重新审视新凯恩斯主义模型的确定性

我们想指出，命题4.1不包括Bullard和Mitra在[BM02，命题3和附录C]中分析的模型，因为在他们的模型中，d<0。最后，Routh–Hurwitz准则[Mei95，定理1.1]，用于证明Gabaix研究的其中一个模型的稳定性（参见[Gab17，命题5.3]和[Gab16，命题9.7]），仅在我们的情况下暗示P的所有特征值都有正实部，因此它对我们的目的没有用处。在下文中（见第5节和第6节），我们分析了这些模型。在这一节的结尾，我们展示了一些数值例子来说明定理4.2；正如wealready在本手稿的介绍中所指出的那样，本文中所有示例中的unjus ti fied计算都是用Matlab完成的【Mat15】。请记住，我们在其余部分中的路径和含义，一方面是提供从理论分析中获得的结果，另一方面是通过数字示例来说明这些结果。示例4.4。首先，我们按照以下方式校准参数：β=0.99，σ=0.5，η=1.2和k=0.3。在这种情况下=0.3750 0.7500 0.62500.1125 1.2150 0.18750.1125 1.2150 1.1875,其特征多项式为x- 2.7775倍+1.9612倍- 0.3712（请记住，定理4.2保证区间（1，2.7775）中存在唯一特征值），其e值分别为0.3107、0.6620和1.8048。因此，在这种情况下，（1，2.7775）中包含的A的唯一特征值为1.8048。其次，现在我们按照Woodford[Woo99]校准参数；实际上，在这种情况下，wepickβ=0.99，σ=0.157，η=1.2，k=0.024。

在这种情况下=0.1585 1.0098 0.84150.0038 1.0142 0.02020.0038 1.0142 1.0202,其特征多项式为x- 2.1930x+1.3297x- 0.1569（请记住，定理4.2保证区间（1，2.1930）中存在唯一特征值），其e值分别为0.1547、0.8634和1.1749。因此，在这种情况下，（1，2.1930）中包含的A的唯一特征值为1.1749。最后，我们按照Clarida、Gal'i和Gertler[CGG00]校准了我们的参数；实际上，在这种情况下，我们选择β=0.99、σ=1、η=1.2和k=0.3。在这种情况下=0.5455 0.5455 0.45450.1636 1.1536 0.13640.1636 1.1536 1.1364,其特征多项式为x- 2.8355x+2.2391x- 0.5400（请记住，定理4.2保证区间（1，2.8355）中存在唯一特征值），其e值分别为0.5455、0.5784和1.7116。因此，在这种情况下，（1，2.8355）中包含的A的唯一特征值为1.7116.5。一些数据滞后的规则现在，我们想探索一个更现实的模型版本。在下文中，假设决策者对过去记录的特定政策的变化作出反应。为了探索这一事实，我们的下一个目标将是恢复和扩展[BM02，提案3和附录C]；在此之前，我们想回顾一下以下初等线性代数技术。引理5.1。设A是一个具有实数项的可逆矩阵。那么，A在单位圆盘外有唯一的特征值，当且仅当A-1在单位圆盘内具有唯一的特征值。讨论5.2。对于某些非惯性滞后数据规则【BM02，第1118–1119页】，与唯一性相关的矩阵如下：B=Дx+kДπ0-β|π0β|xkσ（ψx+k|π）νx+（k+β|σ）Пπ-σ,其中k>0，σ>0，β∈ （0，1），Дx≥ 0, φπ≥ 0，且其中一个是严格正的。

根据引理5.1，B在单位圆盘内有两个特征值，在单位圆盘外有一个特征值，当且仅当B-1在单元磁盘内有一个特征值，其余两个在外部。正如[BM02，Ap pendix C]所指出的，B的特征多项式-1是P（x）=x- bx+cx+d，其中b=1+β+kβσ>2，c=β-Дxσ，d=Дx+kДπβσ。读者很容易注意到，在这个模型中，我们的参数空间isS={（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0, φπ> 0}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx>0，Дπ≥ 0}.受讨论5.2内容的激励，我们的下一个目标将是证明以下内容：命题5.3。设P（x）=x-bx+cx+d∈ R[x]，其中b>0，d>0。那么，以下断言成立。（i） P正好有一个负实根。（ii）如果b>2，则P在单位磁盘外至少有一个根。（iii）P在(-1，0）当且仅当P(-1) < 0.（iv）如果P（1）<0，则P在（0，1）处正好有一个实根。（v） 如果P（1）>0，b>2，那么P在(-∞, 0），其他两个根位于单位磁盘之外。（vi）如果P(-1） <0且P（1）<0，则P在区间中正好有两个实根(-1，1），且剩余实根严格大于1。（vii）（参见[BM02，命题3]）假设b>2。如果P(-1） <0且P（1）>0，则P在(-1，0），其余两个在单元磁盘之外。（viii）假设b>2。如果P(-1） >0且P（1）<0，则P在（0，1）处正好有一个根，并且有两个根的实部绝对值大于1。（ix）假设b>2。如果P(-1） >0且P（1）>0，则P的所有根都位于单位圆盘之外。（x） 假设b>2。

