风险分摊：双重故事

观察功率概率加权函数满足≥ 0，因此为h≤ 0.in m次对偶随机优势序（m=2，3，…）ifE【A】≤ E【B】，E【min（A，A）】≤ E[最小值（B，B）]，E[最小值（A，A，…，Am-1)] ≤ E[最小值（B，B，…，Bm-1） ]和MF-1A级≤mF公司-1B。mthorder双重随机优势偏好，第一个（m- 1） 众所周知，双动量序列与DT内概率权重函数的MTH导数符号有关（Muliere和Scarsini（1989）），就像原始随机优势序与EU下效用函数的连续导数有关（Ekern（1980））。有关对偶（逆）随机优势的更多详细信息，请参阅。g、 De La Cal和C'arcamo（2010）及其引用。在EU下，效用函数的mthderivative的符号可以通过比较简单的嵌套彩票对与相等（m- 1） 原始矩，通过危害分摊获得（Eeckhoudt和Schlesinger（2006））。为了解释DT下概率加权函数的mthderivative的符号，我们开发了一个具有相等（m- 1） 双重时刻。2.2说明和直觉众所周知，欧盟和DT在重新评估财富确实减少和平均保留价差的一阶和二阶上达成一致（见Yaari（1986）、Chew、Karni和Safra（1987）、Ro¨ell（1987）和Muliere和Scarsini（1989）），我们开发了一个数字示例来说明它们可能在三阶上发生分歧。这个例子建立了EU和DT可能在第三位出现分歧的原因背后的直觉，并促使对“好坏结合”的故事进行调整，该故事用于解释EU下效用函数连续导数的符号。

虽然已知三阶原始和双重随机优势通常并不一致（见Muliere和Scarsini（1989）及其参考文献），但weillustrate在（原始）风险分摊的背景下阐述了它们的潜在分歧（Eeckhoudt和Schlesinger（2006））。我们从I=[2，1/2；3，1/2]给出的初始抽奖开始，并调用（原始）风险分摊，“添加”独立的零平均风险|εgivenby|ε=[-2, 1/3 ; 1，2/3]，到I的其中一个状态。如果将|ε添加到I的第一个状态（即坏状态），我们将生成a=[0，1/6；3，5/6]给出的彩票a，在这种情况下，类似地，欧盟和DT可能会在第三级达成一致，例如在他们对Menezes、Geiss和Tressler（1980）也考虑的毛泽东（1970）彩票的具体案例的评估中（参见扩展在线版本），或可能不同意，如本节中的示例。而如果将其添加到第二个状态（即良好状态），我们将生成一个彩票Bgiven byB=[1，1/6；2，1/2；4，1/3]。从Eeckhoudt和Schlesinger（2006）中，我们知道，在欧盟下，美国≥ 0意味着B A、 如果DM具有二次效用（因此，“U=0”或“零谨慎”），则A和B之间存在差异。现在考虑DT模型下的DM，二次概率权重函数为：h（p）=αp- βp，α=1+β和0≤ β ≤ 所以h（0）=0，h（1）=1，h是非递减且凹的。该DM具有“零双重审慎性”（“h=0”）。简单计算表明，对于该DM，V【A】≥ 当β>0（因此，h<0）时，V[B]具有严格不等式。因此，欧盟DM和DT DM之间存在意见分歧，前者在零原始审慎下不区分a和B，后者在零双重审慎下偏好a而非B。这两个DM之间的意见分歧可能与a和B的原始矩和双重矩之间的差异有关。

