欧式期权定价公式的级数表示

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英文标题：
《Series representation of the pricing formula for the European option
  driven by space-time fractional diffusion》
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作者：
Jean-Philippe Aguilar, Cyril Coste, Jan Korbel
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we show that the price of an European call option, whose underlying asset price is driven by the space-time fractional diffusion, can be expressed in terms of rapidly convergent double-series. The series formula can be obtained from the Mellin-Barnes representation of the option price with help of residue summation in $\\mathbb{C}^2$. We also derive the series representation for the associated risk-neutral factors, obtained by Esscher transform of the space-time fractional Green functions.
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中文摘要：
本文证明了标的资产价格受时空分数扩散驱动的欧式看涨期权的价格可以用快速收敛的双级数表示。该系列公式可从期权价格的梅林-巴恩斯表示中获得，借助于剩余总和，单位为$\\ mathbb{C}^2$。我们还推导了通过时空分数格林函数的Esscher变换得到的相关风险中性因子的级数表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Series_representation_of_the_pricing_formula_for_the_European_option_driven_by_s.pdf (607.49 KB)

2022-6-2 18:37:08 上传

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关键词：欧式期权 期权定价 Presentation Quantitative Mathematical

由时空分数扩散驱动的欧式期权价格公式的级数表示Jean-Philippe Aguilar，Cyril Coste，Jan Korbel3,4,5 Abstracts在本文中，我们证明了由时空分数扩散驱动的资产价格的欧式看涨期权的价格可以用快速收敛的双级数表示。该系列公式是从期权价格的梅林-巴恩斯表示中获得的，借助于C中的剩余总和。我们还推导了相关风险中性因素的系列表示，该系列表示是通过时空分数格林函数的Esscher变换获得的。MSC 2010:26A33；34A08；91B25；91G20关键词和短语：时空分数差、欧式期权定价、梅林变换、多维复杂分析1。简介在金融文献中，基于L'evy（或α-稳定）分布的模型[45]发挥着重要作用，因为此类分布具有重尾，因此允许出现高斯模型无法描述的极端但现实的事件，如市场价格的突然上涨；自20世纪60年代曼德尔布罗特（Mandelbrot）和法曼（Famain）的工作以来，人们就知道它们在财务建模中的相关性【33，10】。它们还与分数分析密切相关：当价格对数收益率由具有最大负不对称（或偏斜）的α-稳定分布驱动时【7】，那么，经过一些合适的变换后，该资产上的期权价格是具有边界条件的空间分数偏微分方程的解【24】。这类模型最近广受欢迎，因为正如沃尔特在其金融模型认识论著作中所注意到的那样[44]，技术hasc Year Diogenes Co.，So fiapp。xxx–xxx，DOI：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 J.-Aguilar博士、Coste博士、Korbel博士改变了我们对风险的看法。

当交易者只能在屏幕上看到收盘价（即给定交易日的最终价格）时，高斯假设对他们的决定产生了主导影响。但是，当数据提供商能够收集和重新发布今日市场数据时，很明显，日内价格呈现出持续上涨，因此交易员和做市商开始考虑重尾模型。随着高频交易，一场新的革命已经开始：如今，金融工程师需要考虑在短时间内将大量交易聚合起来，与非交易周期交替进行。锁定时间不再适应真实的市场动态，旧的“市场时间”假设似乎更合适。Montrolland Weiss【34】提出了一个非常简单的想法：他们不考虑已执行的时间步长，而是允许步长随一些统计分布随机变化。该模型称为连续时间随机游走模型（CTRW），是一个很好的金融资产逐点动态建模框架：Goren Flo等人【16】解释了为什么CTRW是建模德国和意大利债券价格（德国国债和意大利国债）的统计相关候选模型，并推导出相应的时间分数PDE。为了混合时空分馏的优点，引入了时空双分馏，并从理论角度进行了广泛研究[15、23、28、29、31、32、39]；然而，最近才在财务建模中考虑到这一点[8、14、24、25、26]。它的结构比时间和空间分数模型的简单组合更为完整，因为它表现出包括大跳跃和记忆效应在内的非平凡现象，这不能理解为α稳定过程的简单市场时间重新参数化。

