人口动态中增长与风险的平衡

在格点i上，其内容为：φxi，t+dt= φ（xi，t）expZt+dttντ（xi，s）ds！φ（xi，t+dt）=φ（xi，t+dt）+dt | N（i）|Xj公司∈N（i）φ（xj，t+dt）- φ（xi，t+dt）（D1）当dt→ 0，在dt的一阶，我们恢复了通常的离散化。φ（xi，t+dt）=φ（xi，t）（1+ντ（xi，s）dt）+dt | N（i）| Xj∈N（i）φ（xj，t）- φ（xi，t）（D2）使用这种分割格式的优点是，可以精确计算t+dttντ（xi，s）ds的统计量，其描述在[31]中给出，以消除离散化误差的一个来源。噪声ντ（xi，s=0）最初从静态分布中提取。在每个时间步，我们通过晶格上的最大值^φ（t）=maxxi对{φ（，，t）}场进行重新规范化∈我们将其对数存储在一个变量中，以跟踪这些重整化常数。这对于防止油田呈指数级爆炸是必要的。我们最终等待，直到数量cτ（λ）=limt的收敛→∞hlog（φ（0，t））it（通常用于ttot’100并报告静态值。我们在多个系统上重复此过程，以获得不同的噪声实现，并计算得到的平均cτ（λ），这是我们在本文图表中报告的。请注意，通过构造，很难从数值上获得“cτ（λ）”，因为它的平均值不高。无论是欧几里德图还是随机正则图，格的典型大小约为M=10个点。我们用于平均c的典型噪声实现数是5。τ的取值范围为0到10，λ的取值范围为10-3至10。附录E：财务数据集的方法对于财务数据集，我们采用了两种截然不同的资产：o我们研究的标准普尔500数据集由QuantQuote在以下网址免费提供：https://quantquote.com/historical-stock-data . 它包含从1998年到2013年的股票日价值（或刻度）。

我们关注的是在整个测量期间幸存下来的M=388只股票经合组织还在以下网站上免费提供了ZF债券收益率数据集：https://data.oecd.org/interest/long-term-interest-rates.htm#indicator-图表。它包括从1953年到今天的大量测量数据。我们保留了M=23个国家，总共285个月用于我们的研究。每个数据集都提供这些资产的刻度值pi（t），我们从中提取日志返回，类似于ourresources ri（t）=log（pi（t+1）/pi（t））。然后，我们通过去除这些回报的平均值，对整个投资组合和时期进行去趋势化。10-310-210-1100100fc（f）（×10-4） 10-210-110-1fc（f）（×10-4） 图4：投资组合的回报。左：标准普尔数据集，蓝色（最低）曲线是返回c（f），而绿色（上）曲线是“退火”返回c（f）。右图：ZF债券数据集的曲线相同。对于这两个数据集，我们应用相同的模拟过程。我们首先考虑一个图，节点是各种资产（对于标准普尔，是全连通图，对于债券，是全连通图和K=4的随机正则图）。我们也从一个同构状态开始，每个节点上只需1个小投资。然后，我们使用经验收益pi（t）模拟投资组合的演变。10-210-10.150.20fc（f）10-210-110010110-1c（）图5：债券投资组合收益率与等式1增长率的比较。左图：完全连通图（绿色，完整）和K=4度随机图（蓝色，虚线）上的资产组合回报率c（f）。

右图：增长率cτ（λ）再次对全连通图（绿色，完整）和K=4度（蓝色，虚线）的随机图（频率为f）进行区分，因此在1/f个月后，我们选择重新平衡我们的投资组合，根据其拓扑结构：一个站点上的资金在其自身及其邻居之间平均分配（对于完整的图表，这一重新平衡将使资金平均分配到所有国家）。因此，再平衡强度虽然没有差别，但仍与f成比例。最后，我们测量了c（f）=hlog（φi（t））Itan和c（f）=log（hφi（t）i）t。平均值是通过在t=0和t=1/f之间随机选择再平衡策略的起点，并对最后20个步骤求和来实现的。我们还计算了延迟u的自相关函数ACF（u），并对整个投资组合进行平均，定义为：ACF（u）=MXi∈STXt=1pi（t）pi（t+u）（E1）两个数据集在完全连接的porto flio上的再平衡策略的结果如图4所示，在正文图3中可以找到类似的图，以及插图中的ACF。最后，我们给出了分析模型Eq.1和图5中的经验数据集的结果。尽管PAM cτ（λ）的增长率和投资组合c（f）的回报率相差很大，但就S的结构而言，它们以相同的定性方式表现得非常明显。即，完全连通空间允许最大的总体cτ（λm）和c（fm），但在离域阶段，与S=TK=4的相同速率相比，衰减更快。