显然，A和B有两个共同的原始矩（均值和方差）。然而，他们的第二个双重时刻是不同的。因此，埃克霍特（Eeckhoudt）和施莱辛格（Schlesinger）（2006）提出的无模型处方以特定的方式支持“善与恶相结合”，从而解释了欧盟模型中U的连续导数的符号；然而，这种无模型原理并不总是对概率加权函数在DTT框架下的连续导数的符号产生类似的解释。因此，如果希望获得与INEU相似的概率权重函数的DT和后续导数的符号，则必须修改初始的无模型偏好。这就是下一节的目的。3无模型偏好为了直观地解释二阶概率权重函数连续导数的符号，我们现在开发出适当的彩票B，通过将坏风险|ε（因为|ε是二阶随机支配的0）添加到I的良好状态，从彩票I中获得，而A的情况正好相反。可以另一种说法是，在A中，坏（|ε）先于好（0）。相反，在B中，好（0）在坏（|ε）之前。请注意，定义h（0）=0。此外，h（1）=1，α- β=1应保持不变。因此，h（p）=（1+β）p- βp，因此h（p）=1+β- 2βp.有h（1）≥ 0（因此h（p）≥ 0 Whenverh（p）≤ 0), β ≤ 1应保持不变。最后，h（p）=-2βso h≤ 如果β为0≥ 总的来说，α=1+β和0≤ β ≤ 事实上，E[分钟（A，A）]=25/12，而E[分钟（B，B）]=23/12。众所周知，美国≤ 0和h≤ 0对应于强烈的风险厌恶（即厌恶保值利差）；参见第2.2节中的参考资料。无模型首选项。

我们将继续断言，DM希望将好与坏结合起来。在Chiu（2005）的等效术语中，DM仍然满足优先关系。他赞成先好后坏。然而，我们对好与坏的定义将基于“挤压”和“反挤压”分布的概念，而不是像Eeckhoudt和Schlesinger（2006）那样将平均风险和确定性相加为零。压缩和反压缩将成为我们方法的主要组成部分。我们开发的挤压和反挤压序列将保留原始力矩的双重速率。当我们用pk变换初始lotteryL=[x，p；…；xi，pi+p；…；xj，pj+p；…；xn，pn]时，会发生压缩≥ 0（明确允许等于零），k=1，n、 p>0，则转换为一个彩票D，比亚迪=[x，p；…；xi，pi；xi+x，p；…；xj- x、 p；xj，pj；xn，pn]，x>0。当x被替换为-x、 也就是说，当L转换为彩票C时，C=[x，p；…；xi- x、 pi；xi，p；xj，p；xj+x，pj；xn，pn]。显然，压缩和反压缩都保持了平均值。请注意这些转换的一般性。根据x和p的具体情况，挤压和反挤压可以解释为结果的变化和概率的变化。在这一节中，我们用例子来解释双重故事。第6节包含一般方法。我们首先回到第二个顺序，考虑初始彩票L（2）givenbyL（2）=[1，1/2；2，1/2]。现在我们通过压缩将彩票L（2）转换为彩票D（2）。具体而言，我们“附加”（状态方面，状态概率匹配）G（2）=[x，p]和B（2）=[-x、 ，到L（2），在这种情况下，我们让p=1/n，n=2，其中x=1/M，M≥ 2、假设好（G（2））先于坏（B（2））。

这种挤压产生了新的彩票D（2），比亚迪（2）=[1+1/M，1/2；2- 1/M，1/2]。当然，大小相同但与挤压相反的L（2）的反挤压，通过将B（2）和G（2）状态连接起来实现，此时坏在好之前，将生成C（2）=[1- 1/M，1/2；2+1/M，1/2]。上标（2）表示“二阶”，更一般地说，上标（m）表示“mthorder”。M的条件保证挤压不会改变结果的初始排名。图1：二阶压缩和反压缩该图绘制了从L（2）到D（2）（左面板）以及从L（2）到C（2）（右面板）的转换，其中x=1，x=2，p=1/2。G（3）和B（3）将用于开发thirdorder的双层建筑。px1+G（2）px2+B（2）+G（3）（a.）第二顺序：好的先于坏的px1+B（2）px2+G（2）+B（3）（B.）第二顺序：坏的先于好的见图1。显然，在强烈的风险厌恶下，D（2） C（2）。这些首选项对应于h≤ DT下0至U≤ 欧盟模式下为0。事实上，压缩和反压缩是Rothschild和Stiglitz（1970）意义上的平均保留收缩和平均保留扩散的特例，DT和EU对平均保留收缩和平均保留扩散的评估是一致的。现在转到第三级，正如第2.2节所预期的那样，DT和欧盟之间的协议可能会崩溃。基于对好与坏的先验关系以及压缩和反压缩的概念，无模型偏好部署如下。我们从byL（3）=[1，1/3；2，1/3；4，1/3]给出的初始彩票L（3）开始。然后我们生成D（3）asD（3）=[1+1/M，1/3；2- 2/M，1/3；4+1/M，1/3]，带M≥ 3.

