线性和非线性市场相关性：金融特征

这是因为傅里叶变换的皮尔逊相关性只取决于时间序列之间的相位差，而相位差是不受影响的。我们想指出的是，在程序开始时，我们不会将数据重新映射到高斯分布上。因此，我们同时测试静态和动态非线性。将价格转换为对数回报可能会导致静态非线性。我们确信，在执行上述重新映射后，后面给出的结果不会有太大变化。因此，我们得出结论，结果主要由动态非线性驱动。三、 依赖矩阵分析a。距离矩阵系数在构建网络之前，我们首先基于Pearson相关和互惠信息研究距离矩阵系数分布的动态演化。对于代理项，我们平均所有k个实现SMMSurro=hMm{dMI*k} ik，（12），其中mmi是距离矩阵dMI中系数分布的m阶矩*Kob来自第k个代理实现。图（2）显示了基于皮尔逊相关和互信息的距离矩阵的动态演变均值和方差。正如我们所期望的，基于原始时间序列和替代时间序列的皮尔逊相关性得到的矩是完全相同的perconstruction。然而，对于互信息，我们注意到替代项的结果更类似于基于皮尔逊相关的结果。在2008年金融危机之前，原始时间序列和替代序列基于平均互信息的距离演变非常相似。然而，从2008年11月开始，基于原始时间序列的平均值比基于替代项的平均值慢。

由于距离越短意味着平均互信息越高，我们得出结论，非线性效应会导致2008年金融危机引发的时间序列之间的依赖性更强。非线性相关性的强度在欧洲债务危机期间进一步增长，直到2012年年中达到峰值。这一结果有点令人惊讶，因为它不符合这样的预期，即在危机期间，相互依赖性主要减少为线性相关性。有趣的是，距离矩阵系数的方差（图（2）下一行）beFIG。3、各资产的平均显著系数χsig（Xi）-红线：所有单项资产的全球平均值。略有不同。从1998年网络泡沫开始，非线性效应就在增加方差，并在整个余生期内放大。考虑到距离矩阵的两个矩，我们已经可以看到，即使在非常一般的分析水平上，非线性效应也清晰地存在。B、 推导非线性相关性为了明确表示非线性相关性的重要性，我们首先计算所有替代实现的互信息矩阵，推导出一个重要度量χsigby。然后，我们取所有代理实现的平均值，并从原始时间序列的互惠信息矩阵中减去它，χsig（Xi，Xj）=I（Xi，Xj）- 嗨（X*i、 k，X*j、 k）ikσI*. （13） 最后，我们通过实现σI的标准偏差对其进行归一化*. 图3显示了显著矩阵列平均值的时间演变，表示一只股票与所有其他股票的平均非线性相互作用的显著性χsig（Xi）=hχsig（Xi，Xj）ij。（14） 这清楚地表明，2008年的危机引发了强烈的非线性效应，这在90年代初的经济衰退或其他动荡的市场阶段（如网络危机）中是看不到的。

2009年底欧洲主权债务危机引发的不确定性进一步放大了非线性相互作用的重要性图。4、重要矩阵χχsig；下半部分：1998年11月平静的市场环境，上半部分：2008年9月15日雷曼破产引发的崩盘后，2009年5月动荡的市场环境。标签表示股票指数。直到现在才慢慢下降。2009年5月，在金融危机期间股价暴跌后不久，林肯国家公司（保险和投资）和花旗集团（金融服务）实现了最高的重要价值。通过将原始数据的交互信息与代理实现的平均值之间的差异的绝对值除以原始交互信息，我们确定了整体非线性相关性ζnlc（Xi，Xj）强度的度量=I（Xi，Xj）- 嗨（X*i、 k，X*j、 k）ik我（Xi，Xj），（15），稍后我们将在投资组合优化部分使用。它告诉我们，哪些总体互信息量是由非线性互依赖引起的。然而，目前还不完全清楚“负非线性”的含义是什么，也就是说，当所有代理实现的平均互惠信息的值高于原始值时。这与这样的说法相对应：在破坏非线性效应后，两个时间序列共享的信息比以前更多。我们看到inFig。3在某些时间段，原始时间序列和替代时间序列的相互依赖性几乎相同，因此只有线性相关性起作用。图4的下半部分显示了1998年11月相当平静的市场时期的重要性矩阵。相比之下，在2008年金融危机之后的2009年5月，上半部分显示出显著更高的显著价值。

