期权价格的量子界限

在30个层段的情况下，边界为零，29个走向均匀分布在0.1到2.9之间，且完整。增加区间数会为上界添加更多信息，重新定义上界并向Black-Scholes模型收敛。0≤ νn≤ 1、这些条件矩通过以下公式归一化：Xndn=1（63）Xnfndn=fXnpfn（1- νn）dn=pf（1- ν） 上半行的分解利用资产价格的细分和根方差确定了期权价格的界限，前提是资产被定位在指定子集中。随着分解的进一步确定，来自定价度量的更多信息被纳入边界，该边界在逐点本地化的限制下收敛到期权的价格。3.3基于期权支付的利润。替代方法从有限的期权价格中确定期权价格的界限。对于正走向k<···<kN，分区包括函数：u[a]=1-（a）- k）+- （a）- k） +千- k（64）un【a】=1-（千牛- （a）+- （千牛-1.- a） +千牛- 千牛-1.-（a）- 千牛）+- （a）- kn+1）+kn+1- knuN【a】=1-（千牛- （a）+- （千牛-1.- a） +千牛- 千牛-1这些函数为正数，总和为1，在域上受支持：supp[u]=(-∞, k） （65）supp[un]=（kn-1，kn+1）supp[uN]=（kn-1.∞)除了对角线积之外，只有连续函数具有非零积：pun[a]un+1[a]=（kn<a<kn+1）p（a- kn）（kn+1- a） kn+1- kn（66）2N维矩阵Q的四个象限是三对角的。左上象限具有非零元素：Qnn=E[aun[a]（67）Qn n+1=Qn+1 n=E[apun[a]un+1[a]]右上象限和左下象限具有非零元素：Qnn=E[√aun【a】（68）Qn n+1=Qn+1 n=E【paun【a】un+1【a】]00.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3部分删除顺序线性分割图4：确定普通期权价格的上限。

该图显示了由5个均匀分布于0.5到2.5之间的走向构成的分段线性配分函数。右下象限有非零元素：Qnn=E[un[a]（69）Qn n+1=Qn+1 n=E[pun[a]un+1[a]]这些元素由选项之间的相关性驱动，这些选项的参数化类似于篮子选项的情况。在实践中，可以使用一个简单的参数模型（如Black-Scholes模型）来暗示依赖于较小模型参数集的相关性的合理值。通过使用连续基函数，此分区生成的边界比前一示例中数字分区所暗示的边界更平滑。3.4外汇期权前面的示例显示了如何通过将资产细分为本地化组件来获得期权价格的边界族。另一种战略是利用对资产财务结构的了解，将资产分解为更基本的经济单位。下一个示例应用此方法生成交叉外汇汇率期权价格的边界。外汇汇率x上的期权是以前考虑过的普通期权，期权价格受相同的约束：E[（x- k） +]≤（f）- k） +p（f- k） +4fkν（70），其中f是外汇汇率的价格，ν是00.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3对数正态波动率的标准化方差。br隐含对数正态波动率black-ScholesBound5删除29删除00.20.40.60.810 0.5 1.5 2 2.5 3累积密度删除累积密度black-ScholesBound5删除图5：确定普通期权价格的上限。在这些图中，上界的校准矩是从平均值为1且波动率为40%的Black-Scholesmodel中提取的。

显示的三个上限对应三组不同的打击，分别为0、5和29次打击。在5次打击的情况下，打击平均分布在0.5到2.5之间。在29次罢工的情况下，罢工平均分布在0.1到2.9之间。此示例使用分段线性分区函数，而不是前一示例中的分段曲面分区函数，这提高了定义边界的平滑度。外汇汇率的平方根：f=E[x]（71）ν=E[x]- E类[√x] E【x】在这些表达式中，定价度量E与外汇汇率的基础货币相关联。非流动性外汇汇率的期权通常写在交叉外汇汇率x=x/x上，其中x和x是两种货币相对于美国固定本币的外汇汇率。在这种情况下，香草期权继续适用的界限，但波动性可以根据波动性和两个贡献汇率的相关性进一步分解：ν=1- （p（1- ν)(1 - ν) + ρ√νν）（72），其中ν和ν是液体外汇汇率平方根的归一化方差，ρ是液体外汇汇率平方根之间的相关性：ν=(R)E[x]-\'\'E[√x] \'E[x]（73）ν=\'E[x]-\'\'E[√x] \'E[x]ρ=\'E[√xx]-\'\'E[√x] E类[√x] q（(R)E【x】-\'\'E[√x] ）（(R)E[x]-\'\'E[√x] ）在这些表达式中，定价度量‘E’与国内货币相关联，与定价度量‘E’相关：E[a】=‘E[ax】’E[x]（74）。如果两个有贡献的外汇利率具有流动性的期权市场，则波动率ν和ν可以从期权价格中复制，使相关性ρtoparametrise在交叉汇率上衡量期权价格的界限。3.5掉期期权和Caplets另一个来自利率市场的例子，考虑将掉期利率分解为其组成的远期利率。

