市场时机的数学

为了匹配周期数据，将随机定时路径设置为具有与数据相同的一和零分数，即M个定时路径的p的平均值设置为p=pb。这是通过使用Matlab的rand函数生成一个长度为N的随机实数序列来实现的，该序列是从[0，1]范围内的均匀分布中提取的，如果N<pbor，则将序列中的每个项设置为1；如果N<，则将其设置为0≥ pb。图4将SM=10返回路径显示为半对数图中的灰色细线，类似于图2（c）。红线是可行集ρbandρw的边界，而粗黑线是f=0.6平衡基金的数据。在进一步检查返回PDF之前，有必要回顾一下随机乘法过程中分布的几个事实，例如方程2.4.2随机乘法过程中的分布。中心极限定理保证随机数之和在和中大量项的限制下收敛到高斯（正态）PDF。随机数的乘积，如方程式2中用于计算回报的乘积，不具有这种特性。相反，随机乘法过程（正数）的PDF依赖于生成具有长尾的对称PDF的罕见序列。PDF的平均值（或任何时刻的平均值）敏感地取决于抽样大小M，并且，直到lm接近可能结果的数量，与模式相比变得越来越大【11】。尽管如此，我们可以做的是取等式2的几何平均值的对数，将收益的乘积改为对数收益的和：logρ1/Nj= N-1NXilog（firsi+（1- fi）rbi）。（4） 等式4表示几何平均值的对数由对数返回的平均值给出。然后，对数返回的PDF确实遵守中心极限定理，收敛到高斯PDF。

此外，如果某物的对数分布为高斯分布，则该某物具有对数正态PDF【11】。换句话说，markettiming的返回PDF是对数正态的，这是对数基本属性的简单结果。此外，如果u和σ分别是高斯PDF的中值和方差，则eu是中值和eu-σ是对数正态PDF的模式：模式是最可能的结果，小于对数正态PDF的中值。因此，从基本考虑来看，市场时机最可能的结果是回报率低于回报率PDF的中位数。为了说明这一点，图5（a）绘制了图4蒙特卡罗数据的期末对数收益柱状图。即使M=10交叉地对可行集合中的10阶不同路径进行采样，收敛到高斯PDF也是明显的，如公式4所预测的。极端处的绿色和紫色条分别是ρwandρb的结果。橙色条表示f=0.6平衡指数基金的中期回报和对数回报，（a）（b）图5：（a）对数回报和（b）回报的概率分布函数，根据M=10次试验（p=pb）估计≈ 0.64. 绿色和紫色竖线分别是最差和最好的时机组合。橙色条是PDF的中位数和观察到的f=0.6平衡指数基金的回报率，它非常接近中位数，因此在这个尺度上无法区分。（b）的插图是完整的数据范围，显示了最优时机组合（紫色条）在分布尾部的极低概率位置。在本图中无法区分，其原因将在下一节中讨论。图5（b）绘制了期末回报（非对数回报）的柱状图。预测的带有长尾的对数正态形式也很明显。

插图显示了整个数据范围，以指示返回尾部的长度。彩色条的含义与图5（a）中的含义相似，只是用于返回PDF而不是logreturn PDF。最高概率结果是分布的模式（最大），它小于橙色条标记的中值回报。4.3中值的期望值期望值运算符E给出aPDF的最可能值。经过附录C中详细给出的计算后，方程式4中对数回报分布中值u的期望值为u=Ehlogρ1/Nji=对数（pb？rs+（1- pb）’rb），（5）其中‘rs’表示股票和债券资产的几何平均回报率。回忆Pb是观察到的股票回报率超过债券回报率的时间段的分数。对数回报分布的中位数由两项资产的加权平均数的对数和各资产回报率超过另一项资产回报率的时间段p的分数给出的权重得出。返回PDF的中位数为eu。请注意，因为在数据pb的时间段内≈ 0.64，即使用方程式5右侧的f=0.6平衡基金的对数回报率很好地近似于ρb的精确结果，当然，这是无法先验知道的。如上所述，在图5中，主题收益率和f=0.6平衡指数基金的收益率在图的规模上无法区分。需要注意的是，图5显示了无成本市场时机的PDF。实际上，高于指数基金成本的市场时机成本会使PDF向左移动，但可行性集合的边界和PDF的中值不会移动，因为它们是根据基金数据计算的，而基金数据已经包括了较小的指数基金成本。