深红色条纹表示一项资产与所有其他资产之间存在着特别强的非线性相关性，例如林肯国家公司（Lincoln National Corporation，LNC）、花旗集团（Citigroup，C）和通用电气（General Electric，GE）。四、 基于网络的分析1。规范化树长度下一步，使用Prim算法从基于Pearson相关和互信息的距离矩阵构建MST【25】。首先，我们看一下规范化的树长度inFig。5定义为asL（t）=N- 1XdtXi，Xj∈ TTTtdtXi，Xj，（16），其中t表示构造MST的时间步长。我们注意到定性行为与距离矩阵元素的平均值非常相似。然而，在互信息的情况下，原始时间序列和基于代理的树之间已经在1998年年中出现了agap。这就是网络泡沫开始缓慢增长的时候。这比图2.2中所有距离元素的平均值来得早。平均占用层我们在参考文献[11]中关注的网络的另一个有趣的特性是动态平均占用层L（t，vc）=NNXi=1L（vti），（17），其中L（vti）表示节点在时间步长t上的级别。级别L（vti）根据边的绝对数测量节点vii与中心顶点的距离。因此，平均占用层反映了节点到网络中心的平均距离。中心是基于度中心在每个时间步中动态确定的，我们将在下一节中解释。我们可以将平均职业层解释为我们的股票集合内的多元化潜力的衡量标准。如图6所示，基于线性测度（a）的结果表明，在金融泡沫期间，距离网络中心的平均距离增加。

它在2008年6月达到顶峰，因此在崩溃发生前不久以及2001年互联网泡沫期间都达到顶峰。图6（b）表明，基于皮尔逊相关和线性化替代时间序列互信息的结果演变非常相似。然而，我们比较原始时间序列和替代时间序列之间基于互信息的结果的下方图（c）显示出以下有趣的特征。在网络泡沫及其后续泡沫期间，与基于原始时间序列的结果相比，替代数据产生了更高的平均占领层。这意味着线性相关性会导致更强的多样性，因此我们可以说，在网络崩溃期间，线性相关性主导着网络的拓扑结构。相比之下，2008年金融危机期间的行为有所不同。图。5.顶部：基于Pearson correlationbased MST的标准化树长。底部：原始数据（蓝色）和代理数据（青色）的互信息相同。图6：。（a） 基于皮尔逊相关的动态平均职业层MST。（b） 替代序列的互信息（青色）与基于皮尔逊相关的结果（红色）。（c） 原始序列（蓝色）和替代序列（青色）的互信息相同，灰色为正负一西格玛误差范围。垂直线表示2000年3月互联网泡沫的破裂，以及2008年9月15日雷曼兄弟倒闭后的加速崩溃。2008年初，原始时间序列的平均职业层低于代理层。然而，2007年9月雷曼兄弟破产后，股价大幅下跌，引发了原始时间序列层的大幅上升。它在危机之后进一步增长，并在2010年年中达到顶峰。

在这里，它达到了大约11.5的水平，几乎是基于代理层的水平的两倍，因此表明非线性树多样性显著更强。这表明2008年的金融危机和互联网崩溃有着不同的特点，因为我们在后者期间没有观察到类似的影响。图3为这一观察结果提供了进一步的支持，其中我们看到，在互联网时代，非线性相关性较弱，但从2008年初开始，即崩溃发生之前，非线性相关性呈强烈增长。我们将在第五节中观察到类似的影响，在该节中，我们应用了基于非线性相关性的投资组合优化策略。3、中心性我们使用度中心性的概念来确定股票在我们的网络中有多重要。度centralitydegi（t）=NNXj=1D（dtXi，Xj）（18）的库存i仅计算其他库存的连接数，其中，如果dtXi，Xj>0，则D（dtXi，Xj）=1，这意味着库存xind Xjare connected，否则为0。在图7中，我们可以看到我们网络中最核心股票的动态概览。一般来说，在基于相关和互信息的网络中，度中心度方面的主要资产非常相似。然而，基于相互信息的结果显示出更多的波动，尤其是从1994年到1997年以及从2005年到2012年。在2000年之前，通用电气（GE）是迄今为止最核心的元素。这可能是由于通用电气作为一家多元化程度较高的公司和最大的雇主之一，在美国经济中发挥着重要作用。此外，直到2000年下半年，通用电气的大市值还在进一步增加（来源：彭博社）。然而，在2000年至2002GE的网络泡沫和随后的崩溃过程中，E的市值迅速下降，并处于崩溃状态。7、中心度最高的资产。

顶部：基于皮尔逊相关；底部：基于原始互信息（蓝色）和代理互信息（绿色）。图8：。基于Pearson相关性（a）和互信息（b）（蓝色：原始数据，绿色：替代数据）与网络平均值（红色）的JPM的度中心度。垂直线表明，2007年10月15日是股价的峰值，之后开始下跌，2008年9月15日雷曼兄弟破产后，股价加速下跌。同时，就度中心性而言，它在网络中的重要性。取而代之的是，PPG Industries——一家化学品和特种材料供应商——成为相关和互信息网络中最核心的节点，一直持续到2006年底。从那以后，摩根大通（JPM）成为所有网络中最核心的节点，这在2008年金融危机的过程中尤为有趣。如图8所示，摩根大通的中心地位在2006年末达到顶峰，时间远远早于2007年10月次贷泡沫开始破裂。在股市崩盘的过程中，中心地位在2009年初迅速下降至全球网络平均水平。在下面的分析中，我们将重点关注1998年到2010年之间的时间，因为这里发生了最有趣的现象。为了进一步了解JPM的作用，我们还构建了一个阈值网络，在该网络中，我们只需将依赖系数最高的20%的节点对连接起来。在同一时期，我们观察到JPM的聚类系数也有类似的影响。聚类系数（t）=degi（t）（degi（t）- 1） Xjk（▄wij▄wjk▄wik）1/3（19）描述了JPM的传递性，其中▄wij=wij/max（w）表示节点i和j的归一化边权重【27】。

