and Yu，2016b】中通过回溯测试所论证和支持的那样，聚类Ei/σi——即相应的Fano比率——是最佳选择。因此，将Ei/σI聚类将样本中高度相关的股票（在不同程度上）组合在一起。然而，没有保证它们会在样本外保持高度相关性。直觉上，很明显，波动率较高的股票更有可能与其各自的集群不相关。这就是为什么在Fano rat io Ei/σi（与Ei/σi相比）中，另一个σi因子的抑制会导致更好的绩效的根本原因：除其他外，它抑制了这些挥发性股票对相应集群中心的贡献【Kakushadze和Yu，2016b】。参考Sadcock，J.C.和Meade，N.（1994）将交易成本纳入二次优化的简单算法。欧洲运筹学杂志79（1）：85-94。Almgren，R.、Thum，C.、Hauptmann，E.和Li，H.（2005）《股票市场影响》。风险杂志18（7）：57-62。而且投资组合也不太偏斜。Bai，Z.D.，Hui，Y.C.和Wong，W.K.（2015年），《互联网泡沫检验与均值方差分析》。摘自：Lee，C.F.和Lee，J.C.（编辑）《金融经济计量与统计手册》。纽约州纽约：斯普林格，第1451-1465页。Bai，Z.D。，Wang，K.Y.和Wong，W.K。