期权价格的量子界限

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英文标题：
《Quantum Bounds for Option Prices》
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作者：
Paul McCloud
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Option pricing is the most elemental challenge of mathematical finance. Knowledge of the prices of options at every strike is equivalent to knowing the entire pricing distribution for a security, as derivatives contingent on the security can be replicated using options. The available data may be insufficient to determine this distribution precisely, however, and the question arises: What are the bounds for the option price at a specified strike, given the market-implied constraints?   Positivity of the price map imposed by the principle of no-arbitrage is here utilised, via the Gelfand-Naimark-Segal construction, to transform the problem into the domain of operator algebras. Optimisation in this larger context is essentially geometric, and the outcome is simultaneously super-optimal for all commutative subalgebras.   This generates an upper bound for the price of a basket option. With innovative decomposition of the assets in the basket, the result is used to create converging families of price bounds for vanilla options, interpolate the volatility smile, price options on cross FX rates, and analyse the relationships between swaption and caplet prices.
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中文摘要：
期权定价是数学金融学最基本的挑战。了解每次行权时期权的价格相当于了解证券的整个定价分布，因为依赖于证券的衍生品可以使用期权进行复制。然而，现有的数据可能不足以精确地确定这种分布，因此产生了一个问题：考虑到市场隐含的约束，在特定的行使中，期权价格的界限是什么？这里，通过Gelfand-Naimark-Segal构造，利用无套利原则施加的价格图的正性，将问题转化为算子代数域。在这个更大的背景下，优化本质上是几何优化，并且对于所有交换子代数，结果同时是超最优的。这将生成一篮子期权价格的上限。通过对篮子中资产的创新分解，结果用于创建普通期权价格边界的收敛族，插值波动率微笑，交叉外汇利率上的价格期权，并分析互换期权和caplet价格之间的关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Operator Algebras        算子代数
分类描述：Algebras of operators on Hilbert space, C^*-algebras, von Neumann algebras, non-commutative geometry
Hilbert空间上算子的代数，C^*-代数，von Neumann代数，非交换几何
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PDF下载：
--> Quantum_Bounds_for_Option_Prices.pdf (1.3 MB)

2022-6-2 17:25:47 上传

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关键词：Mathematical distribution Quantitative Insufficient SIMULTANEOUS

期权价格的量子界限保罗·麦克劳德伦敦大学学院数学系2018年5月3日摘要期权定价是数学金融最基本的挑战。了解每次行权时期权的价格相当于了解证券的整个定价分布，因为可以使用期权复制证券上的衍生内容。然而，可用数据可能不足以精确确定这种分布，因此产生了一个问题：考虑到市场隐含的约束，特定行使的期权价格的界限是什么？通过Gelfand-Naimark-Segal构造，利用无套利原则施加的价格图的正性，将问题转化为算子代数域。在这个更大的背景下，优化本质上是几何优化，结果同时对所有交换子代数都是超优的。这将生成一篮子期权价格的上限。通过对篮子中资产的创新分解，结果可用于创建普通期权价格边界的聚合族，插入波动率微笑，交叉外汇利率上的价格期权，并分析互换期权和caplet价格之间的关系。关键词：期权定价；波动性微笑；外汇期权；Swaptions和Caplet；无套利原则；量子概率；算子代数；Gelfand Naimark Segal建筑公司。作者电子邮件：p。mccloud@ucl.ac.ukAvailablearXiv上：arXiv。org/abs/1712.01385可在SSRN上获得：SSRN。com/abstract=30825611简介不完全市场为整个证券领域的一个子集提供了价格，它限制但不确定按市值计价子空间以外的证券价格。

在某些情况下，可用数据对证券的可能价格施加了独立于模型的限制，这些限制经过了有效的培训，可以为定价提供有用的指导。这些限制是满足市场约束的无套利定价模型集的极值估值。在本文中，期权价格的边界族是从标的资产的价格分布中提取的有限维协方差矩阵构建的。该方法允许根据市场事件将资产任意分解为子资产，随着更多的市场信息被纳入，该属性被用来重新定义界限。然后，期权价格界限被用来分析投资组合期权、Black-Scholes隐含波动率微笑的插值、外汇市场交叉汇率期权的定价以及互换期权和caplet价格之间的关系等问题。证券期权是价格计量的丰富信息来源，因为证券的边际分布完全由普通期权的价格决定。对于基础证券a，PartsG的集成生成了派生证券φ[a]在vanilla putoptions（k）方面的扩展- a） +和看涨期权（a- k） +：φ[a]=φ[f]+φ[f]（a- f） +Zfk=-∞φ【k】（k- a） +dk（1）+Z∞k=fφ[k]（a- k） +dk将f=E[a]设置为基础证券的价格，并在定价措施中考虑预期，得出衍生证券价格的Carr-Madan复制公式[6]：E[φ[a]=φ[f]+Zfk=-∞φ[k]E[（k- a） +]dk（2）+Z∞k=fφ[k]E[（a- k） +]dk如果衍生证券的价格在市场上被观察到，则该公式限制了基础证券上普通期权的价格。

