风险分摊：双重故事

在第二阶，C（2）=[1，1/2；3，1/2]和D（2）=[2，1/2；2，1/2]。当然，C（2）和D（2）可以通过压缩和反压缩，即通过附加G（2）=[1/2，1/2]和B（2）=[3/2，1/2；5/2，1/2]从公共初始彩票L（2）=[3/2，1/2；5/2，1/2]生成-1/2，1/2]，至L（2）。如果好（坏）在坏（好）之前，则生成D（2）（C（2））。股票价格-2-1012衍生收益最优投资组合选择：二阶股票价格-2-1012衍生收益最优投资组合选择：三阶股票价格-1012衍生收益最优投资组合选择：二阶股票价格-1012衍生收益最优投资组合选择：四阶下一步，考虑三阶。现在假设股票价格以1/4的概率取值{1，3，5，7}。然后，运用双重故事，我们可以很容易地证明，在股价为4且预期值为零的情况下，所谓的“跨越式”期权可以提高风险投资组合的吸引力（R对R），只要≥ 如图3右上面板所示，在不良股票情景和良好股票情景下，多头交易会产生效果，但在中间股票情景下会产生损失。由于多头交易不仅增加了风险组合的偏度，而且增加了风险组合的方差，因此，多头交易补充在欧盟下不会一致，而在DT下则相反。最后，在第四阶，假设股票价格取{1，3，5，7，9，11，13，15}值，每个值的概率为1/8。

然后，双重情况意味着，在股票价格为4的情况下，多头多头与股票价格为12的情况下，联合预期值等于零，提高了风险投资组合的吸引力，前提是≤ 图3最后一个面板中所示的这种多空组合是所谓“波动率价差”的一个常见而简单的例子。因此，我们发现，当概率权重函数的连续导数在符号上交替时，风险资产回报分布的mthorder（双重）改进不会减少对风险资产的需求。这与欧盟（EU）下的常见结果形成了鲜明对比，在欧盟，R的m短期（原始）改善对需求的影响不明确，甚至对m≥ 1、事实上，为了获得这样的自然结果，即在欧盟范围内，此类改进会导致对风险资产的更高需求，需要施加额外的非平凡条件（详情参见埃克霍特和戈利尔（1995）和戈利尔（1995）第9.3节）。5具有背景风险的自我保护在本节中，我们考虑具有初始确定财富的DT DM，其面临的风险为货币金额`>0。损失发生的概率p取决于DM施加的自我保护效应e。特别是，p（e）正在减少ine。效益以货币等价物计量。DM旨在确定最佳的效率水平*这最大化了他的DT评估。我们在存在独立背景风险的情况下分析这个问题。

例如，该背景风险可能是由于持有风险金融资产的风险或第三级风险，R=（C（3）- S） /砂R=（D（3）- S） /S，其中c（3）=[1，1/4；3，1/4；5，1/4；7，1/4]和D（3）=[2，1/4；2，1/4；4，1/4；8，1/4]。它们可以由初始彩票L（3）=[3/2，1/4；5/2，1/4；9/2，1/4；15/2，1/4]通过附件G（3）=[1/2，1/4；-1/2、1/4]和B（3）=[-1/2, 1/4 ; 1/2，1/4]，处于非重叠状态。为简单起见，在股价为8时，多头和空头多头的支付被数字设置为0。另见欧盟模式中Dittmar（2002）的分析。采用埃利希和贝克尔（1972）的术语。不确定的劳动收入。在这种具有背景风险的自我保护问题中，幸运的迹象起着至关重要的作用。因此，在欧盟的前提下≥ 0与一个储蓄决策有关（Kimball（1990）），我们证明了在DTH的先验有效性下≥ 0可能与自我保护问题有关。当一个独立的二进制背景风险取±ε，ε>0，每个概率为1/2时，自我保护问题可以用以下四态彩票S（e）表示：S（e）=[w- ` - ε - e、 p（e）/2；w- ` + ε - e、 p（e）/2；w- ε - e、 （1）- p（e））/2；w+ε- e、 （1）- p（e））/2]，假设2ε<`。如果2ε>`，则S的中间两个状态会发生变化。DT-DMsolves:arg-maxe{V[S（e）]}。（5.1）我们始终假设V在e中是凹的。如果2ε<`，最优性的一阶条件readsV[S（e）]de=（p（e）/2）h（p（e）/2）（（w- ` - ε - e）- （w）- ` + ε - e） ）+p（e）h（p（e））（（w- ` + ε - e）- （w）- ε - e） ）+（p（e）/2）h（（1+p（e））/2）（（w）- ε - e）- （w+ε- e） （）- 1 = 0.经过明显的简化，我们得到p（e）ε(-h（p（e）/2）+2h（p（e））- h（（1+p（e））/2））- p（e）h（p（e））`- 1 = 0. （5.2）我们注意到，在没有任何背景风险的情况下，即当ε=0时，一阶条件减少到- p（e）h（p（e））`- 1 = 0.

