信封背面采用非常简洁的多曲线交换选项

, ω- 1（11）式中ξ：=ZtαtdW（α）ue-a（tα-u） （12）方差为ζ的零均值高斯r.v.：=1.-e-2 a（tα-t） 2 aa∈ <+\\ {0}tα- ta=0。证据It^o演算的直接应用，给定动力学（9）和确定性波动率（10）前面引理的一个结果是，tα向前测量中的接收器交换选项payoff（8）可以写为唯一r.v.ξasRαω（tα）=：[f（ξ）]+的函数。（13） 在下面的引理中，我们证明了f（ξ）等于ξ的指数函数的有限和，即f（ξ）=Xiwieλiξ和wi，λi∈ <其中一些wi<0，一些λi≥ 因此，swoption看起来像一个非平凡的扩展选项，其项数等于ω-α -1 + 2(ω- α).在引理3中，我们证明了即使对于某些参数选择，函数f不是ξ的递减函数，但存在唯一值ξ*s、 t.f（ξ*) = 0，即等式Sαω（tα）=Kis满足该唯一值。引理3根据MHW模型（10），swaption Payoff中的函数f（ξ）等于tof（ξ）=ωXj=α+1cjBαj（t）e-αjξ-αjζ/2（a）+ω-1Xι=α+1Bαι（t）e-αιξ-αιζ/2（b）-ω-1Xι=αβι（t）Bαι（t）e-ναιξ-ναιζ/2（c）和! ξ*s、 t.f（ξ*) = a为0，σ∈ <+和γ∈ [0, 1]. 此外，对于ξ<ξ，函数f大于零*.证据见附录A我们已经证明，即使函数f的参数不是单调的，方程f（ξ）=0也有唯一解。这一事实赋予了将Jamshidian（1989）的方法推广到MHW的可能性。在下面的命题中，我们证明了对于模型（10）的接收器交换选项，闭式解是成立的。命题1根据MHW模型（10），可以使用闭合公式rmhwαω（t）=B（t，tα）（ωXj=α+1cjBαj（t）N）计算接收器交换选项ξ*ζ+ζαj+ω-1Xι=α+1Bαι（t）Nξ*ζ+ ζ αι-ω-1Xι=αβι（t）Bαι（t）Nξ*ζ+ ζ ναι)（14） 式中，N（o）是标准正常CDF和ξ*是f（ξ）=0的唯一解。证据

见附录A让我们对上述命题进行评论，这是本文最相关的分析结果。它将Jamshidian（1989）的著名结果推广到这个多曲线HJM模型。主要区别在于，在接收器交换选项Rmhwαω（t）中也出现了负加数，并且存在扩展的挥发度而不是标准挥发度。很容易证明，经过必要的修改，类似的解决方案适用于付款人互换期权。4模型校准在本节中，我们详细展示了在2010年9月10日（起息日）的日终市场条件下，考虑到欧洲ATM掉期期权与欧元银行同业拆借利率600万欧元的情况下，欧元市场中市场参数的模型校准。如引言所述，校准级联分为两个步骤。首先，我们从6m存托凭证、三个FRA（1×7、2×8和3×9）和掉期（OIS和vs Euribor 6m）引导贴现和伪贴现曲线。然后，我们在10y对角线上用欧洲ATM交换选项与欧元银行同业拆借利率6m校准三个MHW参数sp=（a，σ，γ）（即考虑M=9个ATM交换选项1y9y，2y8y，…，9y1y）。OIS利率（%）掉期利率vs 6m（%）1w-0.132 2w-0.132 1m-0.132 2m-0.133 3m-0.136 6m-0.139 1y-0.147 0.0442y-0.135 0.0803y-0.083 0.1544y 0.008 0.2595y 0.122 0.3776y 0.254 0.5127y 0.392 0.6528y 0.529 0.7869y 0.90910y 0.766 1.01611y 0.866 1.10912y 0.957 1.19515y 1.160 1.383表1：OIS利率和掉期利率与欧元银行同业拆借利率（以百分比计）之比600万欧元：日终中期报价2015年9月10日（年度掉期30/360天计数公约vs 600万，OIS Act/360天计数）。贴现曲线从OIS报价中自举，采用Baviera和Cassaro（2015）中描述的相同方法。他们在起息日的报价如表1所示（根据市场惯例，即。

