针对一致性风险措施的多币种准备金

概率测度Q也由Q的性质定义Fτ=QFτ和Q（·| Fτ）=Q（·| Fτ）Pa.s.，因此Q将定律qa和Qat时间τ粘贴在一起。当粘贴两个度量值时，我们在一个时间段内允许额外的自由度，并且仅粘贴满足与V：定义3.6相关的一致性条件的度量值，从而推广了m-稳定性。设τ为停止时间，Q，Qbe两个概率测度绝对连续，r e sp e ct为P⊕Qand Qconsists of alleQ的可选过去项的optτQof，使得（i）~QFτ=QFτ和（ii）对于任何A∈ FT，eQ（A | F（τ+1）∧T） =Q（A | F（τ+1）∧T） 。我们通过在粘贴的两个度量项和“一步密度”项下写入任意粘贴，明确了时间段（τ，τ+1）上的自由度：引理3.7。对于τa停止时间和Q，Qtwo概率度量，Q⊕optτQ=（等式<< P：∧eQ=∧QτR∧Q∧Q（τ+1）∧T、 对于s ome R∈ L+（F（τ+1）∧T） s.T.E[R | Fτ]=1）定义3.8。当τ为停止时间时，如果Q，Q，则概率测度集Q可选为V-m-st∈ Q、 安第克∈ Q⊕optτQ具有（附加）性质，即eeq[V | Fτ]=EQ[V | Fτ]，（5）EQ也在Q中。示例3.9。很容易检查给定的（Ft）0≤t型≤T-适应有界过程X，X的等价鞅测度的集合QX是可选的XT-m稳定的。请注意，可选为1-m稳定的集自动为m稳定，反之则为假。以下建议给出了双锥A（V）可选V-m稳定性的等价定义*.提案3。10、假设在不丧失一般性的情况下，定价测度集Q是凸的且闭合的（s o密度集在L的拓扑中是闭合的），并且设D=A（V）*. 以下是等效的：（i）Q是可选的V-m-稳定的（ii）对于每个t∈ {0, 1, . . .

，T}，无论何时Y，W∈ D是存在Z的∈ D、 事件F∈ Ft，正随机变量α，β∈ L+（Ft+1），αY，βW∈ Land X：=FαY+FcβW s atities[X | Ft]=E[Z | Ft]，（6）那么X是D的一个成员。可以在附录a中找到证明。定义3.11。我们可以说，一个任意锥 Lt满足提案n3.10的条件（ii）是可选的m-稳定。引理3.12。假设V是d+1个数的集合，d是L中的凸锥∞. 然后（V）*= D*五、 证据见附录A。1.3.4等价理论第一个结果是一组等价于可选V时间一致性的条件，包括V代表性的精确陈述，以及与定义风险度量的概率度量凸集Q相关的双重特征。这一结果类似于[8]中获得的这些概念的可预测版本。为了证明V-m-稳定性和V-代表性的等效性，我们找到了每个Kt的对偶，其中包含了A（V）的所有可选预映像*在时间t，除了证明V可选代表性和可选V-m-稳定性的等价性外，可选m-稳定凸锥A（V）的可选前像*时间t是对时间t持有的一组投资组合的对偶的具体描述，目的是在时间t保持一个可接受的头寸。我们将数量V的向量，一个一致的度量ρ=（ρt）乘以一个封闭的、凸的概率度量集Q，并将Atto作为t的ρt的接受集∈ T、 我们的两个主要结果之一是Orem 3.13。以下是等效的：（i）（ρt）t∈可选V-时间一致性；（ii）A可选地由V表示；（iii）Q可选地是V-m-稳定的。示例3.14。