P在单位磁盘上只有一个根，在IFA之外只有一个根，并且只有在满足以下四个条件中的一个条件时才有一个根。oP(-1） <0和P（1）>0。oP(-1） =0，P′(-1） 6=0且P（1）<0。oP(-1） >0且P（1）<0。oP(-1） >0，P（1）=0，P′（1）6=0。证据首先，P（x）的负实根是Q（x）=P的正实根(-x）=-x个- bx公司- cx+d；设vQ为Q系数的符号变化数。独立于c，可以看到vQ=1，因此笛卡尔的符号规则【BCR98，命题1.2.14】暗示P正好有一个负实数。此后，设λ，λ，λ为P的根。在不丧失一般性的情况下，假设λ<0，soit遵循λ+λ=b- λ> b>2。一方面，如果λ和λ为实，则上述上不等式表明λ>1或λ>1；另一方面，如果λ和λ是复数共轭，那么上述不等式再次表明它们的实部严格大于1。无论如何，这表明P在单位磁盘外至少有一个根。现在，让r是P在(-1, 0); 请注意pseq（x）：=（x- bx+cx+d，3x- 2倍+c，6倍- 2b，6）。现在，我们分别在-1和0；即Pseq(-1) := (-1.- b- c+d，3+2b+c，-6.- 2b，6），Pseq（0）：=（d，c，- 2b，6）让v-1（分别为v）是Pseq的符号变化数(-1） （分别为Pseq（0）），并记住r≤ v-1.- 用巴德-傅立叶定理。此外，还要注意v=2，因为d>0，b>0。其次，有四种情况需要区分；首先，如果-1.- b- c+d<0和3+2b+c<0，然后c>-1.- b+d，因此0>3+2b+c>3+2b- 1.- b+d=2+b+d，因为b和d都是严格正的，所以这种情况不会发生。

其次，如果-1.- b- c+d<0，3+2b+c>0，然后v-1=3，因此，将Bolzanojointly与Budan–Fourier相结合，我们可以保证在(-1, 0). 第三，如果-1.-b-c+d>0，3+2b+c<0，然后v-1=2，因此在(-1，0），作者：Budan–Fourier。最后，如果-1.- b- c+d>0和3+2b+c>0，然后一次m或v-1=2，因此在(-1, 0). 综上所述，我们检查了P在(-1，0）当且仅当P(-1） <0，如所述。接下来，我们研究了区间（0，1），假设P（1）<0；注意pseq（0）：=（d，c，- 2b，6），Pseq（1）：=（1- b+c+d，3- 2b+c，6- 2b，6）。这里有三种情况需要考虑，请记住，我们假设1- b+c+d＜0；首先，如果3- 2b+c<0，或6- 2b<0或6- 2b>0，则v=1，所以v- v=2- 1=1，在此之前，Bolzano加上Budan–Fourier确保在（0，1）处存在唯一的实根。其次，如果3- 2b+c>0和6- 2b<0，则v=3，因此v- v=-1，因此这种情况不会发生，因为0≤ v- v、 最后，如果3- 2b+c>0和6- 2b>0，然后再次v=1，sov-v=2- 1=1，因此Bolzano加上Budan–Fourier确保在（0，1）处存在一个u nique rearoot。综上所述，如果P（1）<0，我们已经检查了P在（0，1）处正好有一个实根，如所声称的。现在，假设P（1）>0，如上所述，用λ，λ，λ表示P的根。在没有失去一般性的情况下，假设λ<0，在我们已经看到之前，如果λ和λ是复数，那么两者的实部都严格大于1，特别是它们位于单位圆盘之外。此外，我们还证明了，如果λ和λ是实的和正的，那么它们中至少有一个严格大于1，并且假设λ>1，不损失一般性。如果λ=λ，那么我们就完成了，所以在下文中我们假设λ6=λ，因此两者都是P的简单结果。