（5.3）现在首先假设，如Eeckhoudt和Gollier（2005）中对欧盟的描述-p（e）h（p（e））`-当p（e）=1/2时，1=0。这意味着，在没有背景风险的情况下，DT DM会以最佳方式选择一个福利水平e，以确保发生损失的概率为1/2。在此假设下，我们从（5.2）中发现，背景风险的影响与- 小时（1/4）+2小时（1/2）- h（3/4）=（h（1/2）- h（1/4））- （h（3/4）- h（1/2））。（5.4）如果his的符号为正，则（5.4）为负，并注意p（e）ε也是负的。因此，鉴于V相对于e的凹度，如果DT DM是双重谨慎的，则在该设置中引入背景风险会刺激自我保护。接下来，考虑情况2ε>`。在这种情况下，一阶条件isdV[S（e）]de=（p（e）/2）h（p（e）/2）（（w- ` - ε - e）- （w）- ε - e） ）+（p（e）/2）h（（1+p（e））/2）（（w）- ` + ε - e）- （w+ε- e） （）- 1=0，经过明显简化后，该值降低至- （1/2）p（e）`（h（p（e）/2）+h（（1+p（e））/2））- 1 = 0. （5.5）回想一下，在没有任何背景风险的情况下，一阶条件等于（5.3）。因此，注意到（5.5）的左侧和（5.3）的左侧之间的差异等于-（1/2）p（e）`（h（p（e）/2）- 2h（p（e））+h（（1+p（e））/2）），（5.6），并维持以下假设：-p（e）h（p（e））`- 1=0当p（e）=1/2时，我们发现背景风险的影响再次与（5.4）的符号相关联，而这又取决于h的符号。因此，在维持的假设下-p（e）h（p（e））`-当p（e）=1/2，h时，1=0≥ 0保证在引入独立背景风险后，自我保护的边际效益增加。

因此，在双重审慎下，背景风险会刺激自我保护。通过类似的分析，我们可以将结果扩展到更多可能的情况。如果-p（e）h（p（e））`- 当p（e）时，1=0≤ 1/2，我们发现双重轻率DM（即h≤ 0）与无背景风险相比，有背景风险的影响较小。如果-p（e）h（p（e））`- p（e）时1=0≥ 1/2，我们得到双重审慎DM（即h≥ 0）在有背景风险的情况下比没有背景风险的情况下发挥更大的作用。6双重风险分摊在本节中，我们全面概括地阐述了第3节所述的双重情况。在本节中，我们考虑n状态彩票，并假设所有状态的发生概率为1/n，n∈ N、 我们允许当移动到相邻状态时，结果的增量等于零。这可以解释为具有不等状态概率的YieldLotts。这两种情况之间存在差异。当2ε<`时，与无背景风险的情况相比，hadds的凸性是一个取决于ε大小的边际收益；参见（5.2）。当2ε>`，与无背景风险的情况相比，hadds的凸性是一种边际效益，与ε无关，但取决于`的大小；参见（5.6）。有关更多详细信息，请参阅扩展在线版本。6.1第三阶：双重普鲁登斯我们首先提供一类简单的彩票对，使得这些彩票对之间的偏好方向相当于在DT下签署概率权重函数的三阶导数。考虑g（3）=[δ，1/n；-δ、 1/n]和B（3）=[-δ、 1/n；δ、 1/n]，带δ，δ≥ 首字母缩略词“G”和“B”表示“好”和“坏”。

