期权价格的量子界限

该子空间在乘积下是封闭的，形成证券的asubalgebra，GNS构造表示Hilbert空间上有界算子的子代数。定理4（Gelfand-Naimark-Segal构造）对于无套利定价模型E，有一个表示：a∈ 五、∞7.→^a∈ Hilbert空间上作为有界算子的证券的B[H]（19）H=V/N，使得定价模型是表示的纯状态：E[a]=h1 | a | 1i（20），对于证券a∈ 五、∞.此结构中的表示首先定义在稠密子空间V/N上 H通过左乘法：^a | bi=| abi（21）表示证券a∈ 五、∞和b∈ 五、 并通过连续性扩展到H，其中范数kak的完整性∞确保可以进行此扩展。启发式地，左乘法算子是关于Dirac delta函数基的对角算子。只有当状态空间是离散的时，这种识别才严格有效，但类比可以帮助理解。因此，证券在aHilbert空间上用对角算子识别，证券的价格由算子的真空期望给出。通过考虑Hilbert空间上alloperators的扩展域内的优化问题，可以确定对受限应用而言是超优的解决方案。这可用于推导期权价格的边界。2.2超优行使策略对于定义为正证券的资产和数量λn（可能是正标量或负标量），考虑接收投资组合λn的选项。选项的行使由箭头Debreu security e指示，受限制，因此它只接受0或1的值，规格[e] {0, 1}.

然后，期权价格为：p[e]=e[（Xnλnan）e]（22）当期权价格在所有可能的行使策略中最大化时，就会发生最优行使。在这种情况下，最佳练习对应于指标=（Pnλnan≥ 0），期权价格：p=E[（Xnλnan）+]（23）期权价格是一系列证券的最高价格，每个证券都由其行使策略确定。如果没有关于该措施的其他信息，则无法对该声明进行重新定义。然而，对于只需要从定价模型中获得部分信息的期权，可以获得超优价格。使用与定价模型相关的GNS构造，期权价格表示为：p[e]=Xnλnh√安|^e|√ani（24）最优期权价格是该表达式在左乘算子子代数上的投影上的上确界。这是以表达式的上下限为界的：p[E]=Xnλnh√an | E|√ani（25）在所有算子代数中的投影E上。这种观测的美妙之处在于，对所有投影的上确界的评估基本上是几何的，只需要对陪集所跨越的有限维子空间上的投影进行优化|√ani与资产的平方根相关。2.3由前一个参数确定的上确界的特征值解，考虑aHilbert空间H上的以下问题：给定向量| uni和标量λn，确定所有投影E上的赋值pnλnhun | E | uni的上确界。该上确界在以下定理中确定。定理5设H为希尔伯特空间。对于向量| uni∈ H和标量λn∈ R、 用矩阵元素定义有限维矩阵Q和∧：Qmn=hum | uni（26）∧mn=λnδmn，对于分解Q=S*正半限定矩阵Q的S根据矩阵S，定义自伴矩阵P=S∧S*.

那么估值的上确界：Xnλnhun | E | uni（27）在所有投影E上∈ B[H]由矩阵P的正特征值之和给出。证据目的是确定上确界：p=sup{Xnλnhun | E | uni：（28）E∈ B【H】，E*= E、 规范【E】 {0，1}}通过分解Hilbert空间H=H，简化了问题⊕H、 其中，H中的向量及其正交补跨越有限维希尔伯特空间。估值仅取决于投影到子空间的限制：Xnλnhun | E | uni=Xnλnhun | E | uni（29），其中投影相对于希尔伯特空间的分解进行分解：E=EFF公司*E（30）对于操作员E∈ B【H】，E∈ B【H】和F∈ B【H，H】。左上算子是自伴的，但它不一定是投影。相反，投影条件E=E转换为属性：E（1- E） =FF*（31）来自OFF-对角线运算符F的干扰阻止Efrom成为投影。操作员FF*是正半定义，因此投影属性包含该规范 [0，1]干扰产生特征值介于0和1之间的可能性。受限投影E∈ B[H]被对角化为：E=Xiωi | ziihzi |（32），其中| zii∈ Hare对角化正交基特征向量与特征值ωi∈ R满足0≤ ωi≤ 使用此对角化，赋值为：Xnλnhun | E | uni=Xiωihzi | P | zii（33），其中自伴算子P∈ B[H]定义为：P=Xnλn | unihun |（34）在共享特征向量| zii的受限投影中，通过使用对角元素hzi | P | zii为正的特征向量投影到Hspannedby子空间来获得最大值。上确界的表达式为：p=sup{Xihzi | p | zii+：（35）| zii∈ Horthonormal基}赋值Pihzi | P | zii+是算子P的正对角元素之和。

