动态市场诱发羊群现象的粒子模型

由于市场信号是一种振荡模式，因此观察到市场参与者往往频繁改变主意的这种情况是很自然的。在图2中，当w（x，t）=x时，提供了x和v的行为。我们看到，第二种情况的数值解与图1中所示的数值解相比，显示了非常不同的阶段，即使它们从相同的初始随机数据开始。t=4后，每个变量将收敛到约4的固定常数，这导致xi线性增加。图3显示了w（x，t）=NPNi=1xi（t）时x，v的行为。我们观察到VCS保持不变。回顾引理3.1意味着DDTVC（t）=0，在这种情况下，有这样一个固定常数vc是很自然的。我们可以观察到，它还显示了t=4后的集体行为。羊群现象的粒子模型21图1。w（x，t）=4 cos（4t）图2。w（x，t）=x（t）我们现在检查两个羊群能量的演化：E（t）和E（t）。在图4a和4b中，我们分别绘制了对数意义下的E（t）和E（t）。我们观察到，每个放牧能量朝着0单调递减。在图4c中，验证了maxi，j | xi（t）- xj（t）|无法获得界2 maxi，j | xi（0）- xj（0）|适用于所有t≥ 0，如（3.8）所保证。6.1.2. 数值试验1-2：（x（0）=-10） 在本测试中，我们将x（0）替换为asx（0）=10→ x（0）=-10，所有其他初始配置和参数已确定。注意，新的初始条件也满足定理3.3的条件。在图5、6和7中，我们分别将T=6的每个场景的数值解绘制为（2.1）。在所有这些图中，我们观察到预期回报率和优惠率中的羊群现象。22玄OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图3。w（x，t）=NPNi=1xi（t）（a）放牧能量E（t）（b）放牧能量E（t）（c）最大值，j | xi- xj |图4。

羊群能量和边界与测试1-1相比的主要差异如图6所示，其中我们清楚地看到了参与者xin对资产负面评估的影响，与图2相比，流动市场参与者对资产回报率的负面评估（x（0）<0）导致预期回报率不断下降，和vc负值的出现，即使我们最初有vc（0）>0。在图8a、图8b和图8c中，我们可以看到，每一个放牧能量都是十节律的，均匀束缚的2 maxi，j | xi（0）- xj（0）|无法为allt获得≥ 0，如试验1-1.6.1.3所示。数值试验1-3。（消除对参数的限制）在这项测试中，我们提供了一个数值示例，表明即使对参数的限制和对定理3.3的初始配置没有得到满足，放牧行为仍然会发生，正如定理3.6所保证的那样。为此，我们选择γ=1，λx=2，λv=1，λw=0.5。由于定理3.6中对初始数据没有限制，我们在[-15, 15] × [-15, 15]. 图23中，羊群现象的粒子模型见图5。w（x，t）=4 cos（4t）图6。w（x，t）=x（t）9-11，我们绘制了（2.1）到t=15的数值解。这些图表明，出现了预期的羊群现象。然而，我们观察到，定理3.3的各种重要特征并不成立。图12a显示E（t）不再单调递减，甚至可能超过E（0）。我们观察到E（t）可以取负值。在图12c中，我们还可以看到maxi，j | xi（t）-xj（t）|可以超过2个最大值，j | xi（0）-xj（0）|在这种情况下，这意味着第4节中定理3.3的证明失效。同时，在图12b中，即使初始数据相同，E（t）也单调地向0递减。6.2.

数值试验2：在本试验中，我们考虑了集中放牧模型（3.2）数值解的轨迹，以可视化解的动力学。我们选择γ=2、λx=1、λv=1和λw=1，这不符合定理3.3的条件。牧民24 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图7。w（x，t）=NPNi=1xi（t）（a）放牧能量E（t）（b）放牧能量E（t）（c）最大值，j | xi- xj |图8。羊群能量和边界现象仍然由定理3.6保证。为便于模拟，我们将资产数量和参与者数量取为M=2，N=4，并从中选取初始数据[-5, 5] × [-5，5]使得xc（0）=vc（0）=0。图13-17显示了每个SIND VIUP最终时间T=25的轨迹。在每个图中，“o”和“x”分别代表每条轨迹的终点和起点。这些图显示了随着时间的推移，仙德维沃的结构是如何变化的。尽管它们的运动看起来很复杂，但每一步的波动都会越来越小，最终导致羊群现象。6.3. 数值测试3：在这个测试中，我们模拟了大量玩家处理两个资产（M=2，N=500）的行为。我们设置γ=1.5、λx=1、λv=1和λw=1，并从中选择初始数据[-5, 5] × [-5，5]至bexc（0）=vc（0）=0。羊群现象的粒子模型25图9。w（x，t）=4 cos（4t）图10。w（x，t）=x（t）我们将最终时间取为t=20。与测试2一样，我们考虑集中模型（3.2）的数值解。在图18-22中，我们分别绘制了xiand viat t t=0、5、10、15和20的直方图。在每个直方图中，每个边界单元统计其指定区域中的异常值数量。例如，左上角的单元格统计(-∞, -5) × (5, ∞).我们可以看到，除了图18，在t=5、10、15和20时没有异常值。

