针对一致性风险措施的多币种准备金

如果硬币显示尾部（ω′i=0），则sset i的（T+1）-价格略低于T-bidprice，任何对i的正持有都会造成损失。任何规避风险的代理人都将在时间T兑现为资产0，以避免这些损失。现在，我们用πijT+1定义时间T+1的无摩擦买卖matr ix：=▄vj▄vi。交易锥▄KT+1（πT+1）由向量的正FT+1可测倍数生成-EI和ej- πijT+1ei，对于i，j∈ {0，1，…，d}。定义圆锥体BT+1（π）=BT（π）+KT+1（πT+1）。原始索赔集合的一致价格过程BT（π）isBoT（π）={Z∈ LT（Rd+1）：E[Z | Ft]∈~Kt（πt）*a、 s.对于t=0，1，T}。根据文献[9]的第4.11条，由于BT（π）是封闭的且没有套利，因此BT（π）至少存在一个一致的价格过程。下面的命题表明锥BT+1（π）是无套利的。提案6。2、BT+1（π）有一个完整的价格过程。证据我们通过乘以每个硬币旋转的鞅测度的Radon-Nikodym导数，将BT（π）的一致价格过程推广到BT+1（π）的一致价格过程。对于anyZ∈ BoT、 定义λZ>0，使单周期过程Zi/Z，λZvi是每个i的aeP鞅。然后zt+1=ZλZV（18）定义了锥BT+1（π）的一致价格过程。我们首先证明存在这样的λZalways。请注意，Z∈~KT（πT）*给出ω-a.e.，ZjT（ω）ZiT（ω）≤ πijT（ω）≤ πi，0T（ω）π0，jT（ω）<1+ε1- επi，0T（ω）π0，jT（ω）=▄vj（ω，1）▄vi（ω，0），其中▄vj（ω，1）理解为▄vj（ω，ω′）ω′j=1etc。固定ω∈ Ohm i 6=0，我们看到ZiT（ω）：=ZiT（ω）ZT（ω）∈ （▄vi（ω，0），▄vi（ω，1））。这种n个单周期二叉树模型的marting-ale测度由“heads”θ（ω，i）=ZiT的概率确定- vi（ω，0）~vi（ω，1）- vi（ω，0）。现在设置λZ（ω，ω′）=2ddYi=1θ（ω，i）ω′i（1- θ（ω，i））1-ω′i早期，λZis a.s。

正且有界，~E[λZ | FT]=1且ZiT+1∈ Lsince▄E【ZiT+1】=▄E【λZ▄ViZT】=E【ZiT】，根据ZiT+1的正性、Fubini定理以及u和λzs的定义，对于任何XT∈ L∞T（Rd+1），EeP[XT·ZT+1]=EP[XT·ZTEeP[（λZV）| FT]]=EP[XT·ZT]。（19） 设置XT=A的AEIF∈ FT，对于任何i，我们看到ZT=EeP[ZT+1 | FT]，因此ZT+1是所需的一致价格过程。提案6。3、锥BT+1（π）：=⊕T+1t=0K（πT）在L中是闭合的，并且是无套利的。证据根据[9]的定理4.11，我们得到了Lis套利中BT+1（π）的闭包。我们将显示空策略集N（~K（π），~KT（πT），~KT+1（πT+1））是一个向量空间，从引理4.6得出结论，锥BT+1（π）在L中是闭合的，我们完成了。取（x，…，xT+1）∈ N（~K（π），~KT（πT），~KT+1（πT+1））。Letx=x+···+xT，因此x+xT+1=0。（20） 我们看到，t xT+1是一个FT可测量的元素，为▄KT+1（πt+1）。我们声称xT+1∈ BT（π）：自下一个+1∈ BT+1，对于锥BT+1（π）的任何一致价格过程Z，以及任何n∈ N、 0个≥ E[ZT+1xT+1{| | | xT+1{| |<n}]=E[ZTxT+1{| | xT+1{| |<n}]=，所以xT+1{| | xT+1{|<n}∈ BT（π）表示所有n，so xT+1∈ BT（π）的闭包。自xT+1起∈ BT（π），存在y∈~K（π），年初至今∈KT（πT），xT+1=y+····+yT。然后，重写（20），我们看到（x+y）+…+（xT+y+T）=0。由于该总和中的每个术语都在相关的交易锥中，我们看到（x+y），（xT+yT））是inN（▄K，▄K）T。现在，假设这是一个向量空间，所以每个-（xt+yt）∈~Kt（πt），因此，由于~Kt（πt）是一个包含yt的圆锥，每个-xtis单位为▄Kt（πt）。在时间T+1时，买卖价格是无摩擦的，因此xT+1∈~KT+1（πT+1）可写为u- u、 其中u∈ lin（~KT+1（πT+1）），和u≥ 0

