线性和非线性市场相关性：金融特征

投资组合的预期回报率upo则为uP=E[P（w）]=XiwiE[Xi]，（20），其中wii是权重，E[Xi]表示资产i的预期回报率。通过应用基于四分位区间的过滤器排除异常值后，假设每项资产的预期回报率为其历史时间窗口T=1000期间的中值。这不是一个很好的近似值，因为收益率的自相关函数很快降为零，因此过去的收益率并不能说明未来的多少。然而，为了简单起见，我们决定使用这种标准方法。然后，我们的投资组合的方差由σP（w）=xixjwjσXiσXjρXi，Xj，（21）给出，其中σXi是资产i和ρXi回报的标准偏差，Xj是资产i和j的皮尔逊相关系数。表达式σXiσXjρXi，Xjis也称为方差σXi，Xj，而我们将所有资产的协方差矩阵表示为∑。权重向量w描述的最优投资组合给定了一些目标回报率uPi，然后通过最小化WT∑w（22）获得，前提是uP=RTw（23），XIWI=1，（24），其中RTI是资产预期回报的向量。现在，我们还有一个决定：我们应该为投资组合优化选择哪个目标回报率？图10：。回溯测试结果：固定配置（红色）、完全投资的最大夏比投资组合（蓝色）和NLC规模投资组合（绿色）的投资组合价值（从1 att=0开始）。为了确保一致的策略，我们为所有可能的目标回报构建了Markowitz优化的投资组合，然后选择投资组合回报率和波动率uPσP（w）的分数最大的投资组合，即所谓的最大夏普比率投资组合。在本例中，我们不允许卖空，这意味着资产权重必须为正。B

非线性相关性（NLC）规模化策略了解到股票市场回报中存在着显著的非线性相关性，自然会出现我们如何实际利用这些知识的问题。当涉及到投资组合优化时，通常通过皮尔逊相关系数来描述资产之间的相互关系。如上所述，关于股票相互依赖性的信息中有很大一部分是非线性的，因此线性皮尔逊系数无法捕捉到。当非线性相关性较低时，线性相关矩阵可以捕获大部分信息，因此是一种很好的互依性估计方法。然而，当非线性相关性很高时，大量信息丢失，从而使其成为一个糟糕的估计值。现在的想法是执行经典的马科维茨优化，并选择最大夏普比率投资组合作为我们的基准投资组合。另一种策略采用相同的相对配置，但允许额外的资产：现金。我们允许现金权重从-100%到100%。100%的权重意味着我们允许借款以增加投资敞口。例如，假设我们在基准投资组合中投资1000美元。在替代策略中，如果权重为-100%，则意味着我们再借入1000美元，以便将投资敞口增加到2000美元。相比之下，100%图11。上图：投资组合权重——标准普尔500指数（绿色）、美林美国公司指数（红色）和美林美国财政部指数（蓝色）。下图：基于NLC策略的现金权重。备选策略中的现金权重意味着我们只持有现金，不投资其他资产，即投资敞口为0美元。现金权重由非线性评分snlc确定，包括以下指标：1。

非线性相关性的绝对强度s（t）=hζnlc（Xi，Xj，t）ii，对于i 6=j。(25)2. 非线性相关性与24个时间步长的滚动窗口平均值，对应于大约两年的s（t）=tXt*=t型-24秒（t*) . (26)3. 与四分之一（t）=s（t）s（t）对应的三个时间步滚动窗口的非线性相关性变化- 3)- 1（27）这里的想法不仅是使用当前时间步长中非线性相关性的强度，还反映它们与滚动中期平均值的比较。此外，我们还考虑了非线性相关性的强度在过去三个月内是如何变化的。原因是，我们希望捕捉市场动荡时期的开始，以及在动荡时期结束和市场复苏后实现市场重新进入。使用非线性映射将上述度量转换为表II所示的分数。非线性相关性的绝对强度s（t）转化为最防守得分s*（t） =0如果s（t）≥ 0.25. 这意味着平均25%或更多的资产互信息是非线性的。同样，如果非线性关联强度s（t）超过0≤ s（t）<0.1 0.1≤ s（t）<0.15 0.15≤ s（t）<0.2 0.2≤ s（t）<0.25 0.25≤ s（t）s*（t） 100 75 50 25 00≤ s（t）<s（t）s（t）≤ s（t）<s（t）s（t）≤ s（t）<s（t）s（t）≤ s（t）<s（t）s（t）≤ s（t）s*（t） 100 75 50 25 0s（t）≤ -0.02-0.02≤ s（t）<0 0≤ s（t）<0.02 0.02≤ s（t）<0.05 0.05≤ s（t）<0秒*（t） 25 10 0-10-100表二。将投资组合评分指标s（t）、s（t）、s（t）转换为分数s*（t） ，s*（t） ，s*（t） 。两年移动平均s（t）乘以0.15或以上，得分*（t） 具有最具防御价值的s*（t） =0。我们构建了评分模型，使得（t）的大幅增加对分数的影响更大（-100*（t） thana大幅下降（+25）。

