信封背面采用非常简洁的多曲线交换选项

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Back-of-the-envelope swaptions in a very parsimonious multicurve
  interest rate model》
---
作者：
Roberto Baviera
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We propose an elementary model to price European physical delivery swaptions in multicurve setting with a simple exact closed formula. The proposed model is very parsimonious: it is a three-parameter multicurve extension of the two-parameter Hull-White (1990) model. The model allows also to obtain simple formulas for all other plain vanilla Interest Rate derivatives. Calibration issues are discussed in detail.
---
中文摘要：
我们提出了一个基本模型，用一个简单的精确闭合公式对多曲线环境下的欧洲实物交割掉期期权进行定价。该模型非常简洁：它是两参数Hull-White（1990）模型的三参数多曲线扩展。该模型还允许获得所有其他普通利率衍生品的简单公式。详细讨论了校准问题。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Back-of-the-envelope_swaptions_in_a_very_parsimonious_multicurve_interest_rate_model.pdf (395.28 KB)

2022-6-2 18:57:14 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：parsimonious Quantitative derivatives calibration QUANTITATIV

非常节俭的多曲线利率模型中的信封背面互换Roberto Baviera+2017年12月19日（+）米兰理工大学数学系，32 p.zza L.da Vinci，Milanoabstract我们提出了一个基本模型，用一个简单的精确闭合公式对多曲线集中的欧洲实物交付互换进行定价。该模型非常简洁：它是两参数Hull-and-White（1990）模型的三参数多曲线扩展。该模型还允许获得所有其他普通利率衍生品的简单公式。详细讨论了校准问题。关键词：多曲线利率、简约建模、校准级联。JEL分类：C51、G12。通信地址：米兰数学事务所Roberto BavieraDepartment of MathematicsPolitecnico di Milano32 p.zza Leonardo da VinciI-20133 Milano，ItalyTel+39-02-2399 4630传真+39-02-2399 4621roberto。baviera@polimi.itBack-在非常节俭的多曲线利率模型中，信封互换期权1简介2007年的金融危机也对利率（以下简称IR）建模视角产生了重大影响。一方面，主要银行间市场（如欧元和美元）出现了多曲线动态，另一方面，异国衍生品的交易量大幅减少，即使是普通的普通工具，流动性也显著下降。虽然在第一个问题上，现在有很好的教科书（参见Henrard 2014、Grbac和RungGaldier 2015），但第二个问题的主要结果，即非常节俭模型的需要，在当前的金融文献中基本上被遗忘了，因为当今金融市场的额外复杂性往往面临着参数丰富的模型。

本文重点讨论了节约和校准这两个相关问题。首先，节俭特性至关重要：在当今（流动性较低）的市场中，无论从校准角度还是从风险管理角度来看，人们通常需要处理参数很少的模型。在本文中，我们关注著名的双参数Shull和White（1990）模型的三参数多曲线扩展。这种选择非常节俭：现有文献中最节俭的多曲线HJM模型之一是Moreni和Pallavicini（2014）介绍的模型，在最简单的WG2++情况下，需要十个自由参数。Grbac等人（2016）最近提出了另一个观点，即在最简单的模型中，参数化至少涉及七个参数。其次，该模型应考虑校准级联，即从业者遵循的方法，包括通过自举技术校准第一个IR曲线，然后使用挥发参数。这种级联效应至关重要，其原因再次与流动性有关。自举中使用的工具，如FRA、短期利率（STIR）期货和掉期，比这些工具上的相应期权具有几个数量级的流动性。除了初始折扣和伪折扣曲线的校准外，拟议模型还允许使用精确且简单的闭合公式对所有普通IR选项进行定价：上限/下限、STIR选项和欧洲掉期期权。而封顶/封顶和搅拌选项可以通过对文献中已有解决方案的前瞻性修改来定价（参见，例如。

Henrard 2010、Baviera和Cassaro 2015），在本文中，我们重点讨论欧洲实物交付掉期期权（以下简称掉期期权）的定价。我们还在一个详细的示例中展示了校准级联，其中通过交换选项校准波动性参数。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了一般多曲线环境下互换期权衍生合约的特征。在第3节中，我们介绍了多曲线HJM框架和该框架中的简约模型；我们还证明了模型交换选项闭式。在第4节中，我们详细介绍了模型校准。第5节总结。在Henrard（2014）和Grbac和Runggaldier（2015）的两本教科书中可以找到多曲线设置中的利率互换选项多曲线设置利率。在本节中，我们简要回顾了利率符号和一些关键关系，重点是多曲线环境中的互换期权定价。让(Ohm, F、 P），带{Ft:t≤ t型≤ T*}, 是一个满足通常假设的完全过滤概率空间，其中是价值日期和T*所有市场活动的有限时间范围。让美元用t确定B（t，t）贴现曲线≤ t<t<t*和D（t，t），随机折扣，s.t.B（t，t）=E[D（t，t）| Ft]。（1） 数量B（t，t）通常也称为无风险零息票债券。例如，欧元银行间市场的市场标准是将EONIA曲线（也称为OISCrove）视为贴现曲线。与标准单曲线模型一样，远期贴现B（t；t，t+) 等于比率（t，t+)/B（t，t）。（1）的结果是B（t；t，t+) 是T向前测度中的鞅。正如Henrard（2014）所述，还考虑了伪贴现曲线。