假设，为了达成一个矛盾，λ∈ (0, 1);由于λ是P的单根，且d P（0）>0，则存在ε∈ （0，1）求λ±ε∈ （0，1），P（λ- ε） >0且P（λ+ε）<0。但这意味着，由于P（1）>0，Bolzano提出了另一个实根（0，1），这与前面的说法相矛盾。这表明，如果P（1）>0，那么P在(-∞, 0），其他两个根位于单位磁盘之外。最后，请注意，其余项目（v）–（ix）是前几项的直接结果，因此证明已完成。作为命题5.3的直接结果，我们得到了[BM02，命题3]的预期推广，即定理5.4。保留Di sc ussion5.2的符号，当且仅当满足以下四个条件中的一个（i）k（Дπ）时，B在unitdisk内有两个eig值- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）<0和k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) > 0.（ii）k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）=0，βДx6=σ（3+5β）+2k和k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0.（iii）k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0和k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0.（iv）k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β） =0，且βДx6=σ（β- 1) - 2k。因此，在这种情况下，我们的模型是一般确定的，确定区域isS′={（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）<0，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) > 0}∪{（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）=0，βДx6=σ（3+5β）+2k，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0}∪{（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) < 0}∪{（k，σ，β，Дx，Дπ）∈ S:k（Дπ）- 1） +（Дx- 2σ）（1+β）>0，βДx6=σ（β- 1) - 2k，k（Дπ）- 1） +Дx（1- β) = 0}.备注5.5。注意，在定理5.4中，条件k（Дπ-1） +Дx（1-β） >0是伍德福德所称的泰勒原理（见[Woo01]和[Woo03]）；定理5.4特别表明，泰勒原理对于保证确定性既不有效，也不必要。

布拉德和米特拉已经指出了这一事实【BM07，提案1、2和11】。在转到下一个模型之前，我们要考虑以下内容：示例5.6。我们已经证明，如果定理5.4中出现的所有条件都不满足，那么我们就不能期望确定性。例如，假设Дx=2.4，Дπ=3.2，σ=1，β=0.99，k=0.3；在这种情况下，B-1=1.3030-一点零一零一一-0.3030 1.0101 02.4 3.2 0,其特征多项式为P（x）=x- 2.3131倍- 1.3899x+3.3939，其特征值为-1.2003、1.2482和2.2653。事实上，这是因为P(-1） >0且P（1）>0（参见命题5.3（ix））。讨论5.7。现在，我们想考虑Woodford【Woo03】和Bullard以及Mitra【BM07，第1183页】研究的惯性滞后数据规则；在该特定模型中，与研究确定性相关的矩阵如下：=1+kσβ-σβσ-kββДxДπДr,其中k>0，σ>0，β∈ （0，1），Дx≥ 0, φπ≥ 0，^1r≥ 0，且至少在Дx、Дπ和Дris之间的e上严格正。在这种情况下，根据【Woo03，附录C，提案C.2】，Bullard和Mitra【BM07，提案1、2和11】给出了必要和充分的条件来确保确定性；在这种情况下，当且仅当B在单位圆盘内有一个特征值时，确定性h成立。已知【BM07，第1198页】B的特征多项式为P（x）=x- bx+cx+d，其中B=1+β+kσβ+Дr>2，c=β+1+β+kσβ^1r- σИx，d=σДx+kДπ- σ-1^1rβ.注意，在这种情况下，我们的参数空间isS={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0, φπ≥ 0，Дr>0}，∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0，Дπ>0，Дr≥ 0},∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx>0，Дπ≥ 0，^1r≥ 0}.再次，作为命题5.3的直接结果，我们得到以下结果：定理5.8。

