动态市场诱发羊群现象的粒子模型

Eis的定义基于对参数和初始配置的严格假设，但可以推导出明确的指数放牧率（定理3.3）。对于E，这种明确的放牧率不可用，但对参数和初始配置的限制可以放宽很多（定理3.6）。为了说明我们的主要定理，我们首先需要定义一些在本文中保留的符号l偏差和协方差泛函：X（t）=NXi=1 | xi（t）|，V（t）=NXi=1 | vi（t）|和c（X，V）（t）=NXi=1^xi（t）·vi（t）。o加权偏差和加权协方差泛函：Xφ（t）=NNXi=1NXj=1^φij | xi（t）- ^xj（t）|，Vφ（t）=NNXi=1NXj=1^φij | vi（t）- ^vj（t）| and cφ（X，V）（t）=NNXi=1NXj=1^φij（^xi（t）- ^xj（t））（^vi（t）- ^vj（t））。我们定义了市场的羊群行为：定义3.2。设（^x（t），^v（t））为（3.2）的解。那么，我们说放牧现象发生在→∞|^xi（t）- ^xj（t）|=0和极限→∞|^vi（t）- ^vj（t）|=0，对于所有i 6=j。我们现在陈述我们的主要定理。3.3. 主要结果I-指数羊群效应：通过（t）=λwX（t）+2λx（λx+λw）λvC（x，V）（t）+V（t）确定市场的羊群效应能量。定理3.3。设γ>0。假设相互作用强度λx，λvandλw满足λvλxλw>1。（3.4）假设初始配置满足Maxi，j |^xi（0）- ^xj（0）|<vuutλvλxλw！2/γ- 1（3.5）和（0）<1.-Mλwmaxi，j |^xi（0）- ^xj（0）|，（3.6），其中MdenotesM=（1+4 maxi，j | xi（0）- ^xj（0）|）γ。（3.7）8 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun然后，放牧功能性埃德加群岛指数快速：E（t）≤ e-κtE（0），其中衰减率κ由κ=δmin显式给出, -1 +λvλxλwM2λx（λx+λw）λvand 0<δ<1是在证明中选择的常数。此外，我们有maxi，j^xi（t）- ^xj（t）|<2 maxi，j | xi（0）- ^xj（0）|（3.8）对于所有t≥ 0、备注3.4。（1） 在定理3.3的条件下，Eis总是非负的。

（2） 满足上述条件（3.5）和（3.6）的（x，v）集合为非空。这些备注的证明将在第4节末尾给出。一个直接的推论是，市场呈现出指数级的快速羊群现象。推论3.5。在定理3.3中的假设下，放牧在市场上以指数形式发生：|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 总工程师-κtE（0），| vi（t）- ^vj（t）|≤ 总工程师-κtE（0）（1≤ i、 j≤ N） forC=（2- M） λwand C=4Mλw2Mλw- α.这里，α表示α=2λx（λx+λw）λ，由（3.7）定义。3.4. 主要结果II-无衰减率的放牧：我们定义了另一个市场能量E（t），即使没有λx、λv、λw>0和初始配置的任何限制，它最终也会消失。首先，我们定义γ（t）：=NNXi=1NXj=1（1+|^xi- ^xj |）r-2.- 1., （0<γ<2）NNXi=1NXj=1log（1+| xi- ^xj |），（γ=2）NNXi=1NXj=11.-（1+|^xi- ^xj |）r-2.. （γ>2）（3.9）注意Sγ（t）≥ 0表示所有t≥ 现在，对于任何λx、λv、λw>0的情况，我们通过（t）定义市场的放牧能量：=λwX（t）+v（t）+λxβ-1γSγ（t），其中βγ>0表示βγ=2.- γ, (0 < γ < 2)2, (γ = 2)γ - 2.（γ>2）羊群现象的粒子模型9定理3.6。对于初始数据{xi（0），vi（0）}Ni=1的任何正常数λx，λvandλww，E（t）随着t趋向于∞.备注3.7。（1） 对于任何正常数λx，λvandλw，Eis为非负。（2） 定理3.6概括了定理3.3，即我们不对初始配置施加任何限制，也不对参数λx、λvandλwe施加任何限制。然而，在这种情况下，显式放牧率不可用。这导致了以下普遍的羊群现象，这种现象无条件成立。推论3.8。在定理3.6中的假设下，市场中会出现羊群现象：limt→∞|^xi（t）- ^xj（t）|=0，极限→∞|^vi（t）- ^vj（t）|=0。(1 ≤ i、 j≤ N） 4。