面临的挑战是，根据衍生证券有限集合的市场价格施加的约束，推导出普通期权价格的界限。随着更多的市场信息被包括在内，这个界限应该收敛到香草选项的唯一价格。这里考虑的一般问题是确定一篮子期权价格的界限：E[（Xnλnan）+]（3）对于定义为正证券的资产an，以及数量λn，可能为正或负。本文的主要理论结果从矩矩阵导出了这些选项的边界：E[√阿曼]（4）摘自价格分布。该矩阵的对角线元素是资产的价格，其余元素由资产平方根的波动率和相关性参数化。这为边界提供了方便直观的参数化。该方法利用Gelfand-NaimarkSegal（GNS）构造[9，22]，将问题转化为涉及算子代数的问题，镜像技术应用于量子系统的研究。算子代数理论的这一基本结果用于生成证券a和b的内积：ha | bi=E[ab]（5），从而定义证券的Hilbert空间结构。除了技术细节外，验证这种构造所需的唯一属性是价格图的线性和积极性，这些属性转化为金融应用中的可复制性和无套利的概念。

证券在希尔伯特空间上表示为运算符–证券a表示为运算符^a，其对证券的作用由：^a | bi=| abi（6）通过逐点乘法确定，此表示将证券与希尔伯特空间上的对角运算符进行识别。在所有运营商的更广泛背景下，优化本质上是几何优化，允许简单推导期权价格的界限。表示经典概率中运动的数字函数被推广为量子概率中的投影，中心理论结果是对希尔伯特空间上投影的观察。定理1对于向量| uni和标量λn，赋值的上确界：所有投影E上的Xnλnhun | E | uni（7）由内积hum | uni和标量λn构造的有限维自伴矩阵P的正特征值之和给出。从实用角度来看，该定理的重要元素是矩阵P的构造，这是standardmatrix方法的一个简单应用。

GNS构造将此定理转化为无套利定价模型中期权的以下结果。定理2对于资产和数量λn，期权估值：E[（Xnλnan）+]（8）由估值E构造的有限维自伴矩阵P的正特征值之和限定[√aman]和数量λn。利用资产的创造性分解，通过从市场中提取更多信息，生成单调收敛于市场隐含文件的波动微笑族，可以任意定义该定理的界。这种方法仅依赖于从证券到价格的映射的线性和正性，完全符合可复制性和无套利的经济原则，因此GelfandNaimark（9）和Segal（22）的原著可以被视为数学金融发展的早期成果。这些结果本身来自Born、Jordan和Heisenberg【4、3、10】开创的量子力学矩阵方法，通过在冯·诺依曼【17、18】和其他人的工作中的形式化，现在已成为算子代数研究的主要内容（见标准文本【8、12、13】）。与GNS构造中封装的无套利原则的精确对应使算子代数成为数学金融的自然平台。这种发展通常是用经典概率的惯用语言来描述的，将阿罗-德布鲁证券（Arrow-Debreu securities）[1]作为市场的基础。

