欧式期权定价公式的级数表示

（3.37）对于时空分数模型，看涨期权价格（3.36）可以表示为格林函数（2.35）和支付函数（变量发生适当变化后）的卷积[24]：Cθα，γ（S，K，r，u，τ）=e-rτ∞Z-∞hSeτ（r-q+u）+y- Ki+gθα，γ（y，τ）dy。（3.38）10 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel注意到，在我们未来的计算中，我们将在不丧失一般性的情况下，采用股息q=0，以简化符号。出现因子u“修改后的支付”是风险中性指标Q的结果，该指标由原始指标P的Esscher变换得到。详情见【24】。可以将所谓的风险中性因子u计算为u=-当积分存在时，logZeygθα，γ（y，τ=1）dy（3.39）。显然，积分收敛的必要条件是概率分布正尾的指数衰减。只要最大（负）不对称条件成立，也就是θ=α时，就可以保证这一点- 2, α > 1. 这种完全不对称的情况适用于参考文献[7]中讨论的空间分数差异，以及参考文献中讨论的空间-时间分数差异。[24, 26].让我们简要讨论一下主要模型参数的解释，即期权定价中的导数阶数α、γ和σ。首先，参数σ具有规模参数的作用，可以解释为市场风险。这意味着，如果σ增加，市场的不确定性增加，所有期权价格也会增加，反之亦然。另一方面，参数α和γ的情况并非如此。如【24，26】所述，它们发挥了风险再分配参数的作用。α的作用是空间再分配的特征，因为随着α的减少，分布的负尾变得“更重”（衰减较慢），大液滴的可能性显著增加。这一点已在[7]中进行了广泛讨论。

类似地，参数γ表征了“暂时”风险再分配，例如由一些记忆效应引起的风险再分配【42，43】。因此，它增加了短期/长期期权的风险，而降低了其他类型期权的风险。时空风险再分配的存在对各种可观察的现象有影响，例如，对波动微笑的形状有影响[3]。3.2. 时空分数差异的风险中性因素。不幸的是，并非总是能够通过分析表达风险中性因子u。然而，在空间扩散情况下（即γ=1），已知[7]u=σ√αsecπα（3.40），当满足最大负不对称假设时。对于时空分式情形，可以导出基于定价序列表示的积分表示。11在等式（2.30）上，将u改写为u=-日志∞Z-∞dy ey公司∞Zdl gγ（τ=1，l）gθα（l，x）=-日志∞Zdlgγ（τ=1，l）e-σ√lαsec（πα）。（3.41）最后一个表示是通过改变积分得到的。对于一个Caputotime分数阶导数，可以显示[24，15]，对于γ<1gγ（τ，l）=τγMγlτγ（3.42）其中，Mν（z）是Wright类型的函数，它允许以下Mellin-Barnes表示[32]：Mν（z）=c+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（νs+1- ν） z-sds2iπc>0。（3.43）有趣的是，Mellin-Barnes表示也适用于γ>1的情况，但它不会导致正的涂抹核。插入（3.41）并回忆（3.40），我们得到：u=-logc+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（γs+1- γ)∞Zl公司-东南方-lαudlds2iπ。（3.44）l上的积分很容易实现，因为它是伽马函数的积分表示[1]：∞Zl公司-东南方-lαudl=αΓ1.- sαus-1α. （3.45）积分在Re（s）<1的条带中收敛。因此，我们可以公式化TEA命题，这是（3.44）和（3.45）：命题1的简单结果。

设σ>0，1<α≤ 2和u=σ√αsecπα，则风险中性因子u允许表示：u=-日志αc+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（1-sα）Γ（γs+1- γ） us-1αds2iπ0<c<1。（3.46）12 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel图1。梅林-巴恩斯积分的奇点（3.46）。位于汇聚带左侧的极点ins=0，-1.-2.由Γ（s）项诱导，位于s=1，1+α，1+2α。由Γ（1）引起-sα）项。现在让我们用级数表示来表示（3.46），这对于数值应用更为方便：命题2。设σ>0，1<α≤ 2和u=σ√αsecπα，则对于任何γ>1-α风险中性因子u可以用绝对收敛序列的形式表示：u=-日志∞Xn=0(-1） nΓ（1+αn）n！Γ（1+γαn）un.（3.47）P r o f.特征量 （见（2.7））与控制其衰减的梅林-巴恩斯积分（3.46）相关，等于 = 1.-α- γ<0（3.48），因此（3.46）中的线积分等于减去右半平面{Re（s）>1}中剩余部分的和。它们由Γ（1）的极点诱导-sα）函数，它出现在每个负变元处，即当s=1+αn，n∈ N、 围绕这些点，Γ（1-sα）函数表示奇异行为（见（2.3））：Γ1.- sα~s→1+αn(-1） nn！α-s+1+αn（3.49），因此与（3.46）中Mellin-Barnes积分相关的残基为：Res（s=1+αn）=-(-1） nΓ（1+αn）n！Γ（γ（1+αn）+1- γ） un.（3.50）系列表示定价。13简化后，减去该残数和总对数之和得出公式（3.47）。2我们可以注意到，当在公式（3.47）中取γ=1时，我们只剩下u=-日志∞Xn=0(-1） nunn！=-日志e-u=u（3.51），如预期。

