线性和非线性市场相关性：金融特征

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英文标题：
《Linear and nonlinear market correlations: characterizing financial
  crises and portfolio optimization》
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作者：
Alexander Haluszczynski, Ingo Laut, Heike Modest and Christoph R\\\"ath
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Pearson correlation and mutual information based complex networks of the day-to-day returns of US S&P500 stocks between 1985 and 2015 have been constructed in order to investigate the mutual dependencies of the stocks and their nature. We show that both networks detect qualitative differences especially during (recent) turbulent market periods thus indicating strongly fluctuating interconnections between the stocks of different companies in changing economic environments. A measure for the strength of nonlinear dependencies is derived using surrogate data and leads to interesting observations during periods of financial market crises. In contrast to the expectation that dependencies reduce mainly to linear correlations during crises we show that (at least in the 2008 crisis) nonlinear effects are significantly increasing. It turns out that the concept of centrality within a network could potentially be used as some kind of an early warning indicator for abnormal market behavior as we demonstrate with the example of the 2008 subprime mortgage crisis. Finally, we apply a Markowitz mean variance portfolio optimization and integrate the measure of nonlinear dependencies to scale the investment exposure. This leads to significant outperformance as compared to a fully invested portfolio.
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中文摘要：
为了研究股票的相互依赖性及其性质，我们构建了1985年至2015年间美国标准普尔500指数股票日常收益的皮尔逊相关和互信息复杂网络。我们表明，这两个网络都检测到了质量差异，尤其是在（最近）动荡的市场时期，因此表明在不断变化的经济环境中，不同公司的股票之间存在着剧烈波动的相互联系。使用替代数据导出了非线性依赖强度的度量，并在金融市场危机期间得出了有趣的观察结果。与危机期间依赖性主要减少为线性相关性的预期相反，我们表明（至少在2008年危机中）非线性效应显著增加。正如我们以2008年次贷危机为例所证明的那样，网络中的中心性概念有可能被用作异常市场行为的某种预警指标。最后，我们应用Markowitz均值-方差投资组合优化，并整合非线性依赖性度量来衡量投资敞口。与完全投资的投资组合相比，这导致了显著的跑赢大市。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Linear_and_nonlinear_market_correlations:_characterizing_financial_crises_and_po.pdf (1.73 MB)

2022-6-2 17:56:59 上传

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关键词：非线性 相关性 Quantitative correlations Optimization

线性和非线性市场相关性：表征金融危机和投资组合优化Alexander Haluszczynski*路德维希·马克西米利安大学物理系，Schellingstrasse 4，80799 Munichrisklab GmbH，Seidlstrasse 24，80335，MunichIngo Laut，Heike Modest，Christoph R¨athes Zentrum f¨ur Luft-und Raumfahrt，Institute f¨ur Materialphysik im Weltraum，M¨unchner Str.20，82234 Wessling（日期：2017年12月8日）构建了1985年至2015年美国标准普尔500指数股票日常回报的皮尔逊相关和互信息复杂网络，以调查股票的相互依赖性及其性质。我们表明，这两个网络都检测到了定性差异，尤其是在（最近）动荡的市场时期，因此表明在不断变化的经济环境中，不同公司的股票之间存在着强烈的相互影响。使用替代数据得出非线性依赖强度的测量结果，并在金融市场危机期间得出有趣的观察结果。与危机期间依赖性主要减少为线性相关性的预期相反，我们表明（至少在2008年危机中）非线性效应显著增加。正如我们以2008年次贷危机为例所展示的那样，网络中心性的概念可能被用作异常市场行为的某种预警指标。最后，我们应用Markowitz均值-方差投资组合优化，并整合非线性相关性度量来衡量投资敞口。与完全投资的投资组合相比，这导致了显著的跑赢大市。PACS编号：05.45。Tp，89.65。Gh，89.75。HcI。引言研究金融市场中的现象在物理学界越来越流行。