虽然这种方法在数学金融领域基本上是毋庸置疑的，但正如凯恩斯（Keynes）[14]所言，它在不确定性建模中的有效性一直是更广泛经济学界争论的主题。让我解释一下，我所说的“不确定”知识，并不是指麦里屯区分已知的肯定和可能的。关于这些问题，没有形成任何可计算概率的科学依据。我们根本不知道。然而，行动和决策的必要性迫使我们这些务实的人尽最大努力忽视这一尴尬的事实，如果我们身后有一个良好的边沁计算，对一系列潜在的优势和劣势进行计算，每一个都乘以其适当的概率，等待总结，那么我们就应该如法炮制。约翰·凯恩斯（John M.Keynes），1937正如沙克（Shackle）[23]等经济学家所观察到的那样，经典概率的转换是有问题的，因为它假设阿罗·德布鲁证券（Arrow Debreu securities）表示的结果范围是先验的，这一要求与概率建模的目的有着奇怪的出入。我们认为，不确定性不仅仅是决策者头脑中存在的复数和对立（相互排斥）的假设，他没有足够的认知依据来选择。正如我们所说的，决策是创造性的，并且能够通过不确定性给不可预测假设的创造带来的自由来实现。决策不是在有固定规则和已知的任何动作或动作序列可能发生的次数列表的游戏中，在限定和规定的动作之间进行选择。无法保证任何人都能事先说出决策者将对其可用的任何特定行为接受何种假设。决策是思考，而不仅仅是确定的反应。乔治L.S。

Shackle，1969Shackle正确地指出，“然而，这种语言不仅仅是一个容器，而是一个模型”[24]，它排除了意外结果的可能性，尽管Shackle试图纠正经典概率的数学方法是不够的。解决方案是量子概率。在Gelfand、Naimarkand Segal的建设中，Arrow Debreu securities表现为通勤预测。算子代数理论的一个基本结果表明，由这些投影生成的交换代数与测度空间上的有界可测函数酉同构[19，8，12]。从这个角度来看，状态空间是市场的一种新兴属性，随着更多潜在结果的发现，状态空间自然会演变。然而，更重要的是，所有算子的代数都包含与经济的每一种可能配置相关的交换子代数。对于以交换子代数表示的所有市场，全算子代数中的优化同时是超优的，并且分析过程无需对经济的性质做出进一步假设。虽然期权价格的最终界限可以使用纯经典方法确定，但使用量子方法推导期权价格的容易程度值得注意，并表明了进一步有趣的应用。该方法从证券形成交换代数的要求中解放出来，形成了一个数学金融框架，可以应用于非交换几何[15，16]，具有经典变量所不具备的新特征。2期权价格的界限在本文中，证券由实值函数确定，定价模型由经济状态空间的实值测度确定。

这些识别基于以下核心假设：o证券a完全通过指定每个州x的支付a【x】来确定。o定价模型z完全通过指定每个州x子集的Arrow Debreu证券的价格z【x】来确定。遵循可复制性原则，定价模型z中证券a的价格由积分给出：E[a]=Zxz[dx]a[x]（9）。禁止套利则要求定价措施为正，因此，在所有经济状态下支付为正的证券具有正价格。2.1 Gelfand-Naimark-Segal构造与有限正测度相关的定价模型的正性使Gelfand-Naimark-Segal或GNS能够在证券的V空间上构造。GNS建设的内容体现在以下声明中：对于无障碍定价模型，定义为：ha | bi=E[a*b] （10）在证券a、b上提供内部产品∈ 五、 安全性a∈ 然后，V通过逐点乘法表示为对角运算符：^a：| bi∈ 第7节→ |abi公司∈ V（11）这一定义的明显简单性掩盖了结构的技术挑战，它需要排除具有固定价格的证券，并考虑到几乎所有地方的收益都为零的证券所产生的退化。这里概述了算子代数理论的标准结果，以证明其完备性。

了解以下财务应用程序不需要详细信息。基本结果是Cauchy-Schwarz不等式[7，5，21]，正性意味着定价。定理3（Cauchy-Schwarz不等式）无套利定价模型满足不等式：| E[a*b]|≤ E【a】*a] E【b】*b] （12）证券a、b∈ 五、 定义以下证券子空间：N={a∈ V:kak=0}（13）V={a∈ V:kak<∞}式中：kak=pE[a*a] （14）担保a∈ 五、 第一个子空间包括几乎处处为零的证券，第二个子空间包括相对于度量的平方可积证券。定价模型用于在商空间V/N上构造内积。表示为| ai≡ a+n包含安全性a的陪集∈ 五、 两个陪集的内积| ai，| bi∈ V/Nis定义：ha | bi=E[a*b] （15）Cauchy-Schwarz不等式的重复应用表明，这是商空间上定义良好的内积。商空间的拓扑完成是希尔伯特空间：H=V/N（16）定义证券的以下子空间：V∞= {a∈ V：kak∞< ∞} （17） 地点：kak∞= sup{pE[b*一*ab]/E[b*b] ：b∈ V\\N}（18）用于安全a∈ 五、