[一般示例]给定正X∈ LT，以及一系列随机、闭合的凸集I：=（It）t=0，。。。，Tin Rd+1，每一个都可以用r（Rd+1，Ft）进行测量，相关效应σ-alg ebra（见[9]的备注4.2），letQXI：={Q~ P：等式【X | Ft】∈ 对于每个t}，则qxi可选地是X-m稳定的。请注意，X不必在L中∞.要恢复emm的情况，只需将X取为MT，即正P-鞅的终值，并将其取为单态{MT}。当然，mt不一定在L中∞, 但我们可以通过取V=（V，…，vd），其中vi=MiTPjMjT，并将Q定义为集合Q：={Q：Q=PjMjTPjE▄QMjT∧▄qf或某些▄Q∈ QMTI}。我们分两步给出了定理3.13的pro。首先，我们将展示可选VRE可呈现性和可选V-m稳定性的等价性。在证明了Ar比特率定价基本理论的一个版本——定理4.5之后，给出了可选V时间一致性和可选代表性等价性的证明。定义3.15。对于D L+，我们定义，对于每个时间t，D byMt的可选预映像（D）：={Z∈ L：αt∈ Lt，+，Z′∈ d如αtZ′所示∈ L（Rd+1）和E[Z | Ft]=αtE[Z′Ft]}。（7） 集合D的可选预映像 L+是理解任意稳定凸锥的关键，如以下两个引理所示：引理3.16。假设D L+。如果D是可选的稳定凸锥，则D=T\\T=0Mt（D）。如果S 五十、 我们用conv（S）表示S.引理3.17的凸包的Lof中的闭包。假设D L+，定义[D]：=T\\T=0（convMt（D）），（其中Mt（D）如（7）所定义）。则（a）[D]是包含D的最小稳定闭凸锥；（b） D=[D]当且仅当D是L中的稳定闭凸锥。我们在附录a中证明了这两个引理。定理m3.13中状态（ii）和（iii）等式的证明取决于以下定理3.18。对于任何t∈ {0，1，…，T- 1} ，Kt=（Mt（A（V））*))*.

（8） 附录A给出了证明。1、因此，我们将陈述（参见定义3.3）中的每个“总和”描述为V.定理证明3.13（ii）和（iii）的等效性中可接受投资组合集合的对偶的可选预映像的对偶。假设a（V）是弱的*-闭凸锥∞（Rd+1）无套利，因此A（V）**= A（V）。回想一下，A（V）是可选的r代表ifA（V）=⊕Tt=0Kt。由于命题3.10，我们必须证明两个条件（ii’）A（V）的等价性是可选的可重新呈现的；和（iii’）A（V）*可选为V- m-稳定。（ii’）=> （iii’）：假设A（V）是可选的，则根据定理3.18得出A（V）=⊕tKt=⊕tMt（A（V）*)*.采用双重方法，我们发现a（V）*= ∩tMt（A（V）*)**= ∩tconvMt（A（V）*)其中第二个等式来自于双曲线r定理。因此，A（V）*= [答（五）*], 因此，BYLEMA3.17，A（V）*是可选的稳定。（iii’）=> （ii’）：假设A（V）是弱*-闭凸锥，注意A（V）*是一个闭的凸锥（L，σ（L，L∞)). 进一步假设A（V）*稳定，A（V）*= ∩tMt（A（V）*) 引理3.16=∩tK公司*tby公式（8）。现在我们可以应用双极定理来推导a（V）≡ A（V）**= ⊕Tkt和A（V）可根据需要选择性地呈现。4多货币储备的基本定理在导言中宣布，我们现在讨论aV可选代表性接受集A分解的闭合性质。通过类比[15]中的定义，我们定义了一个交易锥，如下所示：定义4.1。C 如果C在陆地上闭合，则L（Rd+1，Ft）被称为（time-t）交易锥，C在乘以非负、有界、Ft可测量的随机变量后闭合。我们回顾了[9]中的引理4.6，为了便于参考，我们在这里引用了引理（适当地重新措辞）：定理4.2。