对Schur-Horn定理的直接诉求【20，11】表明，这是以P的正特征值之和为界的。要了解这一点，首先假设对角元素hzi | P | zii和P的特征值Pi按非递增顺序排列，但不失一般性。舒尔-霍恩定理指出：jXi=1hzi | P | zii≤对于所有j，jXi=1pi（36）。取j上的最大值，首先在右边，然后在左边，表明：maxj[jXi=1hzi | P | zii]≤ maxj【jXi=1pi】（37）根据观察得出的结果，该表达式中的最大值由其各自序列中的正元素之和给出，因此：Xihzi | P | zii+≤Xip+i（38）P的正特征值之和限制了P的正对角元素之和，因此提供了上确界的上界。该界是通过使用具有正特征值的P的特征向量对Hspanned的子空间的投影来获得的。然后，估值的上确界最终与P的正特征值之和确定：P=Xip+i（39）。因此，上确界与有限维特征值问题的解相关，并作为与向量所跨越的子空间的维数相匹配的有序多项式的正根之和获得。通过在正交基| zii中表示问题，可以计算特征值∈ H对于子空间。

该算法试图从输入矩阵Q=[Qmn]构造矩阵P=[Pij]，其中矩阵元素为：Pij=hzi | P | zji（40）Qmn=hum | unit解决方案需要矩阵∧=[mn]和S=[Sin]，矩阵元素为∧mn=λnδmn（41）Sin=hzi | unit这些矩阵之间的基本关系为：P=S∧S*（42）Q=S*解决特征值问题的程序现在很清楚了：首先将正半有限矩阵Q分解为S形式*S、 然后求自伴矩阵的特征值P=S∧S*. 矩阵Q的任何此类分解都会产生相同的结果，因为特征值问题不受酉变换的影响。因此，解只依赖于标量λ和内积hum | uni，而特征值问题的维数是由这些内积给出元素的矩阵的维数。3期权价格边界的应用GNS构造确定证券的内积，这将上一节的结果与期权价格联系起来。定理6对于无套利定价模型E，资产A和数量λn，定义了有限维矩阵Q和∧，矩阵元素为：Qmn=E[√aman]（43）∧mn=λnδmn对于a分解Q=S*对于正半有限矩阵Q，根据矩阵S，定义自伴矩阵P=S∧S*. 然后期权估值：E[（Xnλnan）+]（44）在上面以矩阵P的正特征值之和为界。证据GNS构造将此语句翻译为前面定理的语言。然后通过观察期权估值的形式完成证明：Xnλnh√安|^e|√ani（45），其中投影^e是与数字证券e相关联的左乘法运算符，表示期权的行使策略。

因此，期权估值在所有投影上受该表达式的上确界的限制，根据前面的定理，该上确界是矩阵P的正特征值之和。矩阵P由对角矩阵∧和对称矩阵Q构成，对角矩阵∧的对角元素是投资组合的数量，对称矩阵Q的元素是矩E[√阿曼]的措施。Q的对角线元素是资产的价格，通常来源于可用的市场数据。对角线元素引入了额外的波动性和相关性依赖，为边界提供了模型参数化。该定理生成了一篮子期权价格的界。在此应用中，矩阵Q和∧由以下公式给出：Q=√fmfnqmn(46)Λ =λnδmn这里，fn是第n项资产的价格，qmni是第m项和第n项资产的归一化交叉项：fn=E[an]（47）qmn=E[√交叉项由资产的波动性及其相关性决定，可以表示为：qmn=p（1- νm）（1- νn）+ρmn√νmνn（48），其中ν是第n个资产平方根的归一化方差，ρmn是第m个和第n个资产平方根之间的相关性：νn=E[an]- E类[√an]E[an]（49）ρmn=E[√阿曼]- E类[√am]E[√an]p（E[am]- E类[√上午]（E[安]- E类[√an]）价格为正，fn>0，根方差在0范围内≤ νn≤1，相关性在范围内-1.≤ ρmn≤ 这就完成了模型的参数化。这个结果作为一个有趣的应用程序独立存在，为篮子期权的价格提供了直观的参数化。对结果进行了巧妙的解释，将其适用范围扩展到篮子期权之外，从而形成了一系列重要的上界，随着信息的吸收，这些上界会收敛到准确的价格。