为了从L（3）中获得D（3），我们首先通过施加挤压来变换L（3）的最差两种状态，附加G（3）=[x，p；-x、 在这种情况下，我们取p=1/n，n=3，x=1/M，M≥ 3、然后在L（3）的最佳两种状态下，我们执行反挤压，通过attachingB（3）=[-x、 p；x、 p]，出于第6节中显而易见的原因，我们不会将更改后的彩票C（2）和D（2）与它们生成的初始彩票L（2）进行比较，尽管这种比较在这种特殊情况下很简单，其中D（2） L（2） C（2）。事实上，在本节中，D（m） L（米） C（m），m=2，3，4，对于具有在符号中交替的高阶导数的概率加权函数的DT DM。为了简洁起见，我们有时会在下面的部分中直接从C（m）构造D（m）。这又是一个例证。一般处理方法见第6节。图2：三阶压缩和反压缩序列该图绘制了从L（3）到D（3）（左面板）以及从L（3）到C（3）（右面板）的转换，其中x=1，x=2，x=4，p=1/3。G（4）和B（4）将用于开发第四级的双层建筑。px1px2px3+G（3）+B（3）+G（4）（a.）第三顺序：良好优先于badpx1px3+B（3）+G（3）+B（4）（B.）第三顺序：不良优先于良好，p=1/n，n=3，x=1/M，M≥ 在从L（3）到d（3）的转换中，好（G（3））先于坏（B（3））。为了使所需的状态数尽可能少，为了便于和节省说明，我们在本插图中考虑只有3个状态的彩票L（3），并且具有相等的发生概率，并且我们在重叠状态（即结果2）下挤压和反挤压，并且挤压量相同。

然而，我们的一般做法并不需要这些限制；详见第6节。类似地，我们生成一个彩票C（3），给定C（3）=[1- 1/M，1/3；2+2/M，1/3；4.- 1/M，1/3]，通过让坏的B（3）先于好的G（3），从最初的彩票L（3）中获得。请参见图2中的图示。如第6节所示，这一结果的精确陈述被推迟，参见定理6.1和6.2-，“双重审慎”（或“h≥ 0”）对应于“D（3） C（3）”。Tversky和Kahneman（1992）以及Prelec（1998）的著名概率加权函数都显示了h≥ 在实验隐含的典型参数集下为0。重要的是要认识到，欧盟最大化者与美国之间没有一致意见≥ C（3）和D（3）之间的比较为0。这基本上是这样的，因为这两个平均值相同的彩票有不同的方差和偏斜。实际上，Var[D（3）]>Var[C（3）]和Skew[D（3）]>Skew[C（3）]。因此，与谨慎型相比，风险厌恶程度相对较高（较低）的欧盟DM更倾向于C（3）（D（3））。虽然我们关于挤压和反挤压的故事可能会对所比较的彩票产生不同的原始矩（尤其是方差），但它保持了第二个对偶矩的相等。事实上，我们可以验证Ehmin（D（3），D（3））i=Ehmin（C（3），C（3））i。这是EU和DT可能从第三阶开始偏离的根本原因。我们注意到，如果我们从初始抽奖开始，由▄L（3）=[1，1/3；2，1/3；3，1/3]给出，那么在转换到相应的▄D（3）和▄C（3）时，方差的相等性将得到保持。在这种情况下，欧盟DM和U≥ 0和带H的DT DM≥ 0会优先选择▄D（3）而不是▄C（3）。