颠倒掉期和远期利率之间的关系，会导致远期启动资本的价格有界，以掉期利率的分布表示。n期掉期利率SNI被分解为加权平均正向利率rm，m=1，n： sn=nXm=1pmδmPnl=1plδlrm（75）在该表达式中，pn是第n个付款日期的贴现系数，δ是第n个应计期间的日数分数，为简单起见，假设固定和浮动期间的日数约定相同。此加权平均值中的权重为正，总和为1。在下面的讨论中，假设这些权重是确定性的，这一近似值不仅可以将掉期利率表示为远期利率的线性组合，还可以避免与年金相关的定价措施的差异带来的复杂性。这些考虑虽然重要，但超出了本文的范围。颠倒上述关系，远期利率RN按照掉期利率sn和sn进行分解-1： rn=（λn+1）sn- λnsn-1（76），重量由λn=Pn给出-1m=1pmδmpnδn（77）篮子期权价格界限的一般结果可应用于此分解。考虑具有打击knonnth向前速率rn的向前启动盖。

caplet的支付按Swap rates sn和sn分解-1： 注册护士- kn=（λn+1）sn- λnsn-1.- kn（78）在本应用中，矩阵Q和∧是三维矩阵，由以下公式给出：Q=fnpfn-1fnqn-1 npfn（1- νn）pfn-1fnqn-1个nfn-1pfn-1(1 - νn-1） pfn（1- νn）pfn-1(1 - νn-1) 1(79)Λ =λn+1 0 00-λn0 0-千牛这里，fn是第n次掉期利率的价格，νnis是第n次掉期利率平方根的标准化方差：fn=E【sn】（80）νn=E【sn】- E类[√sn]E[sn]和交叉项qm由第m次和第n次掉期利率平方根之间的相关性ρmn确定：ρmn=E[√smsn]- E类[√sm]E[√sn]p（E[sm]- E类[√sm）（E[序号]- E类[√sn）（81）by:qmn=p（1- νm）（1- νn）+ρmn√νmνn（82）价格为正，fn>0，根方差在0范围内≤ νn≤ 1，相关性在范围内-1.≤ ρmn≤ 1、价格和根方差由掉期和掉期期权市场确定，将相关性作为远期启动caplet价格的模型参数。0.0%0.5%1.0%1.5%2.0%2.5%3.0%~2%0%2%4%6%正常挥发度strikeimpled Normal volatility0.9750.980.9850.990.995100.20.40.60.81-2%0%2%4%6%累计密度strikeimpled累计密度0.9750.980.9850.990.9951图6：前向启动caplet的价格界限。本例考虑了到期后10个期限到期的远期利率期权，相当于10期和9期掉期之间价差的期权。贴现率固定为1%，两种掉期利率均为2%，掉期利率的根方差与Black-Scholes模型产生的波动率为40%的根方差相匹配。掉期利率没有变化，掉期利率之间的相关性在0.975和1之间变化。

隐含累积密度描述了具有连续支撑的分布，在走向0%时具有离散概率。0.0%0.5%1.0%1.5%2.0%2.5%3.0%~2%0%2%4%6%正常挥发度strikeimpled Normal volatility0.9750.980.9850.990.995100.20.40.60.81-2%0%2%4%6%累计密度strikeimpled累计密度0.9750.980.9850.990.9951图7：前向启动caplet的价格界限。本例考虑了到期后10个期限到期的远期利率期权，相当于10期和9期掉期之间价差的期权。贴现率固定为1%，两种掉期利率均为2%，掉期利率的根方差与Black Scholes模型产生的波动率为40%的根方差相匹配。最大偏移应用于掉期利率，掉期利率之间的相关性在0.975和1之间变化。隐含累积密度描述了一个具有连续支持的分布，而没有前面示例中的离散概率。0.0%0.5%1.0%1.5%2.0%2.5%0%1%2%3%4%5%正常挥发物strikeimpled Normal volatility00.0050.010.020.040.0800.050.10.150.2-3%-2%-1%0%1%累计密度strikeimpled Cumulative density00.0050.010.0150.020.025图8：前向启动caplet的价格界限。本例考虑了到期后10个期限到期的远期利率期权，相当于10期和9期掉期之间价差的期权。贴现率固定为1%，两种掉期利率均为2%，掉期利率的根方差与Black Scholes模型产生的波动率为40%的根方差相匹配。相关性固定在0.995，偏移量也不同。第一张图显示了移位如何控制隐含正常波动率的偏差。第二张图显示了隐含累积性的尾部，以及移位如何移动离散概率的位置。

