重新审视新凯恩斯主义模型的确定性

一方面，对于某些x，如果P（x）>0∈ （0，1），thenBolzano定理暗示（0，1）至少有两个实根（Indeed，因为P（0）<0，P（x）>0和P（1）<0），所以我们得到了一个矛盾。另一方面，如果P（x）≤ allx为0∈ 对于某些λ，P（λ）=0∈ （0，1），那么λ必须是二的重数，这又是一个矛盾。最后，请注意，（iii）和（iv）部分已经在命题4.2和5.3的证明过程中显示；因此，证明已完成。讨论6.3。

我们在这里的计划是使用命题6.2部分描述Gabaix模型中存在确定性的集合；事实上，请记住，在他的模型中，确保再确定性的相关矩阵如下：=σφxβf+βf+kσMβfσ（βφπ-αfηρχ-1） Mβfαfσ（（η-1） ρ+1）Mβf-kβfαfηρχ+1βfαf(-ηρ+ρ-1） βf0ηχ1- η.我们可以使用Gabaix【Gab16，第64页】写下的B的特征多项式的表达式，以及在1【Gab16，第66页】处计算的该多项式的值，检查以下事实。首先，命题6.2的第（ii）部分表明确定性区域必须包含在边上：={（k，σ，α，αf，β，βf，M，Mf，η，ρ，χ，φx，φπ）∈ R： （1）- βf- αχ(1 - ρ))(1 - M+σφx）+kσ（φπ- 1) ≥ 0}.其次，命题6.2的第（iv）部分表明，确定性区域必须包含不等式给出的子集σ（（βf- 1) + β(η - 1) - ηαfρχ）Mβf-kσMβfφπ+(η - 1） （kσ+1+β+M- Mβf）+η（αfχ（ρ（M- 1) - M）- 1） +M+βf+kσMβf>0。最后，命题6.2的第（iii）部分表明，一方面，确定性区域必须包含由不等式给出的e的子集σMφx+（1- η） Mβf+ηαfρχM+M+βf+kσMβf≥ 3，另一方面，由不等式给出的σ（（βf- 1) + β(η - 1) - ηαfρχ）Mβf-kσMβfφπ+(η - 1） （kσ+1+β+M- Mβf）+η（αfχ（ρ（M- 1) - M）- 1） +M+βf+kσMβf+σMφx+（1- η） Mβf+ηαfρχM+M+βf+kσMβf≥ 3、可以很容易地检查命题6.1和命题6.2是否可用于获得必要和有效（分别为有效）条件，以保证Bullard和Mitra在【BM07，第1185页】中研究的模型的确定性；在这里，我们只写下命题6.2在其特定模型中给出的充分的不确定性条件（参见[BM07，命题3和4]）。定理6.4。