年度付款和Act/360天计数）；在同一表格中，我们还报告了Swap费率（每年固定航段，每360天计算30天）。在表2中，我们显示了相同起息日的相关FRA利率和欧元银行同业拆借利率600万欧元（均采用Act/360天计数）。所有市场数据均由彭博社提供。MHW模型中存在的FRA的凸度调整被忽略，因为它们不会影响本次校准中考虑的对角线交换选项的相关节点，并且在任何情况下都非常小。在图1中，我们展示了通过自举技术获得的贴现和伪贴现曲线。利率（%）欧元银行同业拆借利率6m 0.038FRA 1×7 0.038FRA 2×8 0.041FRA 3×9 0.043表2：欧元银行同业拆借利率6m和FRA百分比（日计数法/360）。FRA利率是指在起息日的日中结束报价。我们在表3中以基点（bps）表示掉期期权ATM波动率；根据标准正态市场模型得出掉期期权市场价格；允许负利率的模型选择。图1:2010年9月10日贴现OIS曲线（红色）和伪贴现Euribor-6m曲线（蓝色），从结算日开始，直到12年的时间范围。到期期限波动率（bps）1y 9y 64.702y 8y 66.783y 7y 68.534y 6y 70.915y 5y 72.366y 4y 73.077y 3y 73.218y 2y 73.519y 1y 73.45表3:2015年9月10日bps中ATM对角掉期共同终端10y的正常波动率。我们最小化交换期权模型和市场价格之间的平方距离r（p）=MXi=1[Rmhwi（p；t）-Rmkti（t）]，其中，附录B中报告了根据多曲线正态模型的市场ATM掉期期权定价公式。我们获得了最小化误差函数w.r.t.a，γ和∧σ的参数估计：=σ/a；该解决方案对于一大类起点是稳定的。作为估计，我们得到a=13.31%，σ=1.27%，γ=0.06%。

模型和市场互换期权价格之间的差异如图2所示：尽管提出的模型很节俭，但校准结果看起来不错。有趣的是，与w.r.t.a和σ相比，Err函数w.r.t.γ的依赖性不那么明显；然而，即使在γ值很低的情况下达到了Err函数的最小值，均方误差方面的差异也非常小，甚至显著增加，γ：另一个证据表明，交换期权最相关的动态图2：ATM对角线交换期权共同终端10y的市场价格（百分比）（红色方块）以及通过MHW校准（蓝色方块）获得的9个到期日的相应价格。估值是与伪贴现曲线相关的估值，其中相应的波动率不依赖于γ参数。5结论在不假设恒定价差的情况下，是否可以考虑一个简约的多曲线IR模型？本文介绍了二参数Hull-andWhite（1990）模型的三参数推广，其中附加参数γ位于区间[0，1]。限制案例对应于文献中已知的一些模型：γ=0的案例对应于Henrard（2010）中的S0假设，其中利差曲线随时间保持不变，而γ=1对应于Baviera和Cassaro（2015）中的S1假设。我们已经证明，该模型可以为欧洲物理交付期权（14）提供一个非常简单的闭合公式，该公式与Jamshidian（1989）的公式非常相似，存在扩展的波动性，可以假设负值。

模型校准是即时的：我们已经详细展示了如何在2010年9月10日的日终市场条件下实施校准级联。拟议模型还允许其他液体IR期权（上限/下限和STIR期权）的类黑色公式，以及FRA和STIR期货的简单分析凸度调整；此外，可以应用类似于HW模型的数值技术。ATM掉期期权价格的良好校准特性以及伪贴现动态是液体IR期权估值中的相关动态的观察结果证明了这一非常节俭的模型。此外，一个非常节俭的模型，如拟议的MHW模型（10），可以作为挑战性任务的选择，其中多曲线IR动态只是建模元素之一：两个重要的例子是流动性低的公司债券的定价和风险管理，以及XVA估值，包括两个交易对手之间在银行层面的净额结算集上的所有合同。致谢我们要感谢阿尔多·纳西尔、安德烈亚·帕拉维奇尼和沃尔夫冈·隆格尔迪尔就这一主题进行的精彩讨论。通常的免责声明适用。引理3的附录A。函数f（ξ）是通过直接替换接收器payoff（8）中的swoption payoff组件（11）获得的。f（ξ）是指数exp（λiξ）乘以某些系数ωi的和，其中λi，ωi∈ <. 函数f（ξ）由不同部分组成：带负指数的正密度项（项a和b）和带正指数的负指数项（对于ι=α，c中的第一个加数），γ=0时成为负常数。

（c）中的剩余系数始终为负值，可分为三部分；一个具有负指数（ναι>0），另一个具有正指数（ναι<0），并且当至少一个ναι等于0时，第三部分保持不变。让我们研究f（ξ）作为ξ的函数∈ <. 这是一个非常规则的函数（C∞), 指数和常数的有限和。我们把函数f的加数分成两部分。在第一个f+（ξ）中，我们考虑所有正加数（即a项和b项）的和，在第二个f中-（ξ） 绝对值中所有负加数（即项c）之和，即f（ξ）=：f+（ξ）-f-（ξ） 其中f+（ξ）和f-（ξ） 是其参数的正函数：f+（ξ）是负指数的和，而f-（ξ） 可以是正指数、负指数和常数之和（仅适用于一组有限的γ值，γ值等于{γι}ι=α+1，…，ω）。首先，让我们观察一个正加数引导小ξ。这一事实是以下不等式的结果ι = α+ 1, . . . , ωvαι-1<vαι，ναι≤ (1 -γ） vαι，其中等式仅适用于γ=0，（15）波动性定义的直接后果（10）。对于γ的所有值，小ξiscωBαω（t）e的f（ξ）的前导项-(1-γ） vαωξ+·····因为，由于不等式（15），-(1 -γ） vαω是f（ξ）中指数与ξ相乘的最低指数系数；i、 e.始终存在a^ξs.t。ξ<ξf+（ξ）>f-(ξ).然后，让我们定义γ：=最大γ，并根据γ值区分三种情况：1。当▄γ≤ γ ≤ 1，f-（ξ） 根据备注2，是正指数的正线性组合（当γ=~γ时为正常数）。同样，这种情况允许与f+（ξ）的唯一交集，如前所述，这是γ<1的负指数之和，而γ=1.2时是常数。