此删除标记了矩阵P从具有两个正IgenValue切换为一个的点。在此应用中，存在一个隐含的假设，即掉期利率为正，这是无法保证的。forwardrate的经济前景为rn≥ -1/δn，因此掉期利率的经济风险为sn≥ -1/(R)δn其中计日分数δ是计日分数δm的加权平均值，m=1，n： “△n=nXm=1pmPnl=1plδm（83）正性可以通过改变掉期利率和按经济流量的比例α执行恢复到远期利率分解中的条款：sn7→ sn+α/(R)δn（84）kn7→ kn+α/δ在上述矩阵Q和∧的表达式中应用这些替换，会根据负利率的掉期利率生成一个上界。此构造中的附加模型参数是shift，它的值在0范围内≤ α ≤ 1.4获得期权价格边界将GNS构造应用于定价度量会生成期权价格的上限，并且随着期权组合的创造性分解，这会根据从度量中提取的部分信息产生不同范围的边界。然而，不能保证从这个构造中得到的边界是有用的，尽管上一节的例子表明情况就是这样。要问的一个问题是，是否有一个满足约束条件的度量可以达到期权价格的界限，在这一陈述中有两种变化：局部实现和全局实现。对于由资产an生成的投资组合期权，其界限来自元素Qmn的矩阵。投资组合数量由标量λn提供，GNS构造生成期权价格边界p[λ]作为这些数量的函数。

对于这种结构，在当地和全球范围内实现的界限在以下定义中表示。本地实现：对于每个投资组合λ，有一个满足约束条件的无套利定价模型Eλ：Eλ[√aman]=Qmn（85），期权价格由：Eλ[（Xnλnan）+]=p[λ]（86）全球达成：有一个满足约束条件的无套利定价模型：E[√aman]=Qmn（87），对于每个投资组合λ，期权价格由：E[（Xnλnan）+]=p[λ]（88）给出。本文的其余部分研究了两种资产的简单情况下的局部和全局实现。考虑将资产a交换为资产1的kunits的选项。GNS构造为所有定价模型的期权价格提供了一个上界E，该定价模型被约束为与价格f androot方差ν：E[（a- k） +]≤（f）- k） +p（f- k） +4fkν（89），其中：f=E[a]（90）ν=E[a]- E类[√a] E【a】这一界限是通过二项模型实现的，尽管其配置取决于走向，这表明了局部实现。Carr-Madanreplication公式表明，界限所隐含的度量值与所需的力矩不匹配——没有一个度量值可以生成所有打击的界限——因此界限无法全局实现。4.1局部实现在二项式模型中，资产a具有二项式光谱规范【a】={a-, a+}R+价格：E[a]=a-sin[χ]+a+cos[χ]（91），其中角度χ在0范围内≤ χ ≤ π/2生成与1相加的正权重。通过为0范围内的角度θ指定ν=cos[θ]，将校准问题转化为三角函数≤ θ ≤ π/2.

校准价格和根方差ν，然后得到约束：pf sin[θ]=√一-sin[χ]+√a+cos[χ]（92）f=a-sin[χ]+a+cos[χ]对于给定角度χ，假设不等于边缘情况0或π/2，可以反转这些关系，以确定具有特定力矩的资产。通过以下方式解决校准对价格施加的约束：a-= 角β在0范围内时，fcos[β]sin[χ]（93）a+=fsin[β]cos[χ]≤ β ≤ π/2. 然后，针对角度β：sin[θ]=sin[χ+β]（94）求解校准对根方差施加的约束。该方程有两种解。第一个解β=θ- 对于0<χ范围内的角度χ，χ有效≤ θ、 导致00.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3对数正态波动率隐含对数正态波动率1.4边界00.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3对数正态波动率隐含对数正态波动率0.40.60.811.21.41.61.822.22.42.6边界图9：二项模型中的最大香草期权价格，与上限进行比较。在这些图中，资产价格固定为1，根方差固定为0.01。第一幅图显示了二项模型的隐含对数正态波动率，该模型生成了在行使1.4时可获得的最大期权价格。第二张图包括生成最大期权价格的二项模型，该价格可以在0.4到2.6之间的删除范围内获得。最优二项式模型取决于罢工，所有这些二项式模型的最大值与上限相匹配。资产：a-= fcos[θ-χ] sin[χ]（95）a+=fsin[θ-χ] cos[χ]此解决方案满足-≥ a+。第二个解β=π- θ - χ对π/2范围内的角χ有效-θ ≤ χ<π/2，得出资产的以下频谱：a-= fcos[θ+χ]sin[χ]（96）a+=fsin[θ+χ]cos[χ]此解满足a-≤ a+。

在转换χ7下，两个解相互转换→ π/2 - χ切换基础状态。在不丧失一般性的情况下，将重点放在第二个解决方案上，期权价格在满足以下条件的角度处最大化：tan[2χ]=-f sin[2θ]f cos[2θ]+k（97）在这个角度，期权的价格由最高价格E[（a）]给出- k） +]=（f- k） +p（f- k） +4fkν（98）此角度的二项式模型生成定价模型的最高期权价格，该定价模型根据资产价格和根方差进行校准。这并不完全令人惊讶，因为上确界问题本质上是一个线性规划问题，在有两个约束的情况下，解决方案将简化为仅包含两个状态的域。然而，请注意，规定最佳二项式模型的角度取决于走向。没有一个二项式模型可以达到所有罢工的界限。4.2全局达成期权价格的界限是递减的，并且作为打击的函数是凸的，因此代表了一种无套利的定价措施。对于任何单独的行权，界限提供了定价模型中与资产价格和根方差匹配的最大可能期权价格。这并不意味着边界本身定义了一个与资产价格和根方差相匹配的定价模型。