经济物理学家通过利用统计物理学中的强大工具，如随机矩阵理论[2]或基于代理的市场模型[3]，展现了一种新的视角[1]，这是对金融和金融数学传统方法的补充。对于金融领域的各种应用来说，全面了解金融资产如何一起移动至关重要，例如在评估与投资组合相关的风险时。为了做到这一点，通常的做法是通过其回报时间序列的皮尔逊相关系数来表示金融资产的相互依赖性。Mantegna和Stanley【4】展示了金融指数概率分布的幂律标度行为。谢长廷（5）指出，金融资产的回报率并不是自相关的，而其绝对价值却是自相关的。进一步的研究指出了金融时间序列的间歇性行为，以及它们与我们从湍流中了解到的现象的相似性【6，7】。这些结果显示了金融时间序列的非线性性质，因此强烈表明相关性的线性度量可能不足以充分描述数据。*亚历山大。haluszczynski@gmail.comMantegna[8]为了分析金融市场的层次结构，首先提出了基于股票之间线性相关性的最小生成树（MinimumSpanging Trees，MST）的概念。博南诺（Bonanno）[9]或内勒（Naylor）[10]等人进行了进一步的研究，他们调查的是外汇市场，而不是股票市场。Onnela【11，12】介绍了动态演化MST的框架。我们以这一概念为出发点，朝着以下方向发展：金融时间序列表现出非线性，我们的目标是在分析相关网络时捕捉这些影响。

因此，我们不仅基于线性皮尔逊相关，而且基于对线性和非线性相互关系都敏感的互信息来构建我们的网络。Dionisio【13】、Fedora【14】和Darbellay【15】等研究了互信息作为金融时间序列中相互依赖性的度量。然而，尚未对金融时间序列中线性和非线性相关性的性质进行详细比较。在本文中，我们通过使用纯线性度量证明了实质性信息是最少的，并提出了另一种方法，即选择互信息作为捕获线性和非线性相关性的度量。使用替代数据[16]可以创建线性特性保持不变但所有非线性特性被破坏的时间序列。因此，我们可以比较基于原始和线性化代理时间序列的网络拓扑度量，并研究非线性依赖关系。此外，这使我们能够直接量化非线性相关性，并推导出它们的定量度量。虽然许多研究都从经济物理学的角度研究了金融危机（如参考文献[17-19]），但我们将具体计算出危机期间非线性相关性的强度和影响。为了获得有关所研究资产集体动态的有用信息，我们创建了网络，并应用了不同的度量方法，如向心度、归一化树长和平均职业层[11]。最后，我们将这些方法应用于投资组合构建：将提出一种考虑非线性相关性的投资策略，以衡量投资敞口，与完全投资的投资组合相比，这将导致显著的表现优异。文章组织如下：第二节介绍了我们研究中使用的数据和方法。

第三节分析了从皮尔逊相关和互信息中获得的依赖矩阵。在第四节中，我们展示了在第五节中我们将我们的方法应用于投资组合构建时，从研究网络中获得的主要结果。第六.II节给出了我们的总结和结论。数据、相似性度量、复杂网络和代理。在Onnela[11]中，我们考虑了美国股市。我们从标准普尔500指数（S&P500 Index）中选择一部分股票，该指数代表美国500家资本最高、流动性最强的公司。。从1985年1月2日开始，我们的数据包括2015年12月31日之前指数中“幸存”的所有股票的每日收盘价，以便在整个期间具有一致的股票宇宙。这一共是N=152个时间序列，每个时间序列有7816个数据点。通常，股票价格p已转换为对数回报xxi，t=log pi，t- 对数pi，t-1.（1）为了获得动态演化的结果，我们将数据划分在多个重叠的窗口中，并计算每个窗口的度量。与参考文献[11]类似，我们选择了一个T=1000个交易日的固定大小滑动窗口，这相当于大约四年的数据。两个连续窗口之间的步长为δT=20个交易日。这确保了计算互信息所需的足够数据量。我们股票的时间序列定义为Xi={Xi，1…Xi，T}。所使用的数据可通过雅虎金融公开获取[20]。我们的时间范围足够长，可以调查一些关键的市场事件。数据涵盖了黑色星期一（1987年10月19日），当时全球股市在二战后首次崩盘。1997年图。1.

