人口动态中增长与风险的平衡

为了避免这些风险头寸，基金采用了再平衡策略，我们在此采用了一种基本且常见的体现，即日历再平衡：在固定的时间间隔Tb之后，总资金将平等地再投资于所有相邻资产（通常是整个投资组合）[32]。对于实证数据，我们考虑了从1998年1月至2013年12月的标普上市股票，以及每日开盘和收盘的滴答声[26]。我们选择了一组历史最悠久的388家公司，并模拟了一个投资组合，每个公司的初始投资都很小，采用频率为f=1/Tb的日历重新平衡。然后，我们在10年后监测我们投资的典型和平均回报c（f）和‘c（f），作为f的函数（见附录E）。结果如图所示。3顶部，其中c（f）出乎意料地没有显示任何优化。事实上，它一直在以f的形式增长→ ∞. 然而，股票回报率远不是不相关的高斯噪声，这与金融智慧是一致的。资产回报率甚至在时间上是反相关的（如插图中的自动相关函数（ACF））。3顶部）。由于不存在任何在给定资产上花费的动机，因此应尽可能频繁地进行再平衡fm=∞, 与我们的分析一致。具有相关回报的资产确实存在，例如在政府债券交易中。世界各国政府发行债务债券，其利率每月根据排放国的经济表现计算。债券持有人可以对这些利率进行投机，这些利率通常遵循本国设定的较低时间尺度。我们考虑了总计285个月的23个国家的数据集【27】，并采用了相同类型的再平衡（见图3底部）。这一次，在粗糙度f=0.02 mth时，观察到明显的最佳值-1.

在图3底部的插图中，我们再次显示了ACF，并在50个月的时间尺度上发现了明显的正相关，与关系Fm’1/τ一致。最佳策略创建了一个本地化的Portfolio，c（fm）略高于c（fm）。我们没有在所有资产上重新分配财富，而是在S=TK=4上进行了更为局部的重新分配（见附录E）。结果完全相似，但在10-310-210-10.20.40.60.8fc（f）（×10-4） 1 5 10 150.040.000.04（天）（ACF）0.05 0.10 0.500.60.70.8fc（f）（×10-1） 0 50 100 1500.00.40.8（月）（ACF）图3：（顶部）对于388只纳斯达克股票投资组合，作为再平衡频率f的函数，投资组合回报率c（f）（上曲线）和c（f）（下曲线）。（插入）数据日志的ACF作为滞后天数的函数返回。负相关持续5天。（底部）回报率相同，但投资组合为23只政府债券。（插入）数据日志的ACF作为滞后月数的函数返回。观察到相关时间为70个月。f、 因此，即使收益率不是高斯分布，且动态性也不是唯一的，但这些发现与我们的分析相一致，即在局部阶段，非常连通的图为增长提供了更好的平台，我们推测，在所有图中，完全图会导致最大的最优收益c（fm）。为了更快、更安全地重新平衡，连接较少的图可能是首选。值得注意的是，除了消除市场的基本趋势外，我们没有对数据进行任何形式的重新调整。所设计的原则对于在随机环境中的异质性具有令人印象深刻的鲁棒性。对于其他与时间相关的产品，如交易对或不同环境下的类似过程，如基本商品的世界交易[9]和微生物种群的适应性景观[28]，可以得出相同的结论。

我们相信，我们的结论足够可靠，能够提供对乘法增长和探索的一般理解。这项研究可以在多个方向上进行。令人惊讶的是，尽管很好地近似于较难的欧几里得情况，但仍然缺乏对树状晶格TK=2d上等式1的详细研究，并需要进行更深入的研究（【29】对相关的安德森哈密顿量得出了类似的结论）。我们还关注人口分布的微观细节，关注宏观增长率。Hinsights从公式1中获得的关于人口传播的信息已经有了一段很长的历史，我们把它的研究留在目前的案例中，留给后面的工作。最后但并非最不重要的一点是，我们认识到了异质性。这里研究的空间是正则图，所有站点的噪声方差和相关时间都是相等的。尽管正如实证研究所示，异质性并不会使我们的结论无效，但它的作用需要更深入的研究。[1] Tomoo Royama。分析种群动力学，第10卷。Springer Science&Business Media，2012年。[2] Jean-PhilippeBouchaud和MarcPotters。金融风险和衍生品定价理论：从统计物理到风险管理。剑桥大学出版社，2003年。[3] Andrea Falc\'on Cort\'es、Denis Boyer、Luca Giuggioli和Satya N.Majumdar。由随机搜索中的学习引起的本地化转换。物理。修订版。Lett。，2017年10月19:140603。[4] O.B'enichou和S.Redner。消耗控制了使用觅食动物的饥饿。物理。修订版。Lett。，2014年12月113:238101。[5] Vincent Tejedor、Raphael Voituriez和OlivierB\'enichou。优化持久随机搜索。物理。修订版。Lett。，2012年2月，108:088103。[6] O Benichou、U Bhat、PL Krapivsky和S Redner。最节俭的觅食。