随着时间的推移，SIND VIA分别集中在中心（0，0）和（0，0）。在图22中，我们观察到，所有市场参与者都有相似的预期回报率和偏好，足以容纳在一个像素内。26玄OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图11。w（x，t）=NPNi=1xi（t）（a）放牧能量E（t）（b）放牧能量E（t）（c）最大值，j | xi- xj |图12。放牧能量和边界7。结论和未来工作在本文中，我们将收益率和偏好性重新解释为相空间上的相点，并推导了一个基于agent的羊群现象粒子模型。然后利用该模型证明了由各种动态市场信号诱导的羊群行为。我们还提供了各种数值模拟来验证和可视化这些结果。这项工作可以在多个方向上发展或扩展。首先，在下一个待办事项列表中，带噪声的粒子模型排在第一位。在本文中，为了清晰起见，我们将自己限制在无声的情况下。其次，在加入碰撞避免机制后，我们的模型可以自然修改为粒子、动物、细菌、个人、无人驾驶车辆等的放牧或群集行为模型。第三，我们没有考虑球员可以根据资产价格进入或离开市场的情况。这似乎也是有趣的未来可能的工作。最后，该模型的动力学和流体动力学限制以及在这些水平上验证放牧现象将在未来的工作中处理。羊群现象的粒子模型27图13。t=0至5图14。t=5至10图15。t=10至1528 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图16。t=15至20图17。t=20至25确认。作者感谢Jane Yoo的认真讨论和有益的评论。参考文献【1】S.Ahn、H.-O.Bae、S.-Y.Ha、Y.Kim和H。

Lim，将锁定机制应用于随机波动率建模，数学。适用的模型方法。Sci。23 (2013) 1603–1628.[2] S.Ahn，H.Choi，S-Y.Ha，H.Lee，关于Cucker-Smale型堵塞模型的碰撞避免初始配置，Common。数学Sci。10 (2012) 625–643.[3] H.-O.Bae、S.-Y.Ha、Y.Kim、S.-H.Lee、H.Lim和J.Yoo，股票市场中具有制度转换机制的波动性波动的数学模型，数学。适用的模型方法。Sci。25(2015) 1299–1335.[4] D.Abreu和M.K.Brunnermeier，《泡沫与崩溃》，计量经济学71（2003）173–204。[5] C.Avery和P.Zemsky，《金融市场中的多维不确定性和羊群行为》，Amer。生态的。修订版。(1998) 724–748.羊群现象的粒子模型29图18。t=0图19。t=5图20。t=1030 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun图21。t=15图22。t=20【6】A.V.Banerjee，一个简单的羊群行为模型，夸尔。J、 生态。107 (1992) 797–818.[7] A.B.T.Barbaro、K.Taylor、P.F.Trethewey、L.Youse ff和B.Birnir，《中上层鱼类动力学的离散和连续模型》，数学。计算机。模拟。79 (2009) 3397–3414.[8] N.Bellomo、A.Bellouquid、J.Nieto和J.Soler，《多细胞生长系统的多尺度生物组织模型和FLUX限制趋化性》，数学。适用的模型方法。Sci。20 (2010) 1179-1207.[9] S.Bikhchandani、D.Hirshleifer和I.Welch，《时尚、时尚、习俗和文化变化的信息级联理论》，J.Poli。生态的。100 (1992) 992–1027.[10] M.K.Brunnermeier，《不对称信息下的资产定价、泡沫、崩溃、技术分析和羊群效应》（牛津大学出版社，2001年）。[11] M.Burger、P.Markowich和J.-F.Pietschmann。群体运动和羊群模型的连续极限：分析和数值模拟，Kinet。关系。型号4（2011）1025–1047。[12] J.A。