否te that0≤ u=u- xT+1=u+x∈ BT（π），但由于BT（π）是无套利的，u=0，依此类推-xT+1∈~KT+1（πT+1），因此空策略集是一个向量空间。最终价格V a bove在基因ral中是无界的，因此我们通过归一化来转换这些价格，设置V=（V，…，vd），其中vi：=~viPjvj。最后，我们确定了测量的se t o Q={QZ:Z是BT（π）}的一致价格过程，其中dqzdep：=ZTλZT（~v）PjZj。很容易检查这些是概率测量，因为Z是一致的价格过程，并且是严格正的向量值市场。现在主要结果的证明是：定理证明6.1。我们观察到kt（AQ（V））={X∈ Lt:X.EQ【V | Ft】≤ 所有Q均为0 a.s∈ Q} ={X∈ Lt:X.Zt≤ 0 a.s.对于所有一致的Z}它遵循kt（πt）={Y∈ Lt：Y.Zt≤ 0 a.s.对于所有一致的Z}={Y∈ Lt：Y∈ Kt（Q）}和soBT=AQReferences[1]PhilippeArtzner、FreddyDelbaen、Jean-MarcEber和DavidHeath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–2281999年。[2] Tomasz R.Bielecki、Igor Cialenco和Marcin Pitera。离散时间内动态风险度量和动态性能度量的时间一致性调查：LM度量。概率、不确定性和定量风险，即将出版（4）：669–7092017。[3] Tomasz R.Bie lecki、Igor Cialenco和Rodrigo Rodrig ue z.在具有交易成本的离散时间市场中，对分割和支付证券进行无套利定价。数学金融，25（4）：673-7012015。[4] Jakˇsa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas。交易成本下的套期保值和投资组合优化：鞅方法。《数学金融》，6（2）：133–165，1996年。[5] Freddy Delbaen。m-稳定集的结构，尤其是风险中性度量集的结构。《纪念保罗·安德烈·梅耶》，第215-258页。Springer，2006年。[6] Kai Detlefsen和Giacomo Scando lo。

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，d}，α∈ L∞, 我们有[Z·α（viej- vjei）]≤ 将i和j颠倒过来，我们可以写出E[Z·α（viej- vjei）]=0，允许第一个α={Z·（viej-vjei）>0}则α={Z·（viej-vjei）<0}，我们看到事实上，Z·（viej- vjei）=0 a.s.对于任何i，j，所以取i=0，我们得到Zj=Zvja。s、 对于每一个j，就有一个ny Z∈ D（V）*对于某些Z，必须为ZV形式∈ 五十、 现在，给定C∈ D、 取X，使X·V=C（这意味着X∈ D（V）），然后0≥ E[W V·X]=E[W C]，由于C是任意的，因此W∈ D*. 因此D（V）* D*五、 命题3.10的证明。通过引理3.12，我们可以写出D=锥{dQdPV:Q∈ Q} 。（一）==> （ii）：我们假设（i）ho lds和fix t∈ {0，1，…，T}，Y，W，Z∈ D、 F级∈ Ft，α，β∈ L+（Ft+1）和X∈ 如（ii）中的假设。我们显示X∈ D通过应用（i）两次。首先，取τ=tF+TFc，确定QZand∧ZtviadQZdP=ZE[Z]和∧Zt=EdQZdP英尺类似地，对于QY，∧Y。注意Z=E[Z]λZV。现在，我们可以选择粘贴QZandQYat时间τ、asbQ、viab∧=∧ZtαE[Y]λYt+1E[Z]λZt∧Y∧Yt+1F+∧ZFc。这是一个n可选粘贴，由于公式（6）：在F上，我们有EαY英尺= EZ英尺, 所以括号中的因子对F的条件Ft期望值为1。我们将应用（i）来推断tbQ∈ Q、 为此，我们必须证明ebq[V | Fτ]=EQZ[V | Fτ]。我们计算左手边为beEbQ[V | Fτ]=b∧tEhb∧VFtiF+VFc=EαE[Y]λYt+1E[Z]λZt∧Y∧Yt+1V英尺F+VFc=E[Z | Ft]E[αY | Ft]F+VFc条件（6）表明，o n F，E[αY | Ft]=E[Z | Ft]，因此我们得出结论Bq∈ Q、 我们重复上述步骤以停止时间σ=TF+tFc，测量bq和QW，e∧=b∧F+b∧tβE[W]λWt+1E[Z]λZt∧W∧Wt+1Fc。条件（6）给出了EeQ[V | Fτ]=EbQ[V | Fτ]，以及soeQ∈ Q by（i）。很容易证明X=E[Z]E∧V，因此X∈ D根据需要。（二）==> （i） ：表示（ii）持有；当τ=T时，则（i）成立。

