动态市场诱发羊群现象的粒子模型

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英文标题：
《A particle model for the herding phenomena induced by dynamic market
  signals》
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作者：
Hyeong-Ohk Bae, Seung-yeon Cho, Sang-hyeok Lee, Seok-Bae Yun
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we study the herding phenomena in financial markets arising from the combined effect of (1) non-coordinated collective interactions between the market players and (2) concurrent reactions of market players to dynamic market signals. By interpreting the expected rate of return of an asset and the favorability on that asset as position and velocity in phase space, we construct an agent-based particle model for herding behavior in finance. We then define two types of herding functionals using this model, and show that they satisfy a Gronwall type estimate and a LaSalle type invariance property respectively, leading to the herding behavior of the market players. Various numerical tests are presented to numerically verify these results.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了金融市场中由（1）市场参与者之间的非协调集体互动和（2）市场参与者对动态市场信号的并发反应的综合效应引起的羊群现象。通过将资产的预期收益率和资产的偏好解释为相空间中的位置和速度，我们构建了一个基于agent的金融羊群行为粒子模型。然后，我们使用该模型定义了两类羊群泛函，并证明它们分别满足Gronwall型估计和LaSalle型不变性，从而导致市场参与者的羊群行为。通过各种数值试验对这些结果进行了数值验证。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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PDF下载：
--> A_particle_model_for_the_herding_phenomena_induced_by_dynamic_market_signals.pdf (1.3 MB)

2022-6-2 17:16:13 上传

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关键词：Differential Interpreting interactions respectively Applications

由动态市场信号Yeong-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE YUNAbstract诱发的放牧现象的粒子模型。在本文中，我们研究了金融市场中的羊群现象，其产生于（1）市场参与者之间的非协调集体互动和（2）市场参与者对动态市场信号的同时反应的综合影响。通过将资产的预期回报率和资产的有利性解释为相空间中的位置和速度，我们构建了一个基于代理的金融羊群行为粒子模型。然后，我们使用该模型定义了两种类型的羊群函数，并证明它们分别满足Gronwall类型估计和LaSalle类型不变性，从而导致市场参与者的羊群行为。通过各种数值试验对这些结果进行了数值验证。1、简介在自然界[7、8、14、16、35]和社会[5、9、19、25]中经常观察到集体行为，如聚集、流行、时尚、群居和放牧。在这些不同类型的集体行为中，通过根据周围的粒子调整速度的过程来对齐速度的FLOCKING现象最近取得了一些进展。已经提出了一些模型，如Cucker-SmalModel（16、17）或Viseck模型（34），并且已经发展了许多成功的数学理论来理解这些模型（13、15、21、22、23、24、30）。在本文中，我们使用粒子模型研究了金融市场中出现的羊群行为。放牧一词在几种不同的上下文中使用。理解它们最基本的意义是个体的聚集行为，形成一个群体并作为一个群体移动。

因此，与FLOCKING现象不同，调整也发生在位置变量之间，因此，位置和速度之间的相互作用可能在动力学中发挥重要作用。在金融和经济领域，羊群效应通常被用来描述市场参与者越来越倾向于跟随市场趋势的现象，即使他们自己的观点、信息、好感或本能反对这种趋势。表达“信息级联”也经常使用。在传统经济学和金融学中，假设所有代理人都是理性的，所有信息都已经反映在价格上（有效市场假说），这意味着没有泡沫[4、29、31、32]。然而，正如我们在1637年的图利马尼亚、1711-1720年的南海泡沫、2000年的股市繁荣和2007年的美国房地产市场金融危机中所看到的那样，出现了许多非理性事件，如泡沫和崩溃。目前尚不清楚这些现象是否完全是由放牧引起的-O、 Bae得到了基础科学研究项目的支持，该项目由韩国国家研究基金会（NRF）资助，由教育、科学和技术部资助（2015R1D1A1A01057976）。S、 -B.Yun通过教育、科学和技术部资助的韩国国家研究基金会（NRF）获得基础科学研究项目（NRF-2016R1D1A1B03935955）的支持。2 HYEONG-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yun是市场参与者的行为，但放牧在这些现象的形成过程中起着至关重要的作用。先前关于金融中羊群行为的研究主要基于序列分析[4、5、6、9、10、26、27]，其中分析了第一个参与者的决策对后续参与者行为的影响。

（见第2节。）在本文中，我们研究了由对其他参与者的同时反应和动态市场信号引起的羊群现象。“动态”一词是指（1）信号随时间变化，或（2）信号由市场参与者的动态决定。为此，我们引入了两个变量：xi（t）：第i个市场参与者预期的资产随时间t的回报率，以及vi（t）：第i个市场参与者在时间t对这些资产的偏好。这两个变量发挥了自推进粒子在相空间中的位置和速度的作用，并使我们能够导出一个粒子模型，给出回报率之间的动态关系，有利性和市场信号。（见第2节。）然后，通过推导两个分别满足Gronwall型不等式和LaSalle型不变性条件的Lyapunov型herding泛函，分析了系统的羊群性质。（见第3、4、5节。）在堵塞模型中，多个粒子占据同一位置被认为是不可取的【2、12、16、17】。相反，我们允许“粒子”占据相同的x和v。这种重叠对应于对预期回报率和特定资产偏好的共识，这正是我们试图建模的。本文概述如下：在第二节中，我们推导了一个描述由动态市场信号引起的羊群现象的粒子模型。还从财务定价模型的角度给出了我们的模型的动机。第三节介绍了我们的主要羊群定理。第4节和第5节则专门用于证明主要结果。在第6节中，我们提供了一些相关的数值模拟。第7.2节讨论了结论和未来可能的项目。