让我们也提一下，它在实际系统中也有许多应用——金融过程代表着最有前途的领域之一，在这些领域中，分数微分和一般分数微积分已经成功应用【2、12、20、22、21、35、41、42】。然而，在期权定价方面，Black和Scholes首先描述的旧高斯模型仍然是市场从业者使用最多的模型。主要原因是该模型是解析可解的，即期权的价格可以很容易地用市场参数的元素函数表示。BlackScholes模型的实际推广，如切换多重分形模型[6]、随机波动模型[18、19]或跳跃过程[40]，充其量具有半封闭的Pricingformula，或者必须借助数值模拟来解决。而且，对于我们前面提到的时空分数差分模型，定价公式采用梅林-巴恩斯积分表示的形式【24】，它是定价的系列表示。3对于实践者来说是难以处理的，其数值估计可能是错误且耗时的。本文的目的是证明将这种积分表示转换为一个快速收敛的二重级数是可能的，它不涉及任何高级数学算子。此外，可以很容易地控制结果价格的数值精度。级数的计算基于C中的多维Almellin变换和剩余求和。论文组织如下：第2节介绍了多重Mellin-Barnes积分的基本概念，讨论了分数微分的性质及其在期权定价中的应用。

在第3节中，我们推导了所谓风险中性参数的闭合公式。第4节介绍了本文的主要结果，即由时空分数差驱动的欧式看涨期权的级数表示，并讨论了几种特殊情况。最后一节是结论。2、初步结果在本节中，我们简要总结了基于分数差异的期权定价的主要结果。Carr和Wu【7】引入了第一个空间分数期权定价模型，并在参考文献【24】中对时空分数差的情况进行了推广。这些模型与梅林-巴恩斯积分密切相关；为了计算这些积分，我们首先介绍了多维络合分析和留数理论中的一些概念。2.1. 梅林变换和剩余求和。我们在没有证明的情况下，列举了一维和二维Mellin变换的概念和性质，这将有助于推导本文的主要结果。[11]提供了一维梅林变换理论的证明和全部细节。例如，可以在经典教科书【17】中找到多维络合物分析的介绍，并在【36，37】中开发了Mellin-Barnes积分的特定案例的应用。2.1.1. 一维梅林变换。让我们简要总结一下梅林变换的主要特性：1。定义在R+上的局部连续函数f的梅林变换是函数f*定义byf*（s） :=∞Zf（x）xs-1dx（2.1）4 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel积分（2.1）收敛到的复平面{α<Re（s）<β}区域通常称为变换的基本条带，有时表示为<α，β>。2.

指数函数的梅林变换定义为乌勒伽马函数：Γ（s）=∞Ze公司-xxs型-1dx（2.2），带收敛条{Re（s）>0}。除此条带外，它可以分析继续，除了每个负整数s=-n其中It表示单数行为Γ（s）~s→-n个(-1） nn！s+nn∈ N（2.3）3。梅林变换的反演是通过收敛条带中沿任意垂直线的积分进行的：f（x）=c+i∞Zc公司-我∞f*（s） x个-sds2iπc∈ （α，β）（2.4），尤其是对于指数函数，我们得到了所谓的CahenMellin积分：e-x=c+i∞Zc公司-我∞Γ（s）x-sds2iπc>0（2.5）4。当f*（s） 是线性变元Gamma函数乘积的比率：f*（s） =Γ（as+b）。Γ（ans+bn）Γ（cs+d）。Γ（cms+dm）（2.6）然后我们谈到梅林-巴恩斯积分，其特征量定义为 =nXk=1ak-mXj=1cj（2.7） 控制f的行为*（s） 当| s |→ ∞ 因此，计算（2.4）的可能性是通过对定价序列表示的解析延拓的余数求和。5f级*（s） 收敛条的右侧或左侧： < 0 f（x）=-XRe（sN）>βResSNf*（s） x个-s > 0 f（x）=XRe（sN）<αResSNf*（s） x个-s（2.8）例如，在Cahen-Mellin积分的情况下 = 1和e-x=XRe（sn）<RESSN（s）x-s=∞Xn=0(-1） nn！xn（2.9），如通常的指数函数泰勒级数所预期的。2.1.2. 多维梅林变换。梅林变换也可以扩展到多维域。以下是多维梅林变换的主要属性：1。设ak，cj，是C中的向量，bk，dj是一些复数。Lett：=tt和c：=复写的副本C.符号“.”表示欧几里德标度积。当我们处理zc+iRω（2.10）类型的积分时，我们在cw中谈到梅林-巴恩斯积分，其中ω是一个复微分2形式，读作ω=Γ（a.t+b）。Γ（an.tn+bn）Γ（c.t+d）。