在将G（3）和B（3）状态附加到至少有三种状态的任意给定初始彩票上时，如果状态相加是可行的，我们生成D（3）如果G（3）状态先于B（3），我们生成C（3）如果B（3）状态先于G（3）。连接好的G（3）会导致挤压，而连接坏的B（3）会导致反挤压。为了强调这些变换的一般性，我们注意到：（i）δ和δ可能不同；（二）下列国家的数目“……”在G（3）和B（3）中表示可能不同；（三）“……的国家数目”G（3）和B（3）中的表示可以等于零；（iv）当将G（3）和B（3）与B（3）连接到初始彩票时，一方面与B（3）和G（3）之间的间距（即状态数）可能不同；（v） 该间距可能为负值，因此好与坏部分重叠，但对于D（3），G（3）严格先于B（3）至少一种状态，对于C（3），B（3）严格先于G（3）至少一种状态。只要结果等级不受挤压和反挤压的影响，并且彩票结果不为负，所有这些普遍性都是允许的。这些概括性部分归功于这样一个事实，即我们没有将改变后的彩票与它们产生的最初彩票进行比较。相反，我们比较两种改变后的彩票：一种是好的先于坏的，另一种是相反的。我们说，如果对于任何这样的彩票对（C（3），D（3）），个人更喜欢D（3）而不是C（3），那么他就是“双重谨慎的”。下面的定理表明，在DT内，这是由h的正号来保证的。与这些彩票偏好相对应的个人行为类型，以及我们下面发展的他们的高阶概括，可能被称为“双重风险分配”。

就像在原始风险分配下一样，彩票中的伤害支持减轻了对此类个人的不利影响。定理6.1如果C（3）和D（3）是通过上述变换生成的，则D（3）优先于（dispreferred）C（3），由任何带h的DT DM生成≥ 0（小时≤ 0).在本小节的其余部分中，我们考虑了lotterypairs C（3）和D（3）的一个节俭子类，该子类对于签名h而言已经足够了。Let n≥ 3，考虑C（3）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1，1/n；xj+2，1/n；xj+3，1/n；xj+4，1/n；…；1/n]。对于任何给定的n，需要显示粗体的三个状态(≥ 3） ，剩余状态被任意添加，直到状态概率总和为1。只要下面执行的挤压和反挤压不会改变结果的排名，当移动到相邻的更高状态C（3）时，结果的增量可以是任意的非负和状态依赖的。然后，我们（直接）从C（3）nb连接到boldC2D（3）n=[1/M，1/n]中的三个状态来构造D（3）nf；-2/M，1/n；1/M，1/n]。这就产生了D（3）ngiven byD（3）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1+1/M，1/n；xj+2- 2/M，1/n；xj+3+1/M，1/n；xj+4，1/n。，1/n]。显然，C（3）和D（3）noccur是C（3）和D（3）的一个子类。要了解这一点，请考虑初始彩票L（3）ngiven byL（3）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1+1/（2M），1/n；xj+2- 1/M，1/n；xj+3+1/（2M），1/n；xj+4，1/n。，1/n），并通过附加好（bad），G（3）（B（3）），生成D（3）n（C（3）n），G（3）=[1/（2M），1/n；-1/（2M），1/n]和B（3）=[-1/（2M），1/n；1/（2M），1/n]，到L（3）n的前两个加粗状态，并将坏（好），B（3）（G（3）），附加到L（3）n的最后两个加粗状态。

为了保持所需的状态数尽可能少，并增强节约性，为了满足签署h的目的，我们在重叠状态下挤压和反挤压，就像第3节一样。下面的定理表明，在DT中，对一类模式对D（3）和C（3）nsigns h的偏好：定理6.2如果，对于任何n≥ 3，a DT DM优先（dispreferred）D（3）to C（3）n，然后h≥ 0（小时≤ 0).6.2第四阶：双重温度接下来，我们提供了一类简单的彩票对，使得这些彩票对之间的偏好方向等效于在DT下签署概率权重函数的四阶导数。考虑g（4）=[δ，1/n；-δ、 1/n；-δ、 1/n；δ、 1/n]和B（4）=[-δ、 1/n；δ、 1/n；δ、 1/n；-δ、 1/n]，这是通过限制挤压和反挤压中的M来实现的，如下所述。带δ，δ≥ 将G（4）和B（4）附加到任意给定的初始彩票上，该彩票至少有四个状态，这样状态相加是可行的，我们生成D（4）ifG（4）状态优先于B（4），如果B（4）状态优先于G（4），我们生成C（4）。我们注意到，G（4）和B（4）都可以解释为大小相同但与G（3）和B（3）完全相反的简单串联。因此，我们通过三阶变换的简单迭代来定义四阶变换。为了强调这些变换的一般性，我们注意到：（i）δ和δ可能不同；（二）下列国家的数目“……”表示可能在G（4）和B（4）之间有所不同，但G（4）和B（4）都需要对称，即第一个和第三个“…”在G（4）中，表示相同的状态数，B（4）的状态数也类似（与G（4）和B（4）兼容，每个都是大小相同但正好相反的G（3）和B（3）的串联）；（iii）第一个和第三个国家的数量”。