现在假设（i）对于任何停止时间τ都成立≥ k+1 a.s.，然后在停止时间的下限进行反向归纳。固定任意停止时间eτ≥ k a.s.，定义F={eτ≥ k+1}和停止时间τ*:= eτF+TFc。注意τ*≥ k+1，s inc e Fc={eτ=k}。我们现在取Q，Q∈ Q和Q∈ Q⊕选择满足式（5）的τqt，并借助条件（ii）证明式是Q的一个元素。定义∧i=dQi/dP，i=1，2。粘贴Qand Qat时间τ*, Q*∈ Q⊕optτ*Q、 带Rado n-Nikodym导数∧*= Λτ*R*ΛΛ(τ*+1)∧Twith R公司*∈ L+（F（τ*+1)∧T） 和E[R*| Fτ*] = 1、我们注意到，e∧：=deQ/dP可以写成∧=eτeR∧（eτ+1）∧T=∧τ*eR∧∧（τ*+1)∧TF+λFc。设置X=e∧V，W=Z=∧V，Y=∧，α=eR/R*, β=1以满足（ii）的假设。因此，X∈ D、 whenceeQ公司∈ Q、 这就完成了感应步骤。引理3.16的证明。包含项D ∩Tt=0Mt（D）是微不足道的。在下面，我们写Z | tforE[Z | Ft]。现在Z∈ ∩Tt=0Mt（D），我们的目的是证明Z∈ D、 所以，尽管如此∈ {0，1，…，T}，存在βT∈ Lt、+和Zt∈ D使得βtZ∈ 土地Z | t=βtZt | t.defineξt=ZTξt=Ftκtξt+1+fctzt∈ {0，1，…，T- 1} 式中，Ft={βt>0}和κt=βt+1/βt。注Z=Z | t=βTZT | t=βtξTandZ=βκ·κ·t-2ξT-1= βξ.因此，我们只需要证明ξ在锥D中，就可以推断Z=βξ在D中∈ {0，1，…，T}，我们有ξT | T=Zt |和ξT∈ D、 我们将从观测ξT=ZT开始，进行反向归纳∈ D、 假设s是这样≥ t+1，我们有ξs | s=Zs | sandξs∈ D、 ξt | t=EFtκtξt+1+FctZt英尺= EFtκtZt+1+FctZt英尺现在，如果βt>0，即在事件Ft上，eκtZt+1英尺=βtEβt+1Zt+1英尺=βtE【Z | t+2 | Ft】=Z | t+1βt=Zt |我们得出结论ξt | t=EFtZt | t+FctZt英尺= Zt | t。假设D是稳定的，因此通过稳定性的替代定义（命题3.10），我们可以看到ξt∈ D、 引理3.17的证明。