矩阵1- Дxσ1.- β-1kσ（Дπ）- 1) β-1σ(φπ- 1） σИr-kβ-1(1 - Дxσ）β-1(1 - Дxσ）0Дx（1+β-1kσ）- β-1kДπβ-1(φπ- Дxσ）Дr,（其中k>0，σ>0，β>0，Дx≥ 0, φπ≥ 0，^1r≥ 0，并且如果Дx<σ，则在（0，1）处正好有一个特征值-1, φπ≤ 1,(1 - νxσ）（β（1）- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- Дπ））<0，此外，以下不等式中至少有一个成立：(1 - Дxσ）（β（2- 3β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（2β（1+Дr）+2kσ（1- φπ)) ≥ 0,(1 - Дxσ）（1- 3β）+β（1+Дr）+kσ（1- φπ) ≥ 0,(1 - Дxσ）（β- ^1r- （1+Дr）（β+kσ））+β（β（1+Дr）+kσ（1- φπ)) > 0.在这种情况下，我们的参数空间isS={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0, φπ≥ 0，Дr>0}，∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx≥ 0，Дπ>0，Дr≥ 0},∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ R： k>0，σ>0，0<β<1，Дx>0，Дπ≥ 0，^1r≥ 0}，且泛型确定性在以下子集中成立：S′={（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S：σДx<1，Дπ≤ 1,(1 - Дxσ）（β（1- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- φπ)) < 0,(1 - Дxσ）（β（2- 3β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（2β（1+Дr）+2kσ（1- φπ)) ≥ 0},∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S：σДx<1，Дπ≤ 1,(1 - Дxσ）（β（1- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- φπ)) < 0,(1 - Дxσ）（1- 3β）+β（1+Дr）+kσ（1- φπ) ≥ 0}∪ {（k，σ，β，Дx，Дπ，Дr）∈ S：σДx<1，Дπ≤ 1,(1 - Дxσ）（β（1- β) - Дr（1+（1+Дr）（β+kσ））+β（β+Дr（β+1）+kσ（1- φπ)) < 0,(1 - Дxσ）（β- ^1r- （1+Дr）（β+kσ））+β（β（1+Дr）+kσ（1- φπ)) > 0}.我们还想用下面的例子来说明这个模型：示例6.5。假设β=0.99，k=0.3，σ=1，Дx=4.3，Дπ=1.82，Дr=0.5；在这种情况下，-0.2277-0.2510-0.1515-0.3030 1.0101 0-1.5308 0.7591 -0.1515,其特征多项式为P（x）=x- 0.6309倍- 0.6566x+0.1530，其特征值为-0.6758、0.2057和1.1010。

事实上，这是因为P(-1) = -0.8212<0且P（1）=-0.1344<0（参见命题5.3（vi））。请注意，在本例中，0.6309<2。我们想用以下内容来结束本节：示例6.6。我们想挑出假设P（1）≥ 0是确保确定性的必要条件（但不是有效条件）。例如，假设φx=1，φπ=2，α=0.5，ρ=0.35，β=0.99，η=0.05，χ=0.3，m=0.85，σ=0.2，k=0.053。在这种情况下，B=1.4244 0.2323 1.1488-0.0535 1.0177 -0.33710 0.0150 0.9500,其特征多项式为P（x）=x- 3.3920倍+3.7870倍- 1.3952，其特征值分别为1.3861、1.0030+0.0240i和1.0030- 0.0240i。实际上，这是因为P（1）=-2.2650e- 04 < 0.注意，即使在这种情况下，也有b- c<0.7。潜在限制到目前为止，在本文中，使用Budan–Fourier定理来解决确定性问题仅限于必须处理的特征方程为三阶的模型，因此需要问的一个自然问题是，是否有可能使用此结果来处理特征方程阶数较高的模型；本节的目标是简要解释这样做的潜在局限性。

我们将在以下内容中加以说明。事实上，我们考虑了Bhattarai、Lee和Park在【BLP14】中研究的模型之一；在这种模型中，参数空间isS={（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ R： β∈ (0, 1), η ∈ [0，1），ρR∈ [0, 1), γ ∈ [0，1]，k>0，Д>0，φY>0，φπ>0}，我们必须看看多项式P（x）=ax- ax+ax- ax+ax- a、 式中，a=β+1+β（η+γ+ρR）+（1- η） k级φ +1 - η+ (1 - ρR）φYk-1β,a=1+（β+1）（η+γ+ρR）+β（ηγ+ηρR+γρR）+（1- η)(1 - ρR）kφπ+ρR1- ρRφ +1 - η+ （1+βγ）φYk-1+1 - ρRη1 - η,a=（η+γ+ρR）+（β+1）（ηγ+ηρR+γρR）+βηγρR+（1- η)(1 - ρR）kφπ+ρR1- ρRφ +1 - η+ φYγk-1.,a=ηγ+ρR（η+γ+ηγ+βηγ），a=ηγρR。自P(-x）≤ 0表示任意x∈ [0, +∞), P的所有实根都必须是严格正的；此外，由于P的阶数是奇数，Bolzano定理保证P至少有一个实根。另一方面，由于在这种情况下确定性成立，当且仅当P h正好是单位圆盘内的三个根时，其中至少有一个必须是实的，并且包含在（0,1）处（事实上，否则P在单位圆盘内应该有0、2或4个根）；正如在[BLP14]中所观察到的，求和u p，确定性的一个必要条件是p（1）>0。因此，在这种情况下，确定性区域必须包含在内部（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1.我们的下一个目标是研究Budan-Fourier定理如何为确定性提供其他必要条件；实际上，让vbe表示seq（1）=（a）的符号变化数- a+a- a+a- a、 5a级- 4a+3a- 2a+a，2（10a- 6a+3a- a） ，6（10a- 4a+a），24（5a- a） ，120a）。此外，由于可以很容易地检查v=5，Budan–Fourier定理告诉我们，P在（0,1）处的实根数r小于或等于5- v、 还有那5个- v- r是0、2或4。