金融羊群行为的粒子模型假设有N个市场参与者和M个资产，如股票或真实估值。对于隐含性，我们假设没有新的参与者或资产进入或离开市场。然后我们定义（t）=xi（t），····，xMi（t）∈ RMAD vi（t）=vi（t），···，vMi（t）∈ RM，（i=1，···，N）按以下方式：oxi（t）：市场参与者i预期的资产回报率1，····，M超时t.ovi（t）：市场参与者i在时间t对这些资产1，···，M的偏好。我们表示x（t）=x（t），x（t），····，xN（t）∈ RMNand v（t）=v（t），v（t），····，vN（t）∈RMN。很自然地，我们会假设，如果对回报率的预期上升，市场参与者可能会以更有利的方式考虑资产的价值，而当回报率下降时，市场参与者会以相反的方式考虑资产的价值。在这方面，我们将XIND vibydxidt=vi.（i=1，···，N）联系起来。为了描述vi的动态，我们假设市场参与者对市场趋势非常敏感，市场中普遍存在模仿策略，经济学家和市场参与者都认为这在一定程度上是正确的。我们通过以下三种方式假设有利性受到其他参与者评估的影响，从而为羊群现象3建立了此假设粒子模型：（1）其他参与者对资产预期回报率的评估：NNXj=1φij（xj- xi）。（2） 其他玩家对资产的偏好：NNXj=1φij（vj- vi）。在（1）和（2）中，φij是播放器i和播放器j之间的通信速率，其精确形式如下所示。（3） 来自市场的各种信号也会影响参与者的意见和决策。当市场经历剧烈的转型或动荡时，例如1997年的亚洲金融危机和2008年的次贷危机，可以更清楚地观察到这种影响。

为了系统地表述此类信号，我们引入了一个函数w（x，t），我们称之为“动态市场信号”，并假设资产的有利性受到预期回报和信号之间差异的影响：w（x，t）- xi（t）。下面将考虑w的明确示例。通过综合上述三种影响，我们得出了我们的主要模型：dxidt=vi，dvidt=λxNNXj=1φijxj（t）- xi（t）+λvNNXj=1φijvj（t）- 六（t）+ λww（x，t）- xi（t）,（2.1）式中λx，λvandλware相互作用强度。可以为通信速率φij做出多种选择，这决定了市场上其他参与者对一个参与者的预期回报率和好感的影响程度。在本文中，我们使用φij：=φ（xi，xj）=1+| xi- xj公司|γ>0时为γ。我们注意到，为了使该模型更真实，应考虑噪声的影响：dxidt=vi，dvi=λxNNXj=1φijxj（t）- xi（t）dt+λvNNXj=1φijvj（t）- 六（t）dt+λww（x，t）- xi（t）dt+σidWit、4 hyong-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE yun，其中σi是波动性，而wit是M维布朗运动。然而，在本文中，我们忽略了噪声的影响，仅考虑（2.1）以简化和清晰。我们把它作为一个未来的项目。动态市场信号w（x，t）的示例：我们可以根据市场情况选择各种类型的动态市场信号数学表达式。一些财务上有趣的例子是：（a）市场参与者无法应对的市场大趋势。（例如：市场的突然动荡，如经济危机或外汇汇率的涨跌）在这种情况下，我们将w=w（t）设为时间的给定函数。（b） 来自像Warren Buffett这样的知情市场参与者的不对称信息或信号。

在不丧失普遍性的情况下，我们可以将流动玩家设定为（x，t）=x。也就是说，流动玩家的预期回报率是市场中的一个强大影响因素（c）平均市场预期、市场气氛或一些平均指数，如道金斯指数，据信反映了这种平均市场预期，在这种情况下，我们可以定义新的（x，t）=nnxixixi。我们将表明，这些信号引起的放牧行为可以用简单的方式来解释。（见第3节。）模型的财务动机：我们现在提供模型的财务动机（2.1）。为此，我们回顾了资产价格S（t）的几何布朗运动：dSS=udt+σdWt，其中u是瞬时预期收益率，σ是波动率，wt是一维布朗运动。然后应用伊藤公式：s（t）=s（0）eRtu（s）-σ（s）ds+Rtσ（s）dWs，并取期望值E[·]到s（t）以得到E[s（t）]=s（0）eRtu（s）ds，或等效地，ddtlog E[s（t）]=u（t）。（2.2）根据【28】，预期收益率u由以下随机微分方程du=a生成θ - udt+ΔσdWt，（2.3），其中第一项表示预期回报率随调整速度a向正常回报率θ的长期回归调整，第二项放牧现象粒子模型5是误差学习型预期回报率随调整速度δ的短期外推调整。