此外，根据对数（1+x）的经典泰勒展开式得出：u=Γ（1+α）Γ（1+γα）u+Ou（3.52），在α=2的情况下，我们有：u=-σΓ（1+2γ）+Oσ（3.53），恢复到高斯参数-γ=1.4时的σ。European call Option的系列表示现在请注意等式（3.38）的系列表示。这将分两步完成。首先，我们使用Mellin-Barnes表示对应于时空分数解的格林函数。其次，我们使用剩余求和公式来获得双级数表示。假设S，K，r，τ>0。设1<α≤ 2和0<γ≤ α. 我们将表示向量Z∈ Cby：Z：=ZZ公司Z、 Z∈ C（4.54）我们假设Carr-Wu最大负不对称假设θ=α-2成立，我们将用Cα表示买入价格-2α，γ（S，K，r，u，τ）：=Cα，γ（S，K，r，u，τ）。4.1. Mellin Barnes代表买入价。我们首先在C命题3中导出了复积分形式下的买入价格（3.38）的表示。Let[log]：=logSK+rτ和Let P Cbe多面体：={t∈ C、 0<Re（t）<1，Re（t- t） >1}（4.55）14 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.KorbelThen，对于任何C∈ P，以下保持不变：Cα，γ（S，K，r，u，τ）=Ke-rταc+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-1.- t+t）Γ（1-γαt）×(-[日志]- uτ）1+t-t型(-uτγ)-tαdt2iπ∧dt2iπ。（4.56）P r o f.在最大不对称假设下，格林函数gα-2α，γ（y，τ）：=gα，γ（y，τ）简化为（见等式（2.35））：gα，γ（y，τ）=αyc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-γαt）y(-uτγ)α!对于0<c<1，tdt2iπ（4.57）。将其插入公式（3.38）中得到：Cα，γ（S，K，r，u，τ）=Ke-rταc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-γαt）×∞Z-[日志]-uτ（e[对数]+uτ+y- 1） 年初至今-1dy(-uτγ)-tαdt2iπ。

（4.58）这里我们使用了[Se（r+u）τ+y- K] +=K[e[对数]+μτ+y- 1]+.可以按（4.58）中的部分进行积分，结果是：Cα，γ（S，K，r，u，τ）=-Ke公司-rταc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-γαt）t×∞Z-[日志]-uτe[对数]+uτ+yytdy(-uτγ)-tαdt2iπ。（4.59）让我们介绍一下指数项的梅林-巴恩斯表示法（见等式（2.5））：e[对数]+μτ+y=c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）（[对数]+μτ+y）-tdt2iπ，（4.60）系列表示定价。15对于c>0。插入（4.59）将绿色变量y上的积分转换为β积分[1]，结果如下：∞Z-[日志]-uτ（[对数]+uτ+y）-tytdy=(-[日志]- uτ）1+t-tΓ（1- t） Γ(-1.- t+t）Γ(-t） （4.61）使用函数关系替换（4.59）中的-tΓ(-t） =Γ（1- t） 简化分数后，我们得到了C中的二重积分，如公式（4.56）所示。当分子中gamma函数的参数为正时，即当t>0、t<1和-1.- t+t>0。2积分公式（4.56）可以表示为C的某个区域的残数之和，如下一节所示。4.2. 剩余总和。定理4.1。设1<α≤ 2和1-α< γ ≤ α. 在最大负不对称假设下（即θ=α- 2） ，由时空分数差异驱动的欧洲看涨期权价格为：Cα，γ（S，K，r，u，τ）=Ke-rτα∞Xn=0m=1(-1） nn！Γ(1 - γn-mα）(-[日志]-uτ）n(-uτγ）m-nα。（4.62）P r o f.设ω为复微分2形式ω：=(-1)-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-1.- t+t）Γ（1-γαt）×(-[日志]- uτ）1+t-t型(-uτγ)-tαdt2iπ∧dt2iπ（4.63），因此认购价格（4.56）可以写在紧凑的形式cα，γ（S，K，r，u，τ）=Ke下-rταZc+iRω。（4.64）与ω相关的特征向量为（见[36，37]）： =-1 +γα. （4.65）16 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel图2。