很明显，t[D]是L中的一个闭凸锥。为了证明[D]是稳定的，我们使用命题3.10。修复t∈ {0，1，…，T}，假设Y，W∈ [D] a re存在Z∈ [D] ，aset F∈ Ft，正r和om变量α，β∈ L（Ft），αY，βW∈ L（Rd+1）和X：=αYF+βwfcsaties E[X | Ft]=E[Z | Ft]。我们的目的是证明X是[D]的一个成员，也就是X∈convMs（D）0≤ s≤ T- 1、首先考虑s∈ {0，1，…，t- 1}. 根据Ms（D）的定义，Z∈ 转换Ms（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ conv-Ms（D），因为Ms（D）中可积Z的隶属度仅取决于其条件期望E[Z | Fs]。更一般地说，我们显示∈convMs（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ convMs（D）。取一个序列（Zn） 转换Ms（D），使Zn→ Z在L中。确定序列Xn：=E【Zn | Ft】+X- E[X | Ft]。请注意Xn→ X为n→ ∞ 对于每个n，E【Xn | Ft】=E【Zn | Ft】。So Xn∈ conv Ms（D），thusX∈convMs（D）。现在考虑s∈ {t，t+1，…，t- 1}. 我们首先选择序列（Yn），（Wn） 转换Ms（D），使Yn→ Y和Wn→ L.定义中的W表示n，K∈ N、 Xn，K：={α≤K} αYnF+{β≤K} βWnFc。Xn，K∈ conv Ms（D）遵循以下两个基本属性：1。如果Z∈ 转换Ms（D）和g∈ L∞+（Ft），然后是gZ∈ 转换Ms（D）；和2.if Zi∈ 转换Ms（D），i=1，2，然后Z+Z∈ 转换Ms（D）。让Z∈ Ms（D）。然后αt∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtZ∈ Land Z | t=αtZ′t==> αtg∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtgZ∈ 陆地gZ | t=αtgZ′，然后取凸面外壳。现在，对于任何K固定，{α≤K} αYn→{α≤K} αY为n→ ∞, 和类似的{β≤K} βWn→{β≤K} βW。由于αY和βW是可积分的，我们现在发送K→ ∞ 要查看thatX=limK→∞画→∞Xn，K∈convMs（D）完成了证明X确实是[D]的成员的证明。对于包含D的稳定闭凸锥的类中f[D]的极小性，我们注意到ifD D′然后【D】 [D′]。

假设D′是另一个包含D的稳定闭凸c′，我们通过引理3.16得到D′=[D′]，因此D′包含[D]。为了显示语句（b）中的等价性，前向蕴涵是由于[D]的稳定性，反之则是引理3.16。定理3.18的证明。如上所述，我们设置B=A（V）。首先我们证明Mt（B*)  Kt（B）*. 对于任意Z∈ Mt（B*), 存在Z′∈ B*和α∈ 带αZ′的L+（Ft）∈ Land Z | t=αZ′t。注意，对于任何X∈ Kt（B），E[Z·X]=E[Z | t·X]=E[αZ′t·X]=limn→∞E[（α{α≤n} X）·Z′| t]≤ 0，自α{α≤n} X个∈ B和Z′∈ B*. 因此Z∈ 由于Z是任意的，我们已经证明了mt（B*)  Kt（B）*.对于反向夹杂物，Mt（B*)* Kt（B），没有te那B* Mt（B*) 表示Mt（B*)* B、 安德尔∞+（Ft）Ms（D）=Ms（D）==> 对于X∈ Mt（B*)*, g级∈ L∞+（英尺），E【X·gZ】≤ 0==> L∞+（Ft）Mt（B*)*= Mt（B*)*.定义：={X∈ L∞（英尺，Rd+1）：gX∈ B代表任何g∈ L∞+（英尺）}。因此Mt（B*)* Bt.为了完成证明，我们只需要显示t X∈ Mt（B*)*Ft是否可测量，s inc eBt∩ L∞（Ft，Rd+1）=Kt（B）。为此，请注意，对于ny Z∈ L（Rd+1），Z-Z | t∈ Mt（B*), E[（Z）的位置-Z | t）·X]≤我们推导出e[（Z- Z | t）·X]=E[（X- X | t）·Z]≤ 0Z∈ L（Rd+1），X=X | tP-a.s。