在实践中，蒙特卡罗模拟所估计的是市场时机最有可能短缺到适当加权静态投资组合给出的主题回报的下限。5讨论在本文的分析中，可以对一些批评进行分级。例如，市场时机选择的拥护者会声称，他们的时机选择图6：使用可比较长度的公开数据（黄线）重新定价图4，增加了两个市场时机选择基金。红线是最佳和最差的时机组合回报路径。黑线是观察到的f=0.6平衡指数基金。系统不是随机的，因此它们能够选择计时路径，使收益远远位于PDF的右尾，即生成随机路径（随机f序列）的策略不能代表实际的市场计时。对此有两个答案。一是可行集已被明确定义，这只是一个事实，即所有市场时机选择路径，无论它们是如何生成的，都包含在可行集中。因此，可行集的任何采样都会生成有效的定时路径。第二个答案在图6中，图4中增加了晨星归类为TAA基金的两支基金的收益路径（黄线），这两支基金有1994年的公开收益数据，几乎与指数基金数据系列一样长。附录D提供了这两支基金的详细信息，晨星对这两支基金的评级高于平均水平。虽然这些市场择时基金既不限于两种资产类别，也没有进行全有或全无的转换，但正如预期的那样，它们的回报路径包含在可行集合中。

得出的结论是，现实生活中的市场计时器在可行集内，除了成本外，PDF都能正确地描述，并且PDF的随机抽样确实能正确地描述市场计时方案预期的收益分布。图6还很好地说明了实时而非模拟的市场时机数据的主要结果。这些长寿命、高于平均水平的市场择时基金在一段时间内的回报率中位数落后，而最有可能的结果是f=0.6的平衡型基金，正如简单的数学所说。这一长期观察结果与近期的分析结果一致，后者涵盖的时间更短，但TAA基金更多【7】。一个更微妙的批评是，我没有反驳市场时机。这是因为可能存在隐藏变量。Hiddenvariables表示信息，如收益、账面价值、任何信息，市场计时器可以将这些信息放入生成一条路径的函数中。虽然观察到的最佳定时路径fb在通过NIST测试的程度上是随机的，但有可能存在一组隐藏变量，这些变量可以组合在一个函数中，从而产生最佳定时路径fb。好的伪随机数生成器也通过了NIST测试，但由确定性系统生成。考虑到图6中的基金数据，我认为可能性很小，但这可能是真的，因此市场时机选择在数学上并没有被推翻。亲爱的读者，请放心吧。6结论我利用1993-2017年美国股票和债券总市场指数基金24年的数据，检验了一个双资产、全有或全无的市场时机模型。

该模型有意保持简单，以查看市场时机的基本数学原理，回答以下问题：成功的市场时机选择的可能性是多少？事后来看，通过总是选择每个季度回报率较高或较低的资产，很容易计算出所有市场时机回报路径必须位于的可行市场时机路径集的边界。然而，历史最优定时路径与随机序列无法区分；这是不可预测的，而且没有编码[7]中的任何信息，“我们发现，在我们研究的较长时间内，很少有战术基金比先锋平衡指数产生更好的风险调整回报。不仅战术分配基金表现不佳，而且没有一只基金表现优于简单、低成本、被动的基金。”未来最佳计时路径。关键的观察结果是，返回是一个乘法过程，因此其PDF是对数正态的。这意味着一个数学事实，即即使在考虑成本之前，市场时机最可能的结果是低于中值的回报。这源于对数的初等性质。换句话说，simple Math表示，市场时机选择最可能的结果是表现不佳。由于市场时机回报PDF的中位数可以直接计算为模型资产回报的加权平均值，权重由每种资产比另一种资产具有更高回报的时间段的分数给出，因此可以确定这种表现不佳的确切原因。