容许区域∏, 对于复2formω，是位于虚线斜线下的形式。该区域中只有一个兼容的圆锥体：绿色圆锥体，它与两个除数族D（斜线）和D（水平线）兼容。因此，每个C-奇点（点）的剩余量之和等于ω的积分。因此，必须考虑收敛的半平面：∏:= {t∈ C、 Re公司( . t） <Re( . c）}（4.66）是位于线下的一个（见图2）：Re（t）=（1-γα）（Re（t）- c） +c.（4.67），因为γ≤ α、 我们有0<1-γα≤ 因此，圆锥∏定义为∏：={t∈ C、 Re（t）<0，Re(-t+t）<1}（4.68）包含在∏中. 此外，它与两个系列的分配器（D）兼容=t型∈ C-1.- t+t=-n、 n个∈ ND=t型∈ C、 t=-n、 n个∈ N（4.69）由Γ引起(-1.-t+t）和Γ（t）函数。计算与奇异集D的每个元素相关的剩余：=D∩ D、 我们更改变量：u： =-1.- t+tu：=t-→t=-1+u- ut=定价的u（4.70）系列表示。17因此，在这个新的配置中，ω读数为ω=(-1)-uΓ（u）Γ（1- u） Γ（u）Γ（1- γ-1+u-uα）(-[日志]- uτ)-u型(-uτγ）1+u-uαdu2iπ∧du2iπ（4.71）有了这个新变量，除数和数据由Γ（u）和Γ（u）函数导出，并在类型（u，u）的每个点相交=(-n-m） ，n，m∈ N

从伽马函数（2.3）在奇点附近的奇异行为，我们可以写出：ω~（u，u）→(-n-m）(-1） n+mn！m！(-1)-uΓ（1- u） Γ（1- γ-1+u-uα）×(-[日志]- uτ )-u型(-uτγ）1+u-uαdu2iπ（u+n）∧du2iπ（u+m）（4.72）取残基并简化：Res(-n-m） ω=(-1） nn！Γ(1 - γn-m级-1α)(-[日志]- uτ）n(-uτγ）1+m-nα（4.73）根据C中Mellin-Barnes积分的留数定理（见方程式（2.21）），我们知道积分（4.63）等于整个圆锥∏的留数之和：Cα，γ（S，K，r，u，τ）=Ke-rτα∞Xn=0m=0(-1） nn！Γ(1 - γn-m级-1α)(-[日志]- uτ）n(-uτγ）1+m-nα（4.74）执行指数代换m→ m+1生成表示（4.62）并完成证明。24.3. 特殊情况。让我们讨论几个与众所周知的扩散模型相对应的特殊参数选择：o空间分数扩散：当γ=系列中的1（4.62）时，这些系列的扩展被简化，并对应于所谓的有限矩L'evy稳定模型下的买入价【7】Cα，1=Ke-rτα∞Xn=0m=1(-1） nn！Γ(1 -n-mα）(-[日志]- uτ）n(-uτ）m-nα（4.75）18 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel其中u=u=（σ/√2） αsecπα。此外，当α=2时，我们得到Black-Scholes（BS）价格c2,1=Ke的级数展开式-rτ∞Xn=0m=1(-1） nn！Γ(1 -n-m）-[对数]+στnστm级-n（4.76）o神经扩散：对于α=γ，扩散方程成为波动方程的推广【27】（对于α=2获得）。