Γ（cm.tm+bm）x-泰-tdt2iπ∧dt2iπx，y∈ R（2.11）由Gamma函数的奇异性诱导的奇异集dk：={t∈ C、 ak。tk+bk=-nk，nk∈ N} k=0。n（2.12）称为ω的除数。ω的特征向量定义为 =nXk=1ak-mXj=1cj（2.13），容许半平面∏:= {t∈ C、 Re公司(.t） <Re(.c） }（2.14）2。让ρkin R，hk:C→ C be线性应用和∏k型∏kbe asubset：={t∈ C、 Re（hk（tk））<ρk}。（2.15）6 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.KorbelA cone in Cis a笛卡尔积∏=∏×∏（2.16），其中∏和∏属于类型（2.15）。其面魟kare魟k：=∏kk=1，2（2.17），其可分辨边界或顶点为Π := φ∩ φ. (2.18)3. 设1<n<n。我们将除数D=∪nk=0将复数微分形式ω分成两个子族D：=∪nk=1Dk，D：=∪nk=n+1Dk，D=D∪ D、 （2.19）我们说圆锥体∏ 与除数族D兼容的CI如果：-其可分辨边界为c；-每个除数和Dintersect最多有一张脸：Dk∩ ^1k= 对于k=1，2。(2.20)4. 多维Mellin-Barnes积分的留数定理[36，37]：如果 6=0，如果∏ Π是位于容许半平面内的相容圆锥体，thenZc+iRω=Xt∈Π∩（D）∩D） Restω（2.21），级数绝对收敛。这些留数可以理解为柯西留数的“自然”推广，即：Resf（t，t）dt2iπtα∧dt2iπtα=(α- 1)!(α- 1)!×α+α-2.tα-1.tα-1f（t，t）| t=t=0（2.22），其中α和α是严格的正整数。2.2. 时空分数差。时空（双）-分数阶扩散方程是非自然导数的普通扩散方程的推广。最流行的形式之一是基于Caputo时间分数阶导数和Riesz Feller分数阶导数。它可以表示为*Dγt- u[θDαx]g（x，t）=0（2.23），其中x∈ R和t∈ [0, ∞). 参数可以获取以下值：α∈ (0, 2], γ ∈ (0, α].

不对称参数θ在所谓的定价序列表示中定义。7Feller Takayasu钻石|θ|≤ 最小值{α，2- α}.*Dγt表示Caputofractional导数，定义为*tDνtf（t）=Γ（dνe-ν） Zttfdνe（τ）（t- τ)ν+1-dνedτ（2.24）和θdαxdenotes是Riesz-Feller分数导数，通常通过其傅里叶图像asF[θdνxf（x）]（k）=-θψν（k）F[F（x）]（k）=-u| k |νei（signk）θπ/2F[f（x）]（k）。（2.25）很自然，这两个导数都成为普通的导数算子，因为导数的阶数是一个自然数。根据时间导数γ的阶数，方程需要一个或两个条件。Apartfrom标准初始条件g（x，t=0）=f（x），（2.26）γ>1时，需要输入条件g（x，t）t | t=0=f（x）。（2.27）通常，我们选择f（x）≡ 0（本文其余部分也将使用此选项）。许多作者对时空分数差异进行了研究，其中最著名的可能是Goren Flo等人的论文【15】，在这篇论文中，还可以找到所有技术细节。在这里，我们简要地修改了时空分数差异的几个重要方面。首先，由标度指数给出基本解（也称为格林函数）g（x，t）的标度Ohm, 所以我们得到了scalingg（x，t）=tOhmGxt公司Ohm（2.28）其中Ohm = γ/α. 其次，对于特定的参数值，可以恢复已知的分布。对于γ=1，即空间分数扩散，我们恢复了由α稳定分布驱动的L'evy扩散。对于γ=1和α=2，我们恢复高斯分布驱动的正态扩散。为了表示解g（x，t），通常将等式（2.23）转换为其傅里叶拉普拉斯图像（xF→ k、 tL公司→ s） 。让我们提醒一下初始条件f（x）=0和f（x）=δ（x）。这导致代数方程^′gθα，γ（k，s）sγ- sγ-1+θψα（k）^′gθα，γ（k，s）=0。