设C是L（F）中的闭凸锥，则C在L的（标量）元素相乘下是稳定的∞+（F） （9）当且仅当存在随机闭锥mc，使得c={X∈ L（F）：X∈ MCa。s、 }。（10） 我们将证明，如果A是V-表示的，那么（Kt）0≤t型≤T、 锥Kt的L-闭包是交易锥，其和是闭合的，等于A（V）的L-闭包，是无套利的。这是资产定价（FTAP）的（第一）基本定理的一个版本。对于本节其余部分，Lor L中的闭包将由简单的上划线表示，而*集合S的闭包将被表示为WWE集合a（V）：=a（V），L中a（V）的闭包。回想一下，a（V）在V时是无套利的∩ L+={0}，并定义交易条件={X∈ Lt：cX∈ A（V）适用于所有c∈ L∞+（英尺）}。请注意，Lof CT中的闭合紧随A（V）闭合之后。引理4.3。对于每个t，kt是一个交易锥，如果X∈ Ltthen X公司∈ Kti ff X.EQ【V | Ft】≤ 0表示所有Q∈Q、 证明。现在如果X∈ L∞t然后X∈ Ktif且仅当等式【X.V | Ft】=X时。当量【V | Ft】≤ 0表示所有Q∈ Q、 由此得出Kt={X∈ Lt:X.EQ【V | Ft】≤ 0表示所有Q∈ Q} 这显然是一个交易锥。它来自于定理4.2和引理4.3，即引理4.4。有随机闭合锥MCtand MKtsuch thatCt={Y∈ Lt：Y∈ MCta。s、 }Kt={Y∈ Lt：Y∈ MKta。s、 }和MKtiscone（{EQ[V | Ft）]：Q的极性（在Rd+1中）∈ Q} ，由{EQ[V | Ft）]：Q生成的随机闭合锥∈ Q} 。我们现在给出本节的主要定理：定理4.5。集合G：=⊕tCtis在L中闭合，无套利，等于H：=⊕tKt（A，V）。此外，如果A是V-可表示的，那么它们的公共值是A（V），然后是A，Lof A中的闭包是给定的Nbya=A（V）。V=⊕tKt（A，V）。五、 （11）证明。证明分三步进行。我们将展示：1。G在L.2中闭合。Ct=Kt（A，V）（G是无轨道的）建立G和H的等式。

A（V）=H，如果A是可重复的且A=A（V）。五、 1的证明。我们回顾了定义4.6中的定义2.6和引理2.7（合理地重新表述）。Suppos e J是L中的凸锥之和：J=M+…+M×…的所有元素。×MT其分量几乎肯定和为0，空策略（关于分解M+…+MT）并用N（M×…×MT）表示它们的集合。为方便起见，我们表示C×。×CTby C。引理4.7。（Ka banov等人[12]中的引理2）假设j=M+…+MTI是将J分解为交易锥；如果N（M×…×MT）是一个向量空间，并且每个MT在L中是闭合的，那么J是闭合的。由于我们已经确定每个cti是一个交易锥，将引理4.7应用于G的分解，我们只需要证明零策略N（C）形成一个向量s空间。参数是标准的：因为G是一个圆锥，我们只需要证明ξ=（ξ，…，ξT）∈ N（C）表示-ξ ∈ N（C）。为此，给定ξ∈ N（C）、fix a t和a b基础非负C∈ 那么，既然ξ为空，-cξt=bξ+。bξt-1+（b- c） ξt+bξt+1+…+bξT，和中的每一项都清楚地在相关的Cs中，因此在A中。因为c和T是任意的，-ξt∈ 每个t和so的CTF-ξ ∈ N（C）。从（4）中可以清楚地看出，Kt 因此，通过关闭CTkt 计算机断层扫描。因此H G、 2的证明。回想一下[9]，H的一致价格过程是（MKt）中的鞅*在每个时间步。因为∧qTvqt是这样一个鞅（对于任何Q∈ Q），根据定理4，交易锥Kt（A，V）序列的一致价格过程集合是非空的。第11页（共9页），H无放射性。一致的价格流程⊕t计算（MCt）中的鞅值*在每个时间步。