arXiv预印本arXiv:1711.036102017。[7] 桑德拉·德拉兹、延斯·卡特格、约翰内斯·科内利森、伊恩·J·赖特、桑德拉·拉沃雷尔、圣埃芬·德雷、比约恩·鲁、迈克尔·克莱耶、克里斯蒂安·沃思、科林·普伦蒂斯等。植物形态和功能的全球光谱。《自然》，529（7585）：167–1712016。[8] 拉斐尔·伊瓦拉、杰里米·S·爱德华兹和伯纳德·奥帕尔森。大肠杆菌k-12经历适应性进化，以实现硅预测的最佳生长。《自然》，420（6912）：186–1892002年。[9] Michele Caraglio、Fulvio Baldovin和Attilio L Stella。出口动态是全球经济网络中的一个最优增长问题。《科学报告》，2016年6月。[10] J.Gartner、F.den Hollander和G.Maillard。催化剂间歇：投票模型。安。概率。，38(5):2066–2102, 09 2010.[11] Kirill S Korolev、Joao B Xavier和Je ff Gore。扭转生态和进化对抗癌症。《自然评论癌症》，14（5）：371–380，2014年。[12] 爱德华·辛普森。多样性测量。《自然》，1949年。[13] 联邦贸易委员会等司法部。横向合并指南。2010年8月19日、2014年8月19日。[14] 罗伯特·A·盖滕比、阿里奥斯托·S·席尔瓦、罗伯特·J·吉利斯和B·罗伊·弗里登。适应性治疗。癌症研究，69（11）：4894–49032009。[15] Pierre Le Doussal和Thimoth\'ee Thiery。时间相关随机介质中的差异和kardar parisizhang方程。物理。修订版。E、 2017年7月96:010102。[16] T.Halpin Healy和Y.-C.Zhang。动力学粗糙现象、随机生长、定向聚合物等等。多学科统计力学方面。《物理报告》，254（46）：215–414141995。[17] 沃尔夫冈·科宁。抛物线安德森模型：随机势中的随机游动。Birkh–auser，2016年。[18] 托马斯·古德、亚历山大·多布里涅夫斯基和让·菲利普·布沙德。探索还是利用？一个通用模型和一个完全可解的情况。《物理审查函》，112（5）：0506022014年。[19] 托马斯·古德。

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物理复习B，95（9）：0942042017。【30】塞勒·蒙托斯和克里斯托夫·特克斯耶。bethe格上的随机行走与双曲布朗运动。《物理学杂志A：数学与普通》，29（10）：23991996年。丹尼尔·T·吉莱斯皮。theornstein-uhlenbeck过程及其积分的精确数值模拟。物理。修订版。E、 54:2084–20911996年8月。[32]请注意，我们忽略了许多因素，比如再投资净成本，因为它们与我们的论述无关。附录A:PAMIn的Feynman-Kac公式本节中，我们回顾方程式1的Feynman-Kac公式（或路径积分）。费曼-卡克（Feynman-Kac）形式将偏微分方程的解简化为某个随机过程的期望值。通常根据终端条件进行计算，因此首先需要通过改变s来恢复等式1的时间→ t型-s、 导致：φ（xi，t）=EπXλ经验值Ztντ（X（s），t- s） ds公司（A1）φ（xi，0）=1xi∈ S（A2）期望EπXλ接管S中连续时间随机游动Xλ的分布，这些游动在跳到邻居之前等待从参数λ的指数分布中采样的随机时间，初始条件Xλ（0）=xi。注意，我们考虑的是ντ（x，.）作为一个Ornstein-Ulhenbeck过程，它绕过了积分方程A1中的一些困难。我们还利用了这样一个事实，即如果其初值是从其平稳分布中得出的，则ντ（x，.）是时间可逆的，因此我们可以等效地考虑稍微简单的：φ（xi，t）=EπXλ经验值Ztντ（X（s），s）ds（A3）导出渐近性的最清晰方法是引入重标度变量集。虽然我们总是在原始的未标度变量中给出最终结果，但分布πXλ中的λ依赖性可以通过选择→ λt。