（2.29）原始解gθα，γ（x，t）可以用FourierLaplace逆变换表示。我们展示了方程式（2.23）基本解的两个重要表示。8 J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel参考文献[23]中详细讨论的第一种表示法对于γ<1的情况非常重要，并且基于Schwinger技巧1/A=R∞e-拉德。这使得可以重写表达式1/（sγ+θψα（k））asR∞e-lsγe-lθψα（k））dlso可以根据s和k分离函数。因此，可以将分布重写为两个核的积分组合gθα，γ（x，t）=Z∞gγ（t，l）gθα（l，x）dl（2.30），其中gγ和gθα是单个分数阶微分方程的解gγ（t，l）l=*Dγtgγ（t，l），（2.31）gθα（l，x）l=θDαxgθα（l，x）。（2.32）每个方程代表一类单一分数扩散过程。第一个方程描述了时间分数差，而第二个方程表示导致α稳定分布的空间分数差。在形式上，也可以对γ>1使用这种表示，但在这种情况下，gγ（t，l）不再为正，因此不能被解释为涂抹核（详情见[23，24]）。另一方面，可以使用Schwinger表示来计算一些导出的量，例如分布的矩。我们在第3.2节中演示了这种方法，其中我们使用这种表示法来计算与时空差异相对应的风险中性因素。或者，可以通过梅林变换技术将公式（2.29）转化为梅林-巴恩斯积分来求解。反拉普拉斯变换ofEq。（2.29）读取[15]：^g（t，k）=Eγ（θψα（k）tγ），（2.33），其中Eγ（x）=P∞n=0xnΓ（γn+1）是Mittag-Le-fluer函数。

可以通过Mellin-Barnes积分asEa（z）=2πic+i来表示∞Zc公司-我∞Γ（t）Γ（1- t） Γ（1- at）(-z）-tdt，（2.34），其中c∈ （0，1），这是由梅林变换定理[11]给出的。经过反复的简单计算，最后给出了Mellin Barnesrepresentation of space-time fractional Green function Asseresentation of THE PRICING。9gθα，γ（x，t）=αx2πic+i∞Zc公司-我∞Γtα1-tα1- t1级-γtαα-θ2αt1-α-θ2αt×x个(-utγ）1/αtdt（2.35），其中伽马分数定义为Γx、 。xny。ym公司=Γ（x）。。。Γ（xn）Γ（y）。。。Γ（ym）。3、时空分式模型中欧式看涨期权的定价我们回顾了期权定价原理及其在双分式扩散模型中的应用。在本节末尾，我们将重点讨论风险中性因子的序列表示，它将著名的Black-Scholes风险中性因子σ推广到我们更广泛的模型类别。3.1. 期权定价。期权定价包括两个重要方面。首先，一个现实的基础价格模型，其次，一个适当的对冲政策，最大限度地消除风险。最好是完全消除风险。基于有效市场的假设，最流行的对冲政策是风险中性定价。在这种情况下，欧洲类型的期权价格，即具有给定到期时间的期权，计算为asC（St，K，r，σ，t）=e-rτhC（ST，K，r，σ，T）| FtiQ（3.36），其中τ=T-t、 Q是所谓的风险中性度量，相当于描述价格演变的原始概率度量P。对于由其日志返回描述的指数过程，风险中性度量由Esscher变换给出[13]。t=t时的终端条件（或等效地，τ=0的初始条件）由期权的payoff给出，对于所有期权，其等于toC（ST，K，r，σ，t）=max{ST- K、 0}=：[ST- K] +。