关键是要认识到，组合分解为组成资产可以任意重新定义，每一个这样的分解都会产生一个新的上限。以这种方式获得的结果范围仅限于在解构投资组合时运用的创造力。将普通的看涨期权和看跌期权划分为unityconstructed，可以为波动率微笑生成一个收敛的上界族。利率产品的另一个应用是将掉期利率分解为组成远期利率，从而在掉期期权和Caplet的价格之间建立联系。下面将探讨这些应用程序。3.1常规选项使用标准矩阵方法解决上述特征值问题。在两个资产的情况下，这将简化为具有明确解的二次方程。对于资产a和正向行使k，期权的价格将获得投资组合a- k的上边界为：E[（a- k） +]≤ p+-+ p++（50），其中p-和p+是由对角矩阵∧构造的矩阵p的特征值，其对角元素取决于走向，以及对称矩阵Q的特征值，其元素由矩E生成[√a] 和量度的E【a】。矩阵Q的对角线元素是按市价计价的资产价格。

反对角线元素在边界中引入了额外的波动性依赖关系，由单个模型参数控制。结果用于生成普通期权价格的界限。在此应用中，矩阵Q和∧由以下公式给出：Q=fpf（1- ν） pf（1- ν) 1(51)Λ =1 00 -k这里，f是资产的价格，ν是资产平方根的标准化方差：f=E[a]（52）ν=E[a]- E类[√a] 价格为正，f>0，根方差在0范围内≤ ν ≤ 1.00.20.40.60.810 0.5 1.5 2.5 3对数正态波动率简化对数正态波动率0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3累积密度删除累积密度00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1图1：香草期权价格的上限。在这些图中，资产价格固定为1，根方差取值范围为0到0.1。第一幅图表示了隐含对数正态波动率的界限，该波动率在Black-Scholes模型中再现了期权价格。第二幅图显示了期权价格所隐含的累积密度函数，该函数是通过区分与行使相关的界限而生成的。

密度结合了走向0处的点密度和根方差给出的概率，以及上半直线上支持的连续密度。将矩阵Q表示为S*S、 其中S是使用Cholesky分解生成的下三角矩阵：S=√fν0pf（1- ν) 1（53）上确界的特征值解来自组合S∧S定义的矩阵P*具有下三角矩阵S的对角矩阵∧：P=fνfpν（1- ν） fpν（1- ν） f（1- ν) -k（54）矩阵p的特征值p是由行列式条件det[p]导出的二次方程的解- p] =0:p- （f）- k） p- f kν=0（55）这个二次方程有两个解，但只有一个是正的。该特征值提供了期权价格的界限：E[（a- k） +]≤（f）- k） +p（f- k） +4fkν（56）界限仅从度量中提取两个矩，即价格和根方差，并应用于所有根据这些矩校准的定价模型。3.2重新定义期权价格边界通过使用单位分割来分解期权支付来重新定义期权价格的边界，从而产生一个边界，该边界受一组有限的行权期权价格的约束。考虑分区资产un[a]，满足属性un[a]≥ 0且PNUN[a]=1。使用此分区，资产a和罢工k之间的价差表示为投资组合：a- k=Xnaun【a】- kXnun[a]（57）这种分解从矩阵中生成期权价格的一个界，该矩阵的对角元素是按资产和罢工比例划分的资产的价格。界限的效用则取决于是否可以为分区所隐含的反对角线矩找到直观的参数化。一个简单的示例通过将上半行分解为子集Un来构造分区 R+令人满意∪nUn=R+和Um∩ Un= 表格6=n。

分区包括子集合所示资产上的数字选项：un[a]=（a∈ Un）（58），价格为：dn=E[（a∈ Un）]（59）00.20.40.60.810 0.5 1.5 2 2.5 3分割删除顺时针平面分割图2：重新定义普通期权价格的上限。该图显示了由5个均匀分布在0.5到2.5之间的走向构成的分段FL配分函数。矩阵Q和∧都分为四个象限，每个象限包含一个对角矩阵：Q=fndnδmnpfn（1- νn）dnδmnpfn（1- νn）dnδmndnδmn(60)Λ =δmn0-kδmn其中fn是资产的价格，ν是资产平方根的标准化方差，条件是资产在子集Un中：fn=En【a】（61）νn=En【a】- 恩[√a] En【a】在这些定义中，度量值ENI是以（a）为条件的度量值E∈ Un），定义人：En【b】=E【b（a∈ Un）]E[（a∈ Un）]（62）对于证券b。数字价格满足0≤ dn≤ 1，当条件价格为正时，fn>0，条件根方差的范围为00.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3对数正态波动率strikeimpled lognormal volatilityBlack-ScholesBound6 Intervals30 Intervals00.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5 3累积密度删除累积密度black-ScholesBound6 intervals图3：重新定义香草期权价格的上限。在这些图中，上界的校准矩是从平均值为1且波动率为40%的Black-Scholesmodel中提取的。所示的三个上界分别对应于上半直线的三个不同细分，间隔分别为1、6和30。在6个层段的情况下，边界为零，5个显著分布在0.5到2.5之间，且不完整。