定理3.3的证明：指数快速羊群在深入研究主要定理的证明之前，我们建立了几个技术引理。引理4.1。我们有DDTX（t）=2C（X，V）（t），ddtV（t）=-2λwC（X，V）（t）- λxCφ（X，V）（t）- λvVφ（t）。证据第一个恒等式是直接的：ddtNXi=1 |^xi（t）|=2NXi=1^xi（t）·^vi（t）。对于第二个，我们计算dTnxi=1 | vi（t）|=2NXi=1^vi（t）·- λw^xi（t）+λxNNXj=1^φij（^xj（t）- ^xi（t））+λvNNXj=1^φij（^vj（t）- ^vi（t））≡ I+II+III。那么，很明显，I=-2λwNXi=1^xi（t）·^vi（t）。根据（3.1），我们有ii=2λxNNXi=1NXj=1^φij^vi·（^xj- ^xi）=-λxNNXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）·（^vi- ^vj）。10 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun类似地，III=2λvNNXi=1NXj=1^φij^vi·（^vj- ^vi）=-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj |。因此，ddtNXi=1 |^vi（t）|=-2λwNXi=1^xi·^vi-λxNNXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）·（^vi- ^vj）-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj |。我们还需要考虑C（X，V）（t）引理4.2的时间演化。对于任何t>0ddtC（X，V）（t）=V（t）- λwX（t）-λxXφ（t）-λvCφ（X，V）（t）。证据SeeddtNXi=1^xi（t）·^vi（t）=NXi=1d^xidt·^vi+^xi·d^vidt≡ I+II。I的计算是直接的：I=NXi=1 | vi |。对于II，我们认为i=NXi=1^xi·n- λw^xi（t）+λxNNXj=1^φij（^xj（t）- ^xi（t））+λvNNXj=1^φij（^vj（t）- ^vi（t））o≡ 二+二+二。然后我们计算每个项。IIISII=-λwNXi=1 | xi（t）|。根据（3.1）中羊群现象的粒子模型11和一个简单的对称参数，我们得到≡λxNXiXj^φij^xi·（^xj- ^xi）=-λxNXiXj^φij^xi·（^xi- ^xj）=-λx2NXiXj^φij |^xi- ^xj | andII≡λvNXiXj^φij^xi·（^vj- ^vi）=-λvNXiXj^φij^xi·（^vi- ^vj）=-λv2NXiXj^φij（^xi- ^xj）·（^vi- ^vj），因此ii=-λwNXi=1 |^xi|-λx2NXiXj^φij |^xi- ^xj|-λv2NXiXj^φij（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）。4.1.

定理3.3的证明：我们将证明分为以下两个步骤：步骤1：步骤1用于证明以下声明：声明：定义T>0 byT=支持∈ R+maxi，j|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 2 maxi，j|^xi（0）- ^xj（0）| o.那么我们有ddte（t）≤ -κE（t）表示0≤ t<t。这里，κ>0是定理3.3中定义的常数。证据回想一下推论3.5中对α的定义：α：=2λx（λx+λw）λv.12 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE YUNThen，通过引理4.1和引理4.2，我们得到了ddte（t）=2λwC（x，v）+α五、- λwX-λxXφ-λvCφ（X，V）+- 2λwC（X，V）- λxCφ（X，V）- λvVφ= αV- αλwX-αλxXφ+λvλx+αCφ（X，V）+λVλXαVφ.（4.1）现在，使用x（t）=NXi=1^xi·^xi=NXi=1（^xi- ^xc）·^xi（^xc=0）=NNXi=1NXj=1（^xi- ^xj）·^xi=2NNXi=1NXj=1 |^xi- ^xj |=2NNXi=1NXj=1（1-^φij）|^xi- ^xj |+Xφ（t），我们得到-αλwX=-αλwX-αλwX=-αλwX-αλw4NNXi=1NXj=1（1-^φij）|^xi- ^xj|-αλwXφ（t）。因此，我们从（4.1）ddtE（t）=αV-αλwX-αλw4NNXi=1NXj=1（1-^φij）|^xi- ^xj|-αλx（1+λw2λx）xφ+λvλx+αCφ（X，V）+λVλXαVφ≤ αV-αλwX-αλx（1+λw2λx）xφ+λvλx+αCφ（X，V）+λVλXαVφ≡ αV-αλwX+R。羊群现象的粒子模型13为了简单起见，我们设定L=1+λw2λxf，计算机=-αλxLXφ+λvλx+αCφ（X，V）+2λVλXαVφ= -αλxLXφ+Lλvλx+αCφ（X，V）+4Lλvλx+α）vφ+λvλw2λxVφ= -αλxLNNXi=1NXj=1^φij（^xi）- ^xj）+2Lλvλx+α（六）- ^vj）+λvλw2λxVφ≤ -αλvλw4λxVφ。（4.2）由于我们是assumingmaxi，j|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 2 maxi，j|^xi（0）- ^xj（0）|，我们有^φij≥ Mfor Mde如（3.7）所述。