（a） 回报时间序列，（b）回报的自相关函数（蓝色）和回报的绝对值（绿色），（c）林肯国家公司（LNC）股票回报的相位图。相位图：相位Д（l）分散在相邻相位Д（l+1）上。到2001年，许多科技公司因互联网泡沫而过度投机和高估市场。泡沫在2002年破裂，7月和9月出现显著下降。最后，我们的数据包括2007/2008年次贷危机。当时，市场在2007年10月创下历史新高后下跌，2008年9月15日雷曼兄弟倒闭后发生崩盘。此外，我们考虑的时间跨度还包括一些重大的全球政治事件。其中包括1989年11月9日柏林墙的倒塌，引发了苏联的解体，以及2001年9月11日的9·11袭击。B、 相互依赖的措施1。皮尔逊相关系数量化股票之间相互依赖性的标准财务方法是皮尔逊相关系数ρ，ρXi，Xj=Pnt=1（Xi，t- xi）（xj，t- (R)xj）pPnt=1（xi，t- xi）pPnt=1（xj，t- 其中，xiare分别表示股票i和xitheirmean的股票收益率。它与区间[-1,1]有关，并允许直接比较不同资产的相关性，因为这是一个标准化度量。然而，皮尔逊相关性的一个严重问题是，它只捕捉线性相互关系。2、互信息众所周知，金融时间序列表现出非线性效应。如图1所示。

这里展示了林肯国家公司（LNC）股票的时间序列、自相关函数和相位图。相位图是点G={Д（l），Д（l）的集合+)} 式中，Д（l）是傅里叶变换的lthmodeД（l）=argT-1Xt=0xte-2πitl/T（3）和 模式延迟 = 本例中为1。随机不相关分布将导致相位图中点的随机分布。在这里，我们观察到一个显著的条纹图案。这清楚地表明，我们的股票回报数据中存在非线性效应[21]。R¨ath等人[22]已经在道琼斯指数的数据中显示了这种条纹模式的存在。由于我们不仅观察到LNC示例的类似影响，而且还观察到数据集中其他股票的类似影响，我们得出结论，相位相关性是一个通用特征。此外，收益的自相关性立即降为零，这意味着时间序列不会表现出线性记忆。同时，收益绝对值的自相关不会下降到零。没有线性过程可以产生这样的行为。其结果如下：如果金融时间序列中存在非线性效应，则纯线性皮尔逊相关系数仅捕获一小部分相互依赖，因此忽略了大量信息。因此，使用一种不同的度量方法来捕捉两个时间序列之间的所有关系将是有益的。这个问题的一个合适的解决方案是使用交互信息ei（Xi，Yj）[23]作为相互依赖的度量esei（Xi，Xj）=ZZp（Xi，Xj）logp（xi，xj）p（xi）p（xj）dxidxj，（4）其中p（xi，xj）是联合概率密度函数，p（xi），p（xj）分别是边际PDF。这是因为互信息对线性和非线性相关性都很敏感。