这是因为不断增长的非线性相关性可能是市场动荡时期的一个迹象，在这种情况下，我们希望拥有较高的现金权重。所有三个度量值的权重相等，界限在0和100snlc（t）=（s）之间*（t） +秒*（t） +秒*（t） ）（28）snlc（t）=最大{最小{snlc（t），100}，0}。（29）然后，组合的现金权重由wcash（t）=（100）确定- 2snlc（t））。（30）因此，如果非线性相关性更强，线性相关性矩阵捕获的依赖性信息更少，因此该策略会导致更具防御性的分配（更高的现金敞口），反之亦然。该策略同样适用于不同的参数选择，但我们决定将重点放在上述简单的等权重方法上。为了更好地捕捉不断变化的市场环境，我们使用500天滑动窗口计算ζnlc（Xi，Xj，t）和协方差矩阵进行马科维茨优化。为了测试我们的策略，我们选择了三个指数加现金的简单设置：美林美国公司指数LOC（美国公司债券指数）、美林美国国债指数USD unhedged（美国政府债券指数）、标准普尔500指数（美国股票指数）和BBA LIBOR USD 1个月（美元现金利率）。我们在研究的第一部分中使用的标准普尔500指数中没有选取大部分股票的原因是，在这个简单的例子中，我们实现了一个更稳定的配置，这更容易解释。在进行大型投资组合时，分配在每个时间步都会发生很大变化。此外，我们希望拥有的风险资产比投资组合中的股票（如美国政府债券）要低，以便观察我们的策略是否在不同的市场时期实现了正确的配置。

我们选择上述指数是因为它们反映了大量的美国信贷、ZF债券和股票市场。然后，我们从1988年到2016年进行了一次回溯测试，每20个时间步执行一次马科维茨优化和投资组合再平衡。图10显示了完全投资的零现金投资组合（蓝色）的发展，这是一种战略资产配置，具有固定的25%公司债券、25%ZF债券和50%股票（SAA–红色），最后是我们的动态现金权重战略（绿色）。在图11中，我们看到，我们的策略导致从2008年9月到2009年2月，现金权重达到100%，从而在紧急指令之前实现了安全分配。我们注意到，该策略的表现优于零现金策略62%，固定分配策略甚至优于161%。然而，我们必须考虑到较高的投资敞口，即平均120%，相应的托米努斯20%的现金杠杆率。为此，我们进行了另一次回溯测试，将固定现金权重设置为-20%。事实证明，我们的NLC策略仍优于约18%。因此，我们得出结论，这种跑赢大市不是由更高的投资风险敞口导致的更高风险驱动的，而是非线性相关信号本身的动态。六、 总结与结论在本研究中，我们使用互信息作为线性和非线性相关性的度量，并使用替代数据的方法，分析了多维金融时间序列中的非线性相关性。在第一步中，我们将从互信息中获得的距离矩阵矩与基于皮尔逊相关的结果进行比较。我们发现，特别是在动荡的市场时期，如2008年的危机，两个结果都显示出定性差异，并显示出显著的非线性相关性。这一立场与危机期间依赖性主要降低为线性相关性的预期相反。

然后，我们构造了最小生成树，并在网络拓扑中等价地发现了线性测度和非线性测度之间的差异。事实证明，在考虑非线性相关性的情况下，在危机期间，距离网络中心的平均距离明显较低。此外，就度中心性而言，网络中心在线性情况下更稳定，流动性更小。我们表明，早在2008年次级抵押贷款泡沫破裂之前，摩根大通的中心地位就已经大幅提升。为了调查此类措施是否可能作为预警指标，我们将在进一步研究中分析工业部门平均中心度的动态。了解到在非线性效应方面存在不同类型的金融危机是非常有趣的。我们的研究结果表明，2008年危机期间，非线性效应明显强于之前的危机。此外，我们发现，与金融危机相比，重大政治事件似乎对市场相关性结构没有显著的中长期影响。最后，在了解股票收益率存在显著的非线性相关性后，我们开发了投资组合优化领域的实际应用。我们发现，与完全投资的投资组合相比，基于非线性相关性强度的投资敞口比例调整会导致显著的跑赢大市。在进一步的研究中，将探索更直接地应用这些知识。[1] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》（剑桥大学出版社，1999年）。[2] L.Laloux、P.Cizeau、J.-P.Bouchaud和M.Potters，《物理评论快报》831467（1999）。[3] Giardina和J.-P。

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