Carrillo，Y.-P.Choi，P.B.Mucha，J.Peszek，《奇点Cucker-Smale相互作用中避免碰撞的尖锐条件》，非线性分析。真实世界应用程序。37 (2017) 317-328.[13] J.A.Carrillo、M.Fornasier、J.Rosado和G.Toscani，《kineticCucker-Smale模型的渐近膨胀动力学》，SIAM J.Math。肛门。42 (2010) 218–236.放牧现象的粒子模型31【14】A.Cavagna、A.Cimarelli、I.Giardina、G.Parisi、R.Santagati、F.Stefanini和R.Tavarone，从经验数据到个体间相互作用：揭示集体动物行为的规则，数学。适用的模型方法。Sci。20 (2010) 1491-1510.[15] Y.-P.Choi，S.-Y.Ha和Z.Li，库克-斯梅尔膨胀模型及其变体的紧急动力学。活性粒子。第1卷。理论、模型和应用进展，299–331，模型。模拟。Sci。工程技术。（Birkhuser/Springer，Cham，2017）。[16] F.Cucker和S.Smale，《突发行为》，IEEE Trans。自动装置。控制52（2007）852-862。[17] F.Cucker和S.Smale，关于涌现的数学，日本。J、 数学。2 (2007) 197-227.[18] M.Delitala和T.Lorenzi，《利用公共信息和放牧进行价值估算的数学模型》，Kinet。关系。型号7（2014）29–44。[19] A.Devenow和I.Welch，《金融经济学中的理性羊群》，欧洲。经济。修订版。40 (1996) 603–615.[20] B.During，A.Jungel和L.Trussardi，一个具有非理性和放牧的经济价值估算动力学方程，Kinet。关系。型号10（2017）239–261。[21]P.Degond和S.Motsch，《具有取向相互作用的自驱动粒子的连续极限》，数学。适用的模型方法。Sci。18 (2008) 1193-1215.[22]S.-Y.Ha，K.Lee和D.Levy，《随机Cucker-Smalesystem中时间渐近膨胀的出现》，Common。数学Sci。7 (2009) 453-469.[23]S-Y.Ha，J.G。

Liu，一个关于Cucker Smale flocking动力学和平均场极限的简单证明，Common。数学Sci。7 (2009) 297-325.【24】S.-Y.Ha和E.Tadmor：从粒子到FLOCKING的动力学和流体动力学描述，Kinet。关系。型号1（2008）415-435。[25]C.S.Hemphill，J.Suk，《时尚的法律、文化和经济学》，斯坦。五十、 修订版。61 (2009) 1147–1200.【26】S.Hwang和M.Salmon，《市场压力与放牧》，J.Empil。芬南。11 (2004) 585–616.[27]I.H.Lee，《市场崩溃与信息保证》，修订版。经济。螺柱。65 (1995).[28]R.C.Merton和P.A.Samuelson，《连续时间金融》（Blackwell Publishing，1992）。【29】P.R.Milgrom和N.Stokey，《信息、贸易和常识》，J.Econ。理论26（1982）17–27。【30】S.Motsch和E.Tadmor，自组织动力学及其膨胀行为的新模型，J.Stat.Phys。144 (2011) 923-947.【31】M.S.Santos和M.Woodford，《理性资产定价泡沫》，计量经济学65（1997）19–57。[32]J.Tirole，《理性预期下投机的可能性》，计量经济学50（1982）1163–1182。【33】G.Toscani，《意见形成的动力学模型》。公社。数学Sci。4 (2006), 481–496.[34]T.Vicsek；A、 捷克；E、 Ben Jacob，I.Cohen和O.Shochet，《自驱动粒子系统中的新型相变》，Phys。修订版。莱特。75 (1995) 1226-1229.[35]J.Toner和Y.Tu，《羊群、牛群和学校：牲畜数量理论》，Phys。修订版。E58（1998）4828-4858。[36]J.P.LaSalle，Liapunov第二种方法的一些扩展，IRE Trans。

7 (1960) 520–527.韩国水原阿朱大学金融工程系电子邮件地址：hobae@ajou.ac.krDepartment韩国水原成均馆大学数学系440-746电子邮件地址：chosy89@skku.eduDepartment韩国水原阿朱大学金融工程系电子邮件地址：sanghyeoke@ajou.ac.krDepartment韩国水原成均馆大学数学系440-746电子邮件地址：sbyun01@skku.edu