在这种情况下，比值γ/α=1，因此公式可以表示为ascα，α=Ke-rτα∞Xn=0m=1m≥n个(-1） nn！（m）- n） 哦！(-[日志]- uτ）n((-u）1/ατ）m-n（4.77）让我们注意到，神经分化不是金融过程的典型现象，从理论角度来看，它更重要，因为它代表了分数分化的临界情况时间分数差异：取α=2 in（4.62）得出时间分数BS价格的系列扩展：C2，γ=Ke-rτ∞Xn=0m=1(-1） nn！Γ(1 - γn-m）(-[日志]- uτ）n(-uτγ）m-n（4.78）o在时间分数差异的货币远期近似值下：假设资产处于货币远期，即：S=Ke-rτ（4.79），然后，通过定义，[对数]=0，分数BS价格（4.78）变为：C（在MF）2，γ=S∞Xn=0m=1(-1） nn！Γ1.- γn-m级(-u）n+mτ（2-γ） n+γm（4.80）当γ<2时，级数（4.63）是一个幂级数（在一般级数（4.78）中不是这种情况，其中负幂出现），它从n=0开始，m=1，并变为：C（在MF）2，γ=S“σΓ（1+γ）SτγΓ（1+2γ）+O（σ）#（4.81）定价的级数表示……19其中我们使用了风险中性参数的近似值（3.53）。取γ=1并回顾Γ（）=√π、 我们剩下C（在MF）2,1=S√2πσ√τ+O（σ）\'0.4Sσ√τ（4.82），其中著名的Brenner-Subrahmanyam近似为BS价格[5]。4.4. 双和表示的收敛性。为了证明收敛速度，让我们计算典型期权价格的双倍和（4.62）中每个项目的贡献。表1给出了实际参数S=3800、K=4000、r=1%、σ=20%、τ=1、α=1.7、γ=0.9的期权序列收敛的示例；我们观察到收敛速度非常快。

我们看到，对于小数点后三位的数字精度，只需将n=6和m=6相加即可。n\\m 1 2 3 4 5 6 70 429.751 60.850 7.216 0.749 0.070 0.006 0.0001-203.666-37.572-5.320-0.6315-0.065-0.006-0.0002 28.893 8.903 1.642 0.233 0.0.028 0.003 0.0003 0.549-0.842-0.259-0.048-0.007-0.000-0.0004-0.352-0.012 0.018 0.006 0.001 0.000 0.0005-0.016 0.006 0.000-0.000-0.000-0.000-0.000-0.0006 0.005 0.000-0.000-0.000-0.000 0.000 0.000 0.000-0.000 0.000 0.000-0.000-0.000致电255.162 286.495 289.792 290.090 290.126 290.128 290.128表1。包含期权价格（S=3800，K=4000，r=1%，σ=20%，τ=1Y，α=1.7，γ=0.9）系列（4.62）中（n，m）项数值的表格。买入价格收敛到10的精度-3在只对级数的极少数项求和之后。结论在本文中，我们引入了一种由时空分数微分方程驱动的欧式期权的新表示，其形式为快速收敛的双级数（4.62）。借助C中的剩余求和，可以从欧式期权的梅林-巴恩斯积分表示中推导出该双系列。双分数期权定价模型的系列表示，结合了时空域的风险再分配，可能在实际交易中有用，因为该公式可以很容易地被从业者使用，而无需对高级数学技术有任何深入的了解（如Mellin transform20 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbelor Residence summation in Multimensional complex analysis），并且是可观测市场参数的显式函数。此外，还可以控制定价公式的数值精度。

与其他表示相反，不需要数值技术来评估选项，这通常是复杂积分表示的情况，其中积分无法解析表示。有趣的是，残数求和技术可以用于更多的应用，如通过Esscher变换获得的时空分数格林函数的风险中性因子的情况所示。我们可以考虑更多的应用，如最优对冲政策的表达式、美式期权的最佳行使时间等。我们甚至可以超越金融过程的领域，使用剩余求和技术来计算时空分数差驱动的随机变量的一般函数，或更一般地，任何过程驱动的随机变量的一般函数，其格林函数可用梅林-巴恩斯积分表示。确认TsJ。K、 感谢奥地利科学基金（批准号：I 3073）和捷克科学基金会（批准号：1733812L）的支持。参考文献【1】M.Abramowitz和I.Stegun，《数学函数手册》。多佛出版社（1972年）。[2] M.H.Akrami和H.E.Gholam，通过分数Black-Scholes期权定价方程的Mittag-Le-freger函数解析解的示例。压裂。计算应用程序。肛门。18，No 1（2015），38–47；内政部：10.1515/fca-2015-00044；http://www.degruyter.com/view/j/fca.2015.18.issue-1/issue-files/fca.2015.18.issue-1.xml.[3] J.-P.Aguilar和J.Korbel，《时空分数差驱动的期权定价模型：级数表示和应用》。分形。2（2018），纸张ID 15；内政部：10.3390/FractalFract201015。[4] 布莱克和斯科尔斯，期权定价和公司负债。J、 政治经济学。81，第3号（1973），637-654；内政部：10.1086/260062。[5] M.Brenner和M.G。