我们现在声称，对于每个t，（MCt）*= （MKt）*.一旦我们确定了这一点，就可以在Rd+1中取随机极锥。首先，观察Ct Kt（A，V）表示（MCt）* （MKt）*几乎可以肯定。因此，假设（MCt）*是（MKt）的stric t子集*. 然后存在Q∈ Q使得p（等式[V | Ft]6∈ MCt）>0。对于该Q，我们形成一致的价格过程Zt=∧QtEQ[V | Ft]∈ （MKt）*. 形成摩擦跨接conesCt（Z）：={X∈ Lt:X·Zt≤ 0}我们有一个套利fr e e和闭合coneeA=⊕来自FTAP的tCt（Z）。ClearlyeA包含A（V），因此Ct（Z）包含在Ct中，而Zt∈ MCta。s、 ，与严格包含的假设相矛盾。3的证明。如果A是V-表示的，那么A（V）=(⊕tKt）w=⊕tKt=Hbut，因为我们已经建立了d，H是闭合的。最后，由于 千吨级。V很明显 H、 V.相反，因为A=A（V）。V=⊕Ktw。V=⊕千吨级。五、 因此 HV5完成定理3.13的证明：定理3.13（i）和（ii）的等价性。我们将使用定理4.5的结果，即如果可选的V-可表示thenA（V）=⊕tKt（A，V）和A=⊕tKt（A，V）。五、 （12）其中，超脚本0表示Lor L中的闭包。现在定义（iv）：A ⊕tKt（A，V）。五、 （13）清楚（12）=>（13） 因此（ii）=>（四）。很明显，（iv）=>（i） 。相反，根据定理4.5，⊕tKtis在L中闭合，而（i）告诉我们⊕千吨级。V=⊕因此，我们得出结论（i）=>（四）。现在有足够的证据证明（iv）=>（二）。假设（iv）保持不变。我们将展示 ⊕tKt。或者，等效地（因为A是闭合凸锥），即(⊕tKt。五）* A.*. （14） 定义=(⊕Ts=tKs。五）*和Bt：=L∞∩ ⊕Ts=tKs。VNow，自（L∞∩⊕tKt。五、)* A.*我们可以通过证明、归纳来证明（14） B*t对于每个t.（15），显然（15）都适用于t=t，因为KT={X∈ L∞: 十、 五≤ 0 a.s.}和KT={X∈ 五十： 十、五≤ 0 a.s.}so BT=L∞-= 千吨级。五、 现在假设（15）对t=u+1成立。取任意Z∈ Guand X公司∈ 日分。

那么X=αu.V+Y，对于某些Y∈ ⊕Ts=u+1Ks。V和αu∈ Ku。对于整数n>0，设置Fn={| |αu | | |≤ n}，然后是αuFn∈ 宽迪1Fn=X1Fn- αuFn∈ L∞（自X起∈ L∞). 因为，对于任何t≥ u、 kT是c在乘法byFn下损失的，因此Y 1Fn∈ Bu+1，X1Fn=αu.V1Fn+Y 1，因此X1Fn∈ 日分。自Z起∈ Gu+1根据诱导作用，EZX1Fn=EZ（Y 1Fn+αu.V1Fn）≤ EZ（αu.V1Fn）。现在αu.V1Fn∈ Ku。V和Z∈ （Ku.V）*so E[ZX1Fn]≤ 因此，通过支配收敛，E[ZX]≤ 0，因为X是Buit的任意元素，所以Z∈ B*uand so Gu公司 B*u、 建立诱导型STEP。我们实际上已经证明了一些额外的东西：推论5.1。如果A是V-表示的，那么Bis弱*闭且等于A.Proof。根据定理4.5，如果A是V-可表示的，那么A=⊕Ts=0公里。五、 soB=L∞∩ (⊕Ts=0公里。五） =L∞∩ A. A、 既然A是V-可表示的，那么A=⊕tKt。五、 B**, 来自（15），但B**= BsoA=B=B。备注5.2。当然，如果A是V-m-可表示的，那么我们可以用弱的*-收敛，代价是采用网络而不是序列。由此推论，如果A是V时间一致的，那么给定X∈ A我们可以形成储量的序列，使得RT.V=X，每个增量πt：=RT- Rt公司-1在Kt中，因此π是Kt元素的最确定极限。6将定价机制与具有比例交易成本的市场相关联第4节将可选代表性CRM与交易锥联系起来，在本节中，我们将储备机制与具有交易成本的市场中的对冲策略直接关联。这是通过向市场添加额外的时间段（T，T+1）和交易成本来实现的，在该时间段内，所有人都将重新兑现的现金定位到基本金额v中。