根据讨论5.7中的符号，如果φr<σ（kИπ+Дx），则B在单位圆盘内有一个单一特征值，当且仅当满足以下条件之一时。（i）kσ（νπ- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）<0和k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) > 0.（ii）kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - Дr（2β+kσ+1）=0，σβДx6=（3+5β+Дr（1+3β+kσ））和k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) < 0.（iii）kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0和k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) < 0.（iv）kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β） =0，且σβДx6=（β- 2kσ- 1+Дr（1+kσ- β)).注意，在这种情况下，一个具有一般确定性inS′={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）<0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) > 0}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）=0，k（Дπ- 1+Дr）+Дx（1- β） <0，σβДx6=（3+5β+Дr（1+3β+kσ））}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（Дπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β) < 0, }∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S:kσ（ηπ）- 1） +（σДx- 2)(1 + β) - νr（2β+kσ+1）>0，k（Дπ）- 1+Дr）+Дx（1- β） =0，σβДx6=（β- 2kσ- 1+Дr（1+kσ- β))}.备注5.9。注意，定理5.4和定理5.8都处理非泛型边界情况；在定理5.8中，伍德福德已经观察到【Woo03，第672页脚注】他的确定性条件是有效的，但不是一般必要的，而我们在结果中提供的条件是完全通用的。最后，请注意，理论5.8中的确定性条件只适用于有界惯性值，而B Ullard和Mitra的条件【BM07，命题2】适用于无界惯性。我们以以下内容结束对该模型的讨论：示例5.10。

当然，我们想指出的是，假设νr<σ（kДπ+Дx）不足以确保确定性。例如，假设β=0.99，k=0.3，σ=1，Дx=4.3，Дπ=1.82，Дr=0.5；在这种情况下，B=1.3030-一点零一零一一-0.3030 1.0101 02.4 3.2 0.5,其特征多项式为P（x）=x- 2.8131倍- 2.1333x+4.3899，其特征值为-1.3204、1.0937和3.0399。事实上，这是因为P(-1） =2.7101>0，P（1）=0.4434>0（参见命题5.3（ix））。6、研究一个行为新凯恩斯主义模型，作为Routh-Hurwitz标准【Mei95，定理1.1】、Gabaix（见【Gab17，命题5.3】和【Gab16，命题9.7】）的结果，得出以下结论：命题6.1（Gabaix）。设P（x）=x- bx+cx- d∈ R[x]，其中b>0，c>0，d>0，p（1）6=0。那么，以下陈述是等价的。（i） P在（0，1）处正好有一个根，其余的根在复杂单元磁盘之外。（ii）序列（e，e，（ee- ee）/e，e）包含两个符号变化，其中e=1-b+c- d、 e=3- b- c+3d，e=3+b+c- 3d和e=1+b+c+d。（iii）e或≤ 0或ee- ee公司≤ 0、让我们简要回顾一下Gabaix研究命题6.1的最初动机是什么；事实上，在泰勒稳定性标准的基础上，包括行为主体[Gab17，命题3.1]，GABAX引入了一个具有向后看条款的行为新凯恩斯主义模型（见[Gab17，命题5.3]和[Gab16，命题9.7]）。

在这个扩展模型中，确保确定性的相关矩阵如下：=σφxβf+βf+kσMβfσ（βφπ-αfηρχ-1） Mβfαfσ（（η-1） ρ+1）Mβf-kβfαfηρχ+1βfαf(-ηρ+ρ-1） βf0ηχ1- η.在这种情况下，由于在该模型中有一个单一的预定变量，其余两个是跳跃变量，再次使用[BK80]，当且仅当B的单个实特征值的绝对值小于1，且其余两个是模大于1的复数时，确定性才成立。我们还想指出，在上述矩阵中涉及的所有参数中，φx和φπ都是非负的，M，Mf∈ [0，1]在GABAX研究的模型中代表一定程度的行为主义，正如Cochrane在[Coc16]中所观察到的那样。回到命题6.1，注意表达式ee- 就多项式的系数而言，Ee是二次的；我们的下一个目标是提供一个充分的条件来保证稳定性，该条件仅涉及多项式系数的线性表达式；即：提案6.2。设P（x）=x- bx+cx- d∈ R[x]，其中b>0，c>0，d>0，P（1）6=0。然后，以下断言成立。（i） P的所有实根都包含在区间（0，1+M）中，其中M=max{b，c，d}。（ii）如果P在（0，1）处只有一个实根，则P（1）≥ 0.（iii）如果3- 2b+c≤ 0或b≥ 如果P（1）>0，那么P在（0，1）有一个实根。（iv）如果b- c>0且P（1）>0，则P在（0，1）处有一个实根。证据让x∈ [0, +∞), 注意，P(-x） =-x个- bx公司- cx公司- d<0；这表明P的所有实根都是严格正的。所有th em都小于1+m ax{b，c，d}的事实正是由经典的Cauchy界所决定的[HM97，定理1]；这证明了第（i）部分。现在，假设P（1）<0，得出一个矛盾；记住P（0）=-d<0，我们必须区分两种情况。