在数据的时间段内，中期回报率接近静态60:40股票：债券余额指数的回报率；尽管如此，Pb的值不必一直固定。为了分析的简单性和结果的清晰性，本文中的模型只有两个资产类别；然而，很明显，该方法可以扩展到任何数量的资产类别。2017年11月2日，雅虎财经（Yahoo Finance）撤销了一份指数基金数据。数据涵盖1993年第一季度至2017年第三季度的Vanguard Total Stock Market Index（VTSMX）Vanguard Total Bond Market Index（VBMFX）Vanguard Balanced Index（VBINX）B NIST测试套件NIST测试套件【10】包括15个测试二进制序列随机性的统计测试。该套件旨在测试随机数或伪随机数生成器的质量，这就是为什么大多数测试需要比股票和债券收益的金融时间序列更长的数据序列（几个数量级）。然而，对于其中四个测试，99位序列接近100位的最小建议长度。应该注意的是，15项测试中有两项测试测试二进制序列的一致性，即1和0的数量的概率相等，因此不适用于历史上的最佳定时序列。我使用Gerhardt实现的测试套件forMathematica[12]。以下摘自【10】，简要描述了我使用的四种NIST测试。在每个描述之后，我给出测试的P值，其中P≥ 0.01表示FBI随机达到99%的置信水平。这四个测试是：运行测试。运行测试的目的是确定不同长度的1和0的运行次数是否与随机序列的预期相同。特别是，该测试确定零和一之间的振荡是过快还是过慢。

P=0.80。离散傅里叶变换（光谱）测试。该测试的目的是检测被测试序列中的周期性特征（即相互关联的重复模式），这表明偏离了随机性假设。P=0.32。串行测试。该测试的目的是确定2mm位重叠模式的出现次数是否与随机序列的预期大致相同。P=0.50。累计总和测试。测试的目的是确定相对于随机序列累积和的预期行为，测试序列中发生的部分序列的累积和是否太大或太小。P=0.01。C期望值的计算从方程2的几何平均值开始，取双方的对数，然后应用期望算子得到对数ρ1/Nii=E日志纽约市（firsi+（1- fi）rbi）！1/N. （6） 表示u=E日志ρ1/N, 通过期望运算符的线性u=N-1NXiE[对数（firsi+（1- fi）rbi）]（7）和Jensen不等式u≤ N-1NXilog（E[菲尔西+（1- fi）rbi]）。（8） 为了简单起见，根据支持的数值结果，我假设等式8成立。然后，通过重复使用E的线性，对数内的表达式为[firsi+（1- fi）rbi】=E【fi】E【rsi】+Cov【fi，rsi】+（1）- E【fi】）E【rbi】+Cov【1】- fi，rbi），（9），其中Cov是协方差。由于本文中的FIA是随机序列，因此它们与股票和债券收益率RSI和rbi不相关，且协方差项均为零；尽管如此，可以构建与收益相关的时序路径，在这种情况下，协方差项将不为零。按结构[fi]=pb。

并且，在注意到E【rsi】=’r和E【rbi】=’r分别是股票和债券回报的几何平均值后，方程式5得出结果。D战术分配基金2017年11月6日从雅虎财务部撤销的基金数据和目标摘要。数据涵盖1994年第一季度至2017年第三季度。我不是故意挑这些基金的毛病。他们是晨星（Morningstar）中唯一既属于战术资产配置类别，又拥有足够长的公开收益序列的公司。晨星对五颗星中的四颗星进行评级，他们已经经营了23年，管理着数十亿美元的资产，很明显，这些基金都是高于平均水平的、成功的择时市场基金。只是，它们没有为投资者带来高于平均水平的回报。Putnam动态资产配置平衡（PABAX）。该基金将其45%至75%的资产分配给股票，25%至55%分配给固定收益证券。它主要投资于美国和任何规模的外国公司的权益证券（成长股或价值股或两者兼有）。该基金还投资于固定收益投资，包括美国和外国政府债务、公司债务和证券化债务工具（如抵押贷款支持投资）。Putnam动态资产配置保守型（PACAX）。该基金将其资产的15%至45%分配给股票，55%至85%分配给固定收益证券。它主要投资于固定收益投资，包括美国和外国政府债务、公司债务和证券化债务工具。该基金还投资于美国和任何规模的外国公司的权益证券（成长股或价值股或两者兼有）。参考文献[1]Roy D Henriksson。市场时机与共同基金绩效：一项实证研究。《商业杂志》，57（1）：73–961984。[2] Zakri Y.Bello和Vahan Janjigian。

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