当0<γ<γ时，f-（ξ） 是一个u形正函数，因为它是正指数和负指数的正线性组合（以及γ的某些值的常数）。此外，f+（ξ）和f-（ξ） 呈现一个唯一的交点，因为f+（ξ）指向+∞ 对于ξ→ -∞ 快于f-（ξ） ξ为0→ +∞.3、γ=0的情况应单独处理。在这种情况下，f（ξ）=ωXj=α+1cjBαj（t）e-vαjξ-vαjζ/2-βα（t）-ω-1Xι=α+1（βι（t）-1） Bαι（t）e-vαιξ-vαιζ/2所有加数都是负指数和常数，然后是ξ的极限→ +∞ 等同于-βα（t）。此外，由于不平等（15），-vαα+1（始终小于零）是f（ξ）中指数中ξ乘以ξ的最大指数系数，大ξ的领先项为-（βα+1（t）-1） Bαα+1（t）e-vαα+1ξ-vαα+1ζ/2因此f（ξ）趋向于-ξ的βα（t）<0→ ∞. 将类似的参数应用于f（ξ）的一阶导数，可以证明函数有一个最小值。总之，对于γ=0，函数f（ξ）是一个递减函数，直到其最小ξmin（达到小于-βα（t）<0），然后逐渐变为-βα（t）表示ξ>ξmin。在这种情况下，函数f（ξ）表示与零的唯一交点。然后我们证明，对于所有参数选择，存在唯一值ξ*s、 t f（ξ*) = 一旦我们观察到，对于ξ<ξ，证明就完成了*, 在上述三种情况下，函数f（ξ）大于零命题1的证明。

由于引理3，swaption receiver等价于toRαω（t）/B（t，tα）=E{f（ξ）}+=E{f（ξ）|ξ≤ξ*}=ωXj=α+1cjEnhBαj（t）e-αjξ-αjζ/2iξ≤ξ*o+ω-1Xι=α+1EnhBαι（t）e-αιξ-αιζ/2iξ≤ξ*o-ω-1Xι=αEnhβι（t）Bαι（t）e-ναιξ-ναιζ/2iξ≤ξ*然后，经过简单的计算，我们证明了这个命题附录B本附录我们报告了接收器选件的标准黑色公式：Rmktαω（t）=B（t，tα）BP Vαω（t）[K]- Sαω（t）]N(-d） +σαω√tα- tφ（d）式中，N（o）是标准正态CDF，φ（o）是标准正态密度函数，σαω是相应的隐含正态挥发度yd：=Sαω（t）-Kσαω√tα- t、 ATM公式简化了ktαω（t）=B（t，tα）BP Vαω（t）σαωrtα- t2π。参考Baviera，R.和Cassaro，A.，2015年。关于双曲线构造的注释：Crab先生的bootstrap，《应用数学金融》，22105–132。布莱克，F.，1976年。《商品合同定价》，金融经济学杂志，3（1-2），167–179。Brigo，D.和Mercurio，F.，2007年。利率模型理论与实践：与微笑，通货膨胀和信贷，斯普林格科学与商业媒体。Grbac，Z.，Meneghhello，L.，和Runggaldier，W.J.，2016年。高斯指数二次短期利率模型多曲线扩展的衍生产品定价，摘自：衍生产品市场创新，斯普林格，191–226。Grbac，Z.和Runggaldier，W.J.，2015年。利率建模：危机后的挑战和方法，Springer。Heath，D.、Jarrow，R.和Morton，A.，1992年。债券定价和利率期限结构：未定权益的新方法，计量经济学，60，77–105。Henrard，M.，2010年。衍生品贴现中的讽刺第二部分：危机，威尔莫特杂志，2（6），301–316。Henrard，M.，2014年。《多曲线框架中的利率建模：基础、演变和实施》，Palgrave Macmillan。赫尔，J.和怀特，A.，1990年。

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（12）中定义的零均值和方差ζξ*f（ξ）=0的唯一解；f（ξ）在（13）中定义为高斯r.v.ξ标准差Bαj（t）：B（t；tα，tj）Bαι（t）：B（t；tα，tι）βι（t）：β（t；tι，tι+1）δι：δ（tι，tι+1）δj：δ（tj，tj+1）cj：δjK，对于j=α+1，ω - 1和1+ΔωK表示j=ωvαι：v（tα，tι）αι：（1- γ） vαιναι：αι-η（tα，tι+1）-η（tα，tι）IR：利率MHW：多曲线赫尔-怀特模型（10）r.v.：随机变量。t、 ：如此。r、 t.：关于。