.” 表示G（4）和B（4）是非负的，可以等于零，而中间（秒）的状态数“…”表示大于或等于-1；（iv）将G（4）和B（4）与B（4）和G（4）之间的间隔（即状态数）连接到初始彩票时，可能会有所不同；（v） 该间距可能为负值，因此好的和坏的部分重叠，但对于D（4），G（4）严格先于B（4）至少一种状态，对于C（4），B（4）严格先于G（4）至少一种状态。只要结果排名不受影响，且彩票结果保持非负，所有这些概括性都是允许的。我们说一个人是“双重温和的”，如果对于任何这样的彩票对（C（4），D（4）），他更喜欢D（4）而不是C（4）。以下定理表明，在DT内，这是由h的负号保证的。定理6.3如果C（4）和D（4）是通过上述变换生成的，则D（4）优先于（dispreferred）C（4），由任何带h的DT DM生成≤ 0（小时≥ 0).如第6.1节所述，让我们在本小节的其余部分考虑彩票对C（4）和D（4）的简约子类，对于我们签署h来说已经足够了。让n≥ 4，考虑C（4）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1，1/n；xj+2，1/n；xj+3，1/n；xj+4，1/n；xj+5，1/n；…；1/n]。对于任何给定的n，需要显示粗体的四个状态(≥ 4） ，剩余状态被任意添加，直到状态概率总和为1。只要下面进行的转换不会改变结果的排名，当移动到相邻的更高状态C（4）时，结果的增量再次允许具有非负性和状态依赖性。如果状态数为“.”。

.” 表示为-1，中间两个相邻状态重叠，thusattaching-G（4）的2δ和B（4）的2δ为概率为1/n的状态。这是通过在下面相应解释的变换中限制M来实现的。然后，我们（直接）从C（4）nb连接到boldC2D（4）n=[1/M，1/n]中的四个状态来构造D（4）nf；-3/M，1/n；3/M，1/n；-1/M，1/n]。这就产生了D（4）ngiven byD（4）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1+1/M，1/n；xj+2- 3/M，1/n；xj+3+3/M，1/n；xj+4- 1/M，1/n；xj+5，1/n。，1/n]。显然，C（4）和D（4）noccur是C（4）和D（4）的一个子类。要了解这一点，请考虑初始彩票L（4）ngiven byL（4）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1+1/（2M），1/n；xj+2- 3/（2M），1/n；xj+3+3/（2M），1/n；xj+4- 1/（2M），1/n；xj+5，1/n。，1/n），并通过附加好（bad），G（4）（B（4）），生成D（4）n（C（4）n），G（4）=[1/（2M），1/n；-1/M，1/n；1/（2M），1/n]和B（4）=[-1/（2M），1/n；1/M，1/n；-1/（2M），1/n]，到L（4）n的前三个粗体状态，并将坏（好）、B（4）（G（4））附加到L（4）n的最后三个粗体状态。为了保持所需的状态数尽可能小，并增强节省性，便于我们签署h，我们再次在重叠状态下进行转换，如第6.1节和第3节所示。下面的定理表明，在DT中，对色对类D（4）和C（4）nsigns h的偏好：定理6.4如果，对于任何n≥ 4，a DT DM优先（dispreferred）D（4）to C（4）n，然后h≤ 0（小时≥ 0).6.3 mthorder在本节中，我们系统地构造了彩票对的简单嵌套类，使得这些彩票对之间的偏好方向等效于在DT下签署概率加权函数的次导数。我们从二阶开始，通过简化操作，继续构建所有更高阶的双重风险分摊，如下所示。