也就是说，欧盟和DT可能（但不必）在第三级出现分歧。为了解释h的四阶导数的符号，我们从byL（4）=[1，1/4；2，1/4；4，1/4；7，1/4]给出的扩展彩票L（4）开始。现在，在L（4）最差的三种状态下，我们进行了三阶描述的有益转换（即G（3）在B（3）之前的转换），附件G（4）=[x，p；-2x，p；x、 p]，在这种情况下，p=1/n，n=4，x=1/M，M≥ 接下来，在L（4）的最佳三种状态上，我们进行完全相反的变换，通过attachingB（4）=[-x、 p；2x，p；-x、 p]，所以我们得到一个彩票D（4），给定比亚迪（4）=[1+1/M，1/4；2- 3/M，1/4；4+3/M，1/4；7.- 1/M，1/4]。相反，让坏的东西先于好的东西，我们就产生了c（4）=[1- 1/M，1/4；2+3/M，1/4；4.- 3/M，1/4；7+1/M，1/4]。在第6节中，我们证明了具有“双温”（或“h”）的DT DM一致优先于C（4≤ 0”）-见定理6.3和6.4。要了解欧盟模型中双重故事的含义，当M=4时，比较D（4）到C（4）是很方便的。虽然在这种情况下，C（4）和D（4）具有相同的均值和方差，但我们很容易验证D（4）比C（4）具有更小的偏度和更小的峰度。因此，谨慎和节制的DM对这两种彩票的欣赏程度不能达成一致：一些人更喜欢D（4），而另一些人更喜欢C（4），这取决于他们的谨慎和节制的相对程度。

这一观察明确了四阶EU和DT可能（继续）发散的原因：虽然四阶压缩和反压缩序列可能会为C（4）和D（4）产生不同的三阶原始矩，但它保持了三阶对偶矩的相等性，再次证实了它们与双重故事的相关性。我们最后注意到，三阶和四阶彩票分别通过二阶和三阶相关变换的简单迭代生成。因此，这种分析可以进行到任意顺序，以解释概率加权函数的连续导数的符号。因此，正如在Eeckhoudt和Schlesinger（2006）的方法中一样，我们获得了一系列简单的嵌套彩票，现在可以对h（m）的符号进行适当的解释。4带衍生工具的投资组合选择考虑一个初始确定财富为w的DT投资者。假设他将一个金额α分配给一个风险资产（“股票”），并将一个金额w- α至无风险资产（“债券”）。债券（股票）每投资一个单位就可获得r（r）的可靠（风险）回报。假设R和R与投资金额无关。投资者旨在确定最佳金额α*. 因为（w- α） （1+r）+α（1+r）=w（1+r）+α（r- r） 而theDT求值是平移不变的且正齐次的，他的问题是：arg maxα{α（V[r]- r） }。（4.1）我们添加约束0≤ α ≤ w、 很容易得出最优解α*是一种更精确的解决方案。假设V[R]<R，则最优解为α*= 0、在这种情况下，投资者完全投资于债券。现在想象一下，投资者对风险回报的分布进行了改进。特别是，他有可能为该股票提供零预期价值、零成本的衍生产品。

衍生产品的选择是通过应用双层结构，通过压缩和反压缩，使R的mthorder改进，m≥ 2、股票和衍生品风险投资组合的回报率以“R”表示。（我们将很快提供衍生品的详细信息。）那么，有两种情况是可能的：（i）如果V【\'R】≤ r、 对债券的全额投资仍处于最佳状态。（ii）如果改善幅度很大，以至于V[(R)R]>R，则DT投资者将从一个角落解决方案（债券的全部投资，即α）转移*= 0）到othercorner解决方案（风险投资组合的全部投资，即α*= w） 。为了说明这些mthorder改进，为了便于说明，假设r≡ 0.考虑第二阶第一阶。假设股票价格以1/2的概率取1和3。援引这两个故事，我们发现，无论何时，只要出现以下情况，看涨期权的多头仓位与看涨期权的空头仓位相结合，每种仓位的执行价格都为2，从而使联合预期值为零，就能提高风险投资组合的吸引力≤ 实际上，在这种情况下，R和R之间的差异可以看作是压缩和反压缩的结果。如图3左上图所示，这种多头认沽和短期看涨期权的组合提供了一种对抗不利股票情景的对冲，这种对冲是通过放弃上行潜力来实现的。在本节中，风险股票价格S（1+R）与初始股票价格一起，扮演着双重故事中遇到的彩票C（m）的角色，而股票和衍生品投资组合S（1+R）扮演着彩票D（m）的角色。衍生产品补充剂直接从R中产生改善R。具体而言，R=（C（m）- S） /砂R=（D（m）- S） /秒。