因此，Vφ=NNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj|≥MNNXi=1NXj=1 |^vi- ^vj |=2MNNXi=1NXj=1（^vi- ^vj）^vi=2MNXi=1（^vi- ^vc）^vi=2MNXi=1 | vi |，（^vc=0），由（4.2）R得出≤ -αλvλw2λxMV。最后，我们回到（4.1）中，通过这些计算导出dTe（t）≤ -αλwX-- 1+λvλw2λxMαV≤ -2λx（λx+λw）λvmin, -1 +λvλxλwM（λwX+V）。（4.3）接下来，我们需要证明存在δ>0，这样-（λwX+V）≤ -δ（λwX+αC（X，V）+V），（4.4）14 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun，相当于发现δ，即（1- δ)λwX-δ1 - ΔαC（X，V）+V≥ 如果δ（1- δ)α- 4λw≤ 回顾α的定义，可以将其改写为δ（1- δ)≤ λwλvλxλwλx+1,对于非常小的δ>0，这是正确的。现在，通过选择δ，我们可以结合（4.3）和（4.4）来闭合所需的Gronwall不等式：ddtE（t）≤ -2λx（λx+λw）λvmin, -1 +λvλxλwMδE（t）。第2步：我们现在证明T延伸到完整性：声明：T=∞, 即maxi，j |^xi（t）- ^xj（t）|<2 maxi，j | xi（0）- ^xj（0）|对于所有t>0。证据我们首先将（3.5）改写为λvλxλwM>1并使用λx和λwto的正性get2λwM>4λx（λx+λw）λv=α，或等效0<α2Mλw<1。有了这一点，以及0<M<2这一事实，从M的定义中可以看出，0≤1.-MλwX（t）≤1.-MλwX+MλwNXi=1^xi+αMλw^vi+1.-α2Mλw五=1.-MλwX+MλwX+2αMλwC（X，V）+αMλwV+1.-α2MλwV=λwX（t）+2λx（λx+λw）λvC（x，V）（t）+V（t）=E（t）。（4.5）羊群现象的粒子模型15因此，将其与权利要求1的结果相结合，我们得到X（t）≤E（0）（1）-M） λwe-κt.（4.6）现在，与上述说法相反，假设存在|^xi（t）- ^xj（T）|=2 maxi，j^xi（0）- ^xj（0）|（4.7）对于某些T>0。

然后，对于任何0≤ t型≤ T、 我们有来自（4.6）|^xi（T）- ^xj（t）|≤ 2 |^xi（t）|+2 |^xj（t）|≤ 2X（t）≤E（0）（1）-M） λwe-因此，应用步骤I的结果，我们推导出0≤ t型≤ T |^xi（T）- ^xj（t）|≤2E（0）（1）-M） λw<3 maxi，j^xi（0）- ^xj（0）|。最后一个不等式来自（3.6）：E（0）<1.-Mλwmaxi，j |^xi（0）- ^xj（0）|。总之，我们有|^xi（t）- ^xj（t）|<√3 maxi，j|^xi（0）- ^xj（0）|对于所有0≤ t型≤ T、 这与（4.7）相矛盾。因此，T=∞. 这就完成了预防。4.2. 推论3.5的证明：通过定义X，我们得到了|^xi（t）- ^xj（t）|≤ 2X（t）。然后（4.6）给出所需的结果。V的证明是相似的。4.3. 备注3.4的证明。（1） （4.5）表明，在定理3.3的假设下，E（t）是正的。（2） 我们只考虑市场上至少有两个参与者的情况，这不是≥ 为此，我们通过η定义η≡武特λvλxλw！2/γ- 1>0，其中η的正性来自（3.4）。用这个η，我们选择x（0）和x（0）asx（0）=η和x（0）=-η、 并将所有剩余的xi（0）和vj（0）设置为零。由于xc（0）=0，vc（0）=0，我们可以说xi（0）=^xi（0），vi（0）=^vi（0）。那么，我们有maxi，j^xi（0）- ^xj（0）|=η<η。16 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yung此外，^v（0）=0表示C（X，v）（0）=v（0）=0，^X（0）+^X（0）=0表示| X（0）|。因此，E（0）=λw|^x（0）|+| x（0）|= 2λw |^x（0）|=λw | 2^x（0）|<1.-Mλwmaxi，j |^xi（0）- ^xj（0）|。在最后一行中，我们使用0<M≤ 1和| 2^x（0）|=最大值，j^xi（0）- ^xj（0）|。定理3.6的证明：无显式衰减率的放牧我们从建立技术引理开始。引理5.1。对于任何γ>0，我们有dγ（t）dt=βγCφ（X，V）（t），（5.1），其中βγ>0由βγ给出=2.- γ, (0 < γ < 2)2, (γ = 2)γ - 2.（γ>2）证明。