将（2.3）与（2.2）耦合，我们得到以下系统：ddtlog E[S]=u，du=a（θ- u）dt+ΔσdWt。这可以推广到多变量系统：（i=1，···，N）ddtlog E[Si]=ui，dui=a（θi- ui）dt+ΔσidWit。用（xi，vi）重写（log E[Si]，ui），取δ=0，我们可以表示为一个分词模型：xi=vi，vi=aθi- 不及物动词.现在，如果我们做出以下选择：a=λv，θi（t）=NNXj=1vj，我们恢复我们的羊群模型（2.1），λx=λw=0，φij=1。金融学中关于羊群行为的研究简要回顾：文献[4、5、6、9、10、27]对金融中的羊群行为进行了广泛研究。羊群行为主义是指人们盲目遵从他人的决定。如果前任的行为影响到一个人的（1）支付结构，从而导致更高的支付（支付外部性）和/或（2）他对世界状态的概率评估，从而支配私人信号（信息外部性），那么模仿某人的行为可能是合理的。如果代理人模仿其前任的决定，即使他自己的信号可能建议他采取不同的行动，也会发生信息外部性导致的羊群效应。这种羊群效应也会导致信息级联。

在文献[5]中，定义了投资者羊群效应和信息级联的概念：o信息级联发生在时间t内，此时np（ht | V，ht）=P（ht | ht）五、 ht.o当Vθ（xθ）<Vm<Vtmor时，如果拥有私人信息xθ的交易者在t时买入，如果他在Vθ（xθ）>Vm>Vtm时卖出，则在t时从事羊群行为；而购买（或出售）则是严格优先于其他行为的。这里，P（·|·）表示条件概率，V表示新信息的价值，hts是时间t之前的行动历史，hts是到达时间t的交易员（市场参与者）采取的行动（买入或卖出），xθ是交易员θ的私人信息，Vtm：=E[V | Ht]是造市商对给定公共信息资产的预期价值，我们有时称之为价格，而Vtθ（x）：=E[V | Ht，xθ=x]是知情交易者θ的预期值。在信息级联中，有关资产的新信息不会影响市场参与者的决策。上述[5]中关于购买羊群行为的技术定义可以表达为以下三个步骤：（1）最初交易者的评估低于资产的市场价值，因此他倾向于出售。（2） 然而，资产的市场价值仍在增长。（3） 交易者必须无视自己的评估而购买资产。文献[5]还表明，无论羊群行为是否影响资产价格，资产价格肯定会影响羊群行为。尽管市场参与者是顺序决定还是同时决定会产生很大差异，但大多数羊群模型都是按顺序研究的。据作者所知，6 Hyong-OHK BAE、SEUNG-YEON CHO、SANG-HYEOK LEE和SEOK-BAE Yuno还没有提出粒子模型，将其解释为一个同时对其他参与者和市场信号做出反应的动力系统。

相关研究可在[1，3]中找到，其中使用Cucker-Smale类型模型考虑了波动性的锁定行为。作为相关工作，我们提到了[18，20]，其中提出了Boltzmann型动力学方程来模拟市场的动态，并通过公共信息和羊群效应的综合作用来理解泡沫和崩溃的形成（另见[33]），在[11]中，引入了Keller-Siegel型宏观放牧模型来模拟人群的放牧行为。3、主要结果在本节中，我们介绍了我们的主要结果。为了便于证明，我们从简化模型开始。3.1. 集中放牧模型：我们首先记录平均运动的一个简单结果。让xc，vc分别表示平均预期收益率和平均有利性：xc（t）=NNXi=1xi（t），vc（t）=NNXi=1vi（t）。这些平均量按照以下简单系统演化：引理3.1。xC和vcsatisfyddtxc（t）=vc（t），ddtvc（t）=λw（w（x，t）- xc（t））。证据因为所有1的φij=φji≤ i、 j≤ N、 我们从对称参数（3.1）得到NXi=1NXj=1φij（xj- xi）=NXi=1NXj=1φij（vj- vi）=0。使用这些恒等式，NPNi=1w（x，t）=w（x，t），我们通过将（2.1）与1相加得到所需的结果≤ 我≤ N我们将证明（x，v）的大时间行为由（xc，vc）控制。鉴于此，我们替换xi（t）- xc（t）→ ^xi（t），vi（t）- vc（t）→ ^vi（t），在我们的模型（2.1）中，得到d^xidt=^vi，d^vidt=λxNNXj=1^φij^xj（t）- ^xi（t）+λvNNXj=1^φij^vj（t）- ^vi（t）- λw^xi（t），（3.2），其中^φij：=φ（^xi，^xj）。注意，对于所有t，^xc（t）=^vc（t）=0≥ 0。（3.3）从现在起，为了清晰和简单，我们只研究这个集中式版本。羊群现象的粒子模型73.2。两种放牧泛函：我们定义了两种放牧能量，并改进了它们的衰减特性。