通过此重缩放，等式1显示：tφ（x，t）=xφ（x，t）+√λν（x，t）φ（x，t）（A4）dντλ（x，t）=-ντλ（x，t）λτdt+σλτdW（x，t）（A5）重标噪声ντλ现在具有相关性：hντλ（x，t）ντλ（y，0）i=σ2τλe-tτλδ（x- y） （A6）而费曼-卡克公式采用了正文公式5中给出的形式，因为它类似于一个分区函数：φ（x，t）=Eπx经验值√λZtντλ（X（s），t- s） ds公司（A7）Eπxb现在是参数为1的指数时间跳跃分布的随机游动的期望。附录B：小扩散行为在本节中，我们研究了cτ（λ）的小λ行为。让我们首先考虑λ=0的情况。公式1减少至：tφ（x，t）=ντ（x，t）φ（x，t）（B1），这导致OU过程的指数：φ（x，t）=expZtντ（x，u）du（B2）在此限值内，淬火和退火值之间的差异最大。确实：cτ（0）=极限→∞thlogφ（0，t）i=极限→∞太赫兹∞另一方面，ντ（0，u）dui=0（B3）：limt→∞tloghφ（0，t）i=极限→∞τσ2te-t/τ- 1+tτ=σ（B4）该量与τ无关，这是方程2原始缩放的原因：白噪声或Ornstein-Uhlenbeck增量的累积在很大程度上基本相等。小λ处的展开式最好通过方程A3的变量集获得，我们记得：φ（xi，t）=EπXλ经验值Ztντ（X（s），s）ds（B5）φ（xi，t=0）=1xi∈ S（B6）行走Xλ的路径由截至时间t的跳跃次数N、到访位置列表{X，X，…，XN}和这些跳跃发生的时间列表{t，t，…，tN}定义。我们用| DN |=KN，K表示所有可能位置Nlists的集合。类似地，我们用密度N表示N个有序可能时间的集合，直到t，从[0，t]中得出！tN。

最后，Xλ在[0，t]中进行N次跳跃的概率遵循速率λ的泊松分布：P（N）=e-λt（λt）NN！（B7）因此，等式B5中的期望值可以重写为：φ（u，t）=∞XN=1P（N）X{X，X…}∈DNKNZ{t，t…}∈LNN！tNexp公司Ztντ（x，s）ds+Ztντ（x，s）ds+。。。dt。。。dtN（B8）现在，我们注意到在小λ处（更准确地说是λτ 1） ，平均跳跃时间远大于ντ（x，）的相关时间。然后，可以将等式B8中的积分拆分为近似独立的部分，每个部分对应于行走一个位置上的停留时间。假设跳跃之间的间隔始终相同，因此大致等于t/N，我们可以确定每个积分分裂的典型值：hZtNντ（x，s）ds！i’σtN（B9）XNZtNντ（X（s），s）ds~ σ√tN（B10）我们对log（φ（u，t））的行为感兴趣。将方程B7和方程B10插入方程B8，并使指数的参数最大化，我们得到了一组最佳跳跃次数N的鞍点方程*. 更精确地说，最佳时间跳跃密度^N=N*t以下内容：0=日志λK+σp^N（B11）cτ（λ）=-λ+^N对数λK+ λτ的σp^N（B12）展开 1导致：cτ（λ）∝σ4 log（Kλ）（B13）直到一个取决于无序性质的前因子（欧几里得情况的严格结果可在[20]中找到）。这一推导突出了一些有趣的事实：首先，请注意，cτ（λ）在0中是不可微分的，并且具有奇点，很难在数值上观察到。此外，由于逗留时间较长，噪声ν（x，t）的细节不太重要，因为中心极限定理出现在等式B10中，这一结果扩展到更一般的一类随机过程。此外，只要λτ 最后，我们注意到等式B13提供了一个很差的估计，甚至在λ>1/K时变为负值。