当γ6=2时，我们有ddtnxi=1NXj=1（1+|^xi- ^xj |）r-2= (2 - γ） NXi=1NXj=1（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）1+|^xi- ^xj|γ= (2 - γ） NXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）。对于γ=2，我们类似地计算了dtnxi=1NXj=1log（1+| xi- ^xj |）=2NXi=1NXj=1（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）（1+|^xi- ^xj |）=2NXi=1NXj=1^φij（^xi- ^xj）（^vi- ^vj）。引理5.2。对于λx，λv，λw>0，我们有（1）一阶导数：E（t）=-λvVφ（t）。羊群现象的粒子模型17（2）二阶导数：E（t）=-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj |+2^φij（^vi- ^vj）·^vi- ^vj.（3） 三阶导数：E（t）=-λvNNXi=1NXj=1^φij | vi- ^vj|-λvNNXi=1NXj=1^φij（^vi- ^vj）·^vi- ^vj-λvNNXi=1NXj=1^φij^vi- ^vj·^vi- ^vj-λvNNXi=1NXj=1^φij（^vi- ^vj）·^vi- ^vj.证据（1） 我们区分E（t）并使用引理5.1获得DDTλwX+V+λxβγSγ= 2λwC（X，V）+- 2λwC（X，V）- λxCφ（X，V）- λvVφ+λxβγβγCφ（x，V）=-λvVφ。（2）和（3）中的身份直接来自差异-r.h.s.中的λvVφ。引理5.3。修复t>0。假设{vi（t）}i=1，。。。，Nare都相同，但{xi（t）}i=1，。。。，纳雷诺。也就是说，Xi，j | vi（t）- ^vj（t）|=0，Xi，j | Xi（t）- ^xj（t）| 6=0。然后，Evanish在t:E（t）=E（t）=0时的一阶、二阶导数，以及Eis在t:E（t）<0时的三阶导数严格为负。证据从引理5.2（1）和（2）中可以清楚地看出，E（t）=E（t）=0。对于E（t），回想引理5.2（3），当{vi（t）}i=1，。。。，Nare完全相同，除了r.h.svanishes中的第三个术语，yieldingE（t）=-2λvNNXi=1NXj=1^φij^vi- ^vj.（5.2）18 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun因此，我们的目标是证明右手边不是零。

为此，wenote从（3.2）中得知^vi- ^vj=-λw（^xi- ^xj）+λxNNXk=1^φik（^xk- ^xi）+λvNNXk=1^φik（^vk- ^vi）-λxNNXk=1^φjk（^xk- ^xj）-λvNNXk=1^φjk（^vk- ^vj），在我们相同的有利性假设下，其减少到^vi- ^vj=-λw（^xi- ^xj）+λxNNXk=1^φik（^xk- ^xi）-λxNNXk=1^φjk（^xk- ^xj）。现在，对于向量^xi，让^xkidenote表示^xi的第k个元素。也就是说，^xi=（^xi，^xi，…，^xMi）。然后，根据我们的假设，我们可以找到i6=jand，这样mini^xdi=^xdi<xdj=maxi^xdiand^xdi≤ ··· ≤ ^xdj。对于i，jand d的这种选择，我们有^v0di- ^v0dj=-λw^xdi- ^xdj+λxNNXk=1^φik（^xdk- ^xdi）-λxNNXk=1^φjk（^xdk- ^xdj）>0。我们现在回到（5.2）来观察这个结果，以获得期望的结果：E（t）=-2λvNNXi=1NXj=1^φij^vi- ^vj≤ -2λvNNXi=1NXj=1^φij^v0di- ^v0dj≤ -2λvN^φij^v0di- ^v0dj< 05.1. 定理3.6的证明：我们首先回顾LaSalle[36]提出的以下不变性原则：定义5.4。[36]如果从M开始的每个解对于所有t都保持M，则称集M是不变的。也就是说，x（0）∈ M=> x（t）∈ M代表所有t。定理5.5。[36]考虑微分方程组（5.3）˙x=F（x），其中x（t）=x（t），xN（t）F是一个向量场。设L（x）是一个标量函数，所有x的第一部分都是连续的。假设i）L（x（t））>0，所有x 6=0，ii）˙L（x（t））≤ 所有x为0。羊群现象的粒子模型19设E为所有点的集合，其中˙L（x）=0，M为E中包含的最大不变集。然后，所有t的（5.3）有界的每个解≥ 0接近M作为t→ ∞.现在我们开始定理3.6的证明。首先，回想一下羊群函数E（t）是非负的：E（t）≥ 0，并且仅当^x（t）=^v（t）=0时消失。我们还有（5.4）E（t）=-λvVφ（t）≤ 只有当{vi}i=1，…，等式成立，。。。，鼻孔完全相同。（5.4）也意味着解的有界性。因此，Esatis证明了定理5.5的条件。