在这种情况下，由于确定性成立，当且仅当单位圆内正好有三个根时，因此r只能是一个或三个，这意味着5- vmust bezero，1或3，相当于说vcan只能是0、2或4。综上所述，这表明确定性区域必须包含内部人：=（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1，v=0∪（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1，v=2∪（β，η，γ，ρR，k，Д，φY，φπ）∈ S：φπ+（1- γ)(1 - β） k（Д+1）φY>1，v=4.读者会很容易注意到，虽然在【BLP14，第222页的命题】中通过对Rouch\'e定理的更强版本【Llo79，Theorem2】获得的必要和有效条件需要对超越函数进行求值，但我们通过Budan–Fourier给出的必要条件只涉及多项式求值。结论通过Budan–Fourier定理[Akr82，定理1]，我们以一种完整的分析方式证明了由新凯恩斯模型产生的若干线性方程组的实根的存在性和唯一性；事实上，我们已经这样做了，首先，对于货币供应遵循外生路径的模型而言【Gal15，3.4.2】，其次是当货币当局对标注的产出值作出反应时（参见【BM02，命题3和附录C】和【BM07，命题1、2和11】），最后是当代理人不完全理解未来政策时（参见【Gab17，命题5.3】和【Gab16，命题9.7】）。

我们还指出了我们的方法在跟踪特征方程高度复杂的模型时的潜在局限性。读者可能会问，为什么我们只使用Budan–Fourier定理来估计给定区间内多项式的实根数；这是因为本文研究的模型涉及四到十三个参数，从我们的角度来看，这并不明显，既不能在我们感兴趣的整个区间内计算多项式，也不能对它们进行太多的操作。这使得我们无法使用其他技术，如Sturm序列[BCR98，推论1.2.10]，来解决这个复杂的问题；当然，获得完全必要且充分的确定性条件通常不仅需要查看真正的根，还需要查看复杂的根。这就解释了为什么在最近的著作中（如[Lub07]、[Gab17]、[BLP14]）处理确定性问题的作者使用了更多sop组织化的工具，如劳斯-胡维茨标准[Mei95，定理1.1]、舒尔-科恩标准（见[Mar66，p age 198，Th.（43,1）]或[LaS86，page27，5.3]）或Rouch\'e定理【Llo79，定理2】。我们希望记住，我们的动机来自于使货币政策行为复杂化的理论预期均衡的不确定性问题，以及新凯恩斯主义模型产生的多重均衡难题；我们希望本文中使用的技术不仅可以帮助解决这些问题，还可以帮助解决与本文所考虑的模型不同的其他问题。致谢作者希望k Davide Debortoli、Jordi Gal、Thomas Lubik、Lluc Puig和Jes‘us Fern’andez Villaverde就本文内容提供有用且富有成效的建议和反馈。参考文献【Akr82】A.Akritas。对Budan和Fourier的一对定理的反思。数学

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