鞍点方程不支持此类问题，但我们在数值上观察到，即使在λ的中等值下，近似也变得不可靠。附录C：大扩散行为在本节中，我们推导了Cτ（λ）在大λ下的衰减。我们回顾了费曼-卡介苗配方的重定标形式。A7：φ（x，t）=Eπx经验值√λZtντλ（X（s），s）ds（C1）在大λ区，我们预计cτ（λ）和cτ（λ）相等，或至少非常接近，因为总体是局部分布的。因此，我们等效地看“cτ（λ）”，这是一个更容易计算的量。无序区域上公式C1的平均值：hφ（x，t）i=Eπxhexp√λZtντλ（X（s），s）ds我（C2）hφ（x，t）i=Eπx经验值σ4λτZtZtδ（X（t）- X（t））e-|t型-t |τλdtdtdt（C3）hφ（x，t）i~ EπX1 +σ4λτZtZtδ（X（t）- X（t））e-|t型-t |τλdtdtdt（C4）在最后一行中，我们使用了假设λτ 我们必须计算下列项：A=EπXσ4λτZtZtδ（X（t）- X（t））e-|t型-t |τλdtdtdt（C5）注意被积函数的奇偶性，我们得到：A=EπX“σ2λτZtZtδ（X（t+u））- X（t））e-uτλdu dt#（C6）=σ2λτZtZtP（0，0；u）e-uτλdu dt！（C7）=σ2λτZtP（0，0；u）e-uτλ（t- u） du（C8）EπX[δ（X（t+u））- X（t））]是X在延迟u后返回到时间t\'的位置的概率。给定X的时间平移不变性和本文考虑的图的空间对称性，它只是P（0，0；u），即X在延迟u后返回原点的概率。因此，从等式C4：log（hφ（0，t）i）~σ2λτZtP（0，0；u）e-uτλ（t- u） du（C9）极限→∞对数（hφ（0，t）i）t~σ2λτZ∞P（0，0；u）e-uτλdu（C10）关于这个积分可以说什么？P（0，0；u）是一个众所周知的对象，我们可以将其表示为发生在0和u之间的跳跃数N的和。

如果我们注意到PN（0，0）是N次跳跃后返回原点的概率，而P（N）是N次跳跃在时间u之前发生的概率（等式B7），我们得到：P（0，0；u）=∞XN=0PN（0，0）P（N）（C11）P（0，0；u）=∞XN=0PN（0，0）e-乌恩！（C12）将该表达式注入公式C10，我们得到：cτ（λ）~σ2λτ∞XN=0PN（0，0）Z∞e-乌恩！e-uτλdu（C13）~σ2λτ1 +τλ∞XN=0PN（0，0）1 +λτN（C14）~σ2λτ1+τλG0, 0;1 +τλ（C15）G（0，0；z）是原点返回概率的母函数（也称为格点格林函数）G（x，y；z）=PNPN（x，y）zN，格点上马尔可夫链研究的经典对象【21】。它对各种图形都有很好的表达，其中包括欧几里得图（BZ是布里渊区）。对于随机正则图TK，我们通过其在有限d-树上的表达式来近似格林函数，利用它们在大N极限中有一个共同的局部极限这一事实[30]：G（0，0；z）=（2π）dZBZddk1- z/（2d）Pj∈Njeik。对于S=Ed（C16）G（0，0；z）\'2K-1KK-2K+q1-K（K-1） 对于S=TK（C17），最后，我们再次取λτ的极限 1.G（0，0；z）对于接近1的z，已知在Ed上发散≤2（因为随机游走是经常发生的），而它确实收敛于Ed≥3和油箱。更精确地说：G（0，0；1- ) ~√2.对于Ed=1（C18）G（0，0；1- ) ~4πln对于Ed=2（C19）G（0，0；1）=√32πΓΓΓΓ≈ Ed=3（C20）G（0，0；1）“K时为1.516-1公里-2对于TK（C21），考虑到这些行为，并返回到原始变量（使用c→ cλ），我们检索λτ的以下结果 1:cτ（λ）’σ√2λτ，对于Ed=1（C22）cτ（λ）’σln（λτ）8πλτ，对于Ed=2（C23）cτ（λ）’1.516σ2λτ，对于Ed=3（C24）cτ（λ）’K-1（K-2） λτ对于TK（C25）附录D：数值模拟在图S上模拟乘法随机方程，如等式1，可能具有挑战性。我们为动态进化选择了一种分步算法，分两个阶段更新解。