现在，将E定义为Vφ（t）的零空间：E：=（^x，…，^xN，^v，…，^vN）∈ R2MN |^v=····=^vN.由于我们考虑的是集中式模型，且^vc（t）=0，E实际上为：=（^x，…，^xN，^v，…，^vN）∈ R2MN |^v=···=^vN=0.设M是E中的最大不变性集。鉴于上述不变性定理，我们的目标是证明M是平凡的：M= 百万南非兰特。（5.5）对于这一点，相反地，假设存在一个开放区间I和一个解{xi（t），^vi（t）}Ni=1到（3.2），在M中，使得xi，j^xi（s）- ^xj（s）| s为6=0∈ 一、 由于{^xi（t），^vi（t）}Ni=1∈ E根据定义，我们有^v（t）=····=^vN（t）=0，根据引理5.3，E（t）的一阶和二阶导数消失，而三阶导数E（t）在I上保持严格的负：E（t）=E（t）=0，E（t）<0。因此，对于任何[t，t] 一、 我们从泰勒定理得到0=E（t）=E（t）+（t- t） E（t）+Ztt（t- s） E（s）ds=Ztt（t- s） E（s）ds<0，这是一个矛盾。这证明了（5.5）。然后，期望的结果来自Theorem5.5.20 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE YUN6。数值模拟在这一部分中，我们提供了三个数值测试来证明市场中的羊群行为。在测试1中，我们在参数和初始数据选择不同的情况下（M=1，N=5），对定理3.3和定理3.6进行了数值验证。在测试2中，我们给出了二维问题（M=2，N=4）的数值解（3.2）的轨迹，以可视化多维情况下的羊群现象。在测试3中，我们给出了每个变量x和v的二维直方图，其中M=2，N=500，用于模拟大量玩家。在所有模拟中，我们采用四阶龙格-库塔方法进行时间演化，时间步长固定。6.1. 数值试验1。

我们回顾了在整个测试1中，第2节和第fix节中呈现的三种动态市场信号场景asw（x，t）=4 cos（4t），w（x，t）=x（t），w（x，t）=NNXi=1xi（t）。为简单起见，我们考虑五个市场参与者N=5，一个资产M=1。在下面的数值测试1-1和1-2中，初始数据（xi（0），vi（0））是随机选择的，唯一的区别是选择x（0）：测试1-1:x（0）=10，测试1-2:x（0）=-选择x（0）=10表示最初市场参与者x对市场持积极态度，选择x（0）=-10表示相反。这是为了比较流动参与者x（t）在市场上的评估影响。在测试1-3中，我们考虑了与不满足定理3.3条件的初始配置相对应的解的动力学。我们观察到，定理3.3的基本特征被打破了，但定理3.6的结果仍然成立。证明了定理3.3中的条件是必要的。（见备注3.7。）在整个测试1-1至1-3中，我们考虑非集中模型（2.1）的数值解，以清楚地表明（xc，vc）对放牧动力学的影响。6.1.1. 数值试验1-1：（x（0）=10的情况）在本试验中，我们选择γ=1.5，λx=0.1，λv=3和λw=2，它们满足参数假设（3.4）。初始数据在中随机选择[-10, 10] × [-10，10]以满足定理3.3中的（3.5）和（3.6）。我们获得了与三种情景对应的原始非集中放牧模型（2.1）的数值解，并将其分别绘制在图1、2和3中。最终时间取T=6。在图1中，在w（x，t）=4 cos（4t）的情况下，我们计算x和v。我们观察到，t=4后，xi、vitend显示出类似的模式。我们还看到平均支持率vcmovesup和down。