或者，可以通过两个变量sei（Xi，Xj）=H（Xi）+H（Xj）的边际熵和联合熵来表达互信息- H（Xi，Xj）。（5） H（Xi）表示变量xind的熵为definedash（Xi）=-Xxip（xi）log（p（xi）），（6）而变量xind XjreadsH（xi，Xj）=-XxiXxjp（xi，xj）log（p（xi，xj））。（7） 我们在这里切换到使用Sumsin代替积分的离散公式。这有一个非常重要的原因：互信息不是一个标准化的衡量标准，因此它的值可能介于零和整数之间。对于离散变量，可以规范化区间[0,1]中的互信息[24]，其中0表示两个变量不共享任何信息，1表示完全相同的概率分布i（Xi，Xj）=eI（Xi，Xj）pH（Xi）H（Xj）。（8） 我们使用分块方法来估计概率密度函数，以确保归一化。启发式地，我们发现dpT/4 e是一个很好的选择，因为在窗口大小=1000的情况下，箱子的数量为16个。我们知道，其他方法，如Kernel密度或基于最近邻的估计器[23]，可以更好地近似概率分布。然而，这将导致互信息不规范的问题。C、 网络结构最早是在Mantegna[8]提出的，为了总结存储在相关矩阵中的大量信息，图和更具体的最小生成树的概念非常有用。由于网络的简单性，我们选择TheMMT作为主要的网络类型进行分析。这里的概念是在距离最小，因此相关性最大的约束下，通过N-1条边连接N个节点（资产）。我们使用Prim算法构造MST【25】。与其他类型的网络相比，MST的优势在于我们不需要选择任何参数。

相反，项目会自动排列，从而确保可比性。weaim使用第II B节中的两个不同度量来研究仅捕获线性或线性和非线性相关性的图形的动态演化。然后对结果进行比较，并分析在哪些市场时期我们观察到这些指标之间的差异。在我们能够构建网络之前，我们需要通过使用适当的度量将每个时间步t中的相关和互信息矩阵转换为距离矩阵。对于互信息，这是通过应用dmi、tXi、Xj=1来实现的- 它（Xi，Xj）（9）到归一化互信息。由于皮尔逊的相关系数也可以取负相关值，因此我们必须将其转换为非负相关度量。为此，我们使用transformationdcorr，tXi，Xj=q2（1- ρtXi，Xj）（10），如Onnela【11】所述，完全满足距离度量的所有要求。当比较公式（9）和图。2、左：在每个时间步计算的基于皮尔逊相关的距离矩阵系数的平均值（a）和方差（c）。右：基于原始序列（蓝色）的互信息和所有代理实现的平均距离矩阵（青色）的平均值（b）和方差（d）。为代理实体化绘制了正负一西格玛误差范围（灰色），然而，误差非常小，人们几乎看不到它们。公式（10）我们观察到，如果时间序列呈线性反相关，即当其皮尔逊相关系数为负时，这两种距离度量表现不同。然而，在我们的案例中，所有股票时间序列在皮尔逊相关性方面都是正相关的，这在股票市场中是典型的情况。如果存在负相关的时间序列，那么就可以避免这个问题。g、 计算距离时，取皮尔逊相关性的绝对值。

现在，我们可以基于这两个依赖性度量在每个时间步骤t中构造msts ttttt。此外，我们还构建了所谓的阈值网络，其中我们只在距离小于某个阈值的节点之间保持连接。我们试探性地发现，20%的阈值是一个合适的值，即将资产与最小20%的距离相连，因此相关性最高。D、 代理当使用互信息作为相互依赖的度量时，我们同时捕获线性和非线性相关。为了分析由非线性依赖性引起的影响，我们需要分离线性和非线性贡献。替代数据允许我们通过破坏时间序列的非线性效应，同时保持所有线性特性，准确实现这种分离【16】。在这项研究中，我们使用所谓的傅立叶变换（FT）替代物，对时间序列进行傅立叶变换，从而将所有线性特性分离为振幅，而非线性特性存储在相位中。通过在傅里叶相位中加入均匀分布的随机数，我们破坏了所有非线性特性，而线性特性保持不变。傅立叶逆变换为我们提供了最终的替代数据X*k（t）=F-1{eX（f）}=f-1{X（f）eiφk（f）}。（11） 方程（11）定义了第k个代理实现。我们创建K=20个实现，并对每个实现计算的测量值进行平均，以获得更稳定的结果。F-1denotes逆傅立叶变换算子和eiφk（f）第k组均匀分布的随机相位，它们被添加到原始时间序列X的傅立叶变换X（f）中。Prichard和Theiler[26]表明，通过将相同的随机数集添加到所有时间序列的相位上，也可以保持皮尔逊相关性。