高聚类系数意味着JPM的邻居高度连接，而低聚类系数意味着它们往往没有连接。如图9所示，JPMFIG的聚类系数。9、Pearson相关性（a）、原始互信息（b）和替代互信息（c）的JPM（蓝色）与网络平均值（红色）的聚类系数。2005年开始偏离全球网络平均水平，并一直下降到2007年年中。同时，随着集中度的增加，我们可以用以下方式来解释：在次贷泡沫增长期间，摩根大通作为美国最大的金融机构，在网络中扮演着越来越重要的角色。同时，聚类系数降低，表明JPM的邻居之间的连接减少，使JPM成为网络中的“驱动力”。更有趣的是，所有这些都发生在崩溃发生之前很久，与平均网络状态的严重偏差很早就出现了。这可能意味着摩根大通起到了某种预警系统的作用，它通过中心性和集群性指标发出信号，表明美国金融市场表现出异常行为。此外，我们发现，同样的影响发生在网络泡沫及其随后在2001/2002年左右的崩溃期间，在90年代初的衰退期间有所减弱（结果未显示）。当比较基于皮尔逊相关性的度量和基于互信息的度量时，我们观察到，在后一种情况下，影响是定性的，并且是明确的。在图8（b）中，我们给出了基于互信息的度中心性结果。与基于原始时间序列的度量相比，替代数据的程度中心性的定量强度明显较低。

此外，2007年10月，这两个集中度指标开始出现最大幅度的下跌，而正是在2007年10月，股市在达到峰值后开始向下移动。然而，基于原始时间序列的交互信息构建的网络的中心度测度在2006年10月达到峰值后迅速下降，大约在股市危机开始前一年左右。测量基准测量M I（原始）hI（替代）Iσ（I（替代））距离M矩阵平均值0.958 0.992 4.50×10-5距离矩阵方差0.839 0.845 5.29×10-4距离M矩阵偏度0.925 0.947 1.04×10-3距离M矩阵峰度0.886 0.891 2.34×10-3最小生成树归一化树长0.977 0.992 7.78×10-5最小跨越树中心度0.767 0.908 0.017最小跨越树平均占有层0.594 0.830 0.033表I。在每个时间步中，我们根据Pearson相关以及原始和替代时间序列的互信息计算上述度量。这里，我们展示了基于非线性Pearson相关的结果值集的Pearson相关系数：1。结果基于I（original）2表示的原始数据的互信息。结果基于hI（代理）i表示的代理数据的互信息，其中我们平均了所有代理实现的结果。σ（I（替代物））分别是它们的标准偏差。当将原始时间序列的结果与替代结果进行比较时，我们观察到，从2006年10月到2007年10月的中心性峰值有急剧下降，这仅发生在原始序列的测量中。这表明，在此期间，JPM的中心地位受到强烈的非线性影响。

从2007年10月到2008年9月，集中度再次增长，这与股市在2007年10月创下历史新高后开始下跌的时期相对应。2008年9月，投资银行雷曼兄弟破产后，股价下跌更快，摩根大通的中心地位也突然下降。我们想提及的是，我们在不同的数据集中观察到了高盛和雷曼兄弟的类似行为（结果未显示）。表（I）总结了不同的网络和距离矩阵度量，并显示了Pearsoncorrelation和基于互信息的结果在其结果值集的Pearson相关系数方面的相似性。接近统一的值表示皮尔逊相关和基于互信息的结果非常相似。我们观察到，替代互信息和基于皮尔逊相关的结果比原始数据互信息和基于皮尔逊相关的结果具有更高的相似性。因此，存在非线性相关性，当使用互信息作为相互依赖的度量时，替代数据是一种很好的比较方法。与上述金融危机期间不同，我们没有观察到重大政治事件期间的影响，如1989年11月柏林墙倒塌或2001年9月9·11袭击。平均职业层和标准化树长均未表明市场相关性结构发生显著变化。五、 投资组合优化a。马科维茨投资组合构建为了利用我们的概念，我们将其应用于投资组合构建问题。标准的融资方法是哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年开发的均值-方差优化[28]，在给定特定目标回报或风险规避因子的情况下，使投资组合的方差最小化。