我们这样做的方式是，引入一些不利的风险，迫使厌恶风险的代理人在时间T，而不是在额外期限内抛售。设e=（1，0，…，0），ed=（0，…，0，1）表示Rd+1的规范基。回想一下，在有交易成本的市场中，基本设置有一组资产（实验室填0，…，d）和随机买卖价格πi，jt，在每个交易时间t∈ {0，…，T}。因此，πi，jt是在时间t可交换为一单位资产j的资产i的单位数。相应的交易锥，我们用▄Kt（πt）表示，由这些交易共同评定消费可能性，因此▄Kt（πt）是由向量的非负Ft可测倍数生成的（闭合）锥-EI和ej- πijtei，fori，j∈ {0，1，…，d}。zero endowment提供的一组权利要求是bt（π）=TMt=0Kt（πt）。我们（最初）假设在Lis中BT（π）是无套利的。注意，由于[9]中的定理1.2，我们可以（并且应该）假设，如果必要，通过将投标修改为k价格，Bt（π）关闭。该定理的证明还证明了最终交易锥的零策略形成了avector spa ce。我们表示在由AQ收集的绝对连续概率测度Q生成的风险测度下，可接受索赔集的L-闭包。我们将展示每个市场对应于CRMTheorem 6.1。

对于交易成本矩阵序列（πijt）t=0,1，。。。，T、 存在随机基础（eOhm,eF，eF，eP），数值V的向量∈ L∞（e）Ohm,eF，eP；Rd+1），以及一组可选的V-m-稳定概率，即相应的FT可测量可实现索赔集合的结束（在L中）是通过交易基础资产可实现的索赔集合：BT（π）=AQ（V）∩ L（英尺）。证明中的关键因素是在最后增加一个额外的交易期（T，T+1），在该交易期内，所有头寸都被套现为资产0。然而，我们施加了一些非常不利的风险，迫使代理在前一个时间段而不是在额外的时间段内出售。为了生成最终的无摩擦价格，我们增加了一个简单的“硬币旋转”对于其他资产。我们将d个二进制选择（购买或出售其他每个d个数）编码为s{0，1}d，并将u定义为（{0，1}d，2{0，1}d）上的统一度量。因此，我们定义了扩充样本空间EOhm := Ohm ×{0，1}d，并定义乘积西格玛代数和度量：eF：=F 2{0,1}d），eP：=P u.我们通过设置eft：=Ft来增加过滤{, {0，1}d}。我们使用L的明显嵌入∞(Ohm, Ft，P）in L∞（e）Ohm,eFt、eP）；应该从上下文中明确Lwe所指的版本。固定0<ε<1小。定义Rd+1值随机变量V=（V，V，vd），ω∈ Ohm,ω′∈ {0，1}d，由▄v（ω，ω′）=1，（16）▄vi（ω，ω′）=（1- ω′i）（1- ε） πi，0T（ω）+ω′i（1+ε）π0，iT（ω）。（17） 对▄V的解释是：在时间T的一个bid-ask-spreathπi，0T（ω），π0，iT（ω）如果num'erairei处于ω状态，我们旋转一枚硬币。如果硬币显示头部（ω′i=1），则集合i的（T+1）价格略高于T-ask价格，并且与在时间T+1时兑现相比，在时间T+1时负持有i会造成损失。