以下关系适用于伦敦银行同业拆借利率L（T，T+) 以及相应的远期利率L（t；t，t+) 单位：tB（t，t+) L（t；t，t+) := E[D（t，t+) L（T，T+)|Ft]，（2）其中滞后 是伪贴现曲线的特征；e、 g.在theEuribor 6m病例中为6个月。（向前）伪折扣定义为^B（t；t，t+) :=1+δ（T，T+) L（t；t，t+)（3） 带δ（T，T+) 伦敦银行同业拆借利率的两个计算日期之间的年份分数和分布定义为β（t；t，t+) :=B（t；t，t+)^B（t；t，t+).从方程（2）中，一个得到sb（t，t）β（t；t，t+) = E[D（t，t）β（t，t+)|Ft]（4）即β（t；t，t+) 是T向前测度中的鞅。这是处理β（t；t，t+) 必须满足。下文中，作为市场标准，所有折扣和OIS衍生品均指折扣曲线，而远期Libor利率始终与相应的伪折扣曲线VIA（3）相关。2.1掉期期权（SwaptionA swaption）是一项合同，有权在期权到期日tα，以合同签订时确定的行权利率K，在付款人/收款人掉期中进行交易。到期日tα的基础掉期由浮动和固定支腿组成；通常，两个支腿中的付款频率不相同（而且它们也可能有不同的天数），这一事实使符号更加复杂。流动在掉期到期日tω结束。我们指出，T向前测度定义为概率测度s.T.B（T，T）E（T）[o| Ft]=E[D（T，T）o| Ft]（参见，例如。

Musiela和Rutkowski，2006年）。分期付款日期为t：={tι}α+1。。。ω（在欧元市场中，通常与欧元银行同业拆借利率-6m相比，具有半年频率和Act/360天计数），固定分期付款日期t：={tj}j=α+1。。。ω（在欧元市场，年频率为30/360天）；我们还定义了tα：=tα，tω：=tω。让我们介绍以下速记Bαj（t）：=B（t；tα，tj）Bαι（t）：=B（t；tα，tι）βι（t）：=β（t；tι，tι+1）δι：=δ（tι，tι+1）δj：=δ（tj，tj+1）cj：=δjK，对于j=α+1，ω - 1和1+ΔωK表示j=ω。掉期利率以tα为起点，以t为值∈ [t，tα]，Sαω（t），等于浮腿和固定腿的净现值αω（t）=Nαω（t）BP Vαω（t）与前向基点值BP Vαω（t）：=ω-1Xj=αδjBαj+1（t）（5），分子等于掉期流动支腿流动的预期值tαω（t）：=E“ω-1Xι=αD（t，tι+1）ΔιL（tι，tι+1）英尺#=1- B（t，tω）+ω-1Xι=αB（t，tι）[β（t）-1] ，（6）其中，使用关系式（1）和（4）获得最后一个等式。让我们观察一下，浮腿流的总和由两部分组成：术语[1- B（t，tω）]，等于单曲线情况，以及B（t，tι）[βι（t）的剩余和-1] 对应于多曲线设置中存在的扩展校正。到期日接收方掉期期权支付isRαω（tα）：=BP Vαω（tα）[K- Sαω（tα）]+=[K BP Vαω（tα）-Nαω（tα）]+。（7） 接收人掉期期权是贴现支付的估值日的预期值Rαω（t）：=E{D（t，tα）Rαω（tα）| Ft}=B（t，tα）E（α）{Rαω（tα）| Ft}，其中我们还重写了tα-正向度量中的预期。引理1以下两个性质holdi）Nαω（t）和BP Vαω（t）是t的tα-前向测度中的鞅过程∈ [t，tα]；ii）接收方交换期权支付（7）readsRαω（tα）=“B（tα，tω）+K BP Vαω（tα）+ω-1Xι=αB（tα，tι）[1- βι（tα）]-1#+=“ωXj=α+1cjBαj（tα）+ω-1Xι=α+1Bα（tα）-ω-1Xι=αβι（tα）Bαι（tα）s+（8）证明。

鉴于折扣和伪折扣曲线的定义，简单明了这个引理有一些相关的结果。一方面，属性i）允许将（Jamshidian 1997）中的掉期市场模型方法推广到多曲线情况下的掉期期权，因此它允许获得选择适当波动率结构的市场掉期期权公式。我们可以得到黑市、Bachelier黑市或转移黑市公式（参见，例如Brigo和Mercurio2007），其中，如市场公式中所考虑的，通过贴现曲线对流量进行贴现，远期Libor利率通过（3）与topseudo折扣相关。此外，属性i）还暗示，对于多曲线设置中的交换选项，put调用奇偶校验也保持不变。另一方面，房地产ii）明确了掉期期权定价模型的完整规范仅需要下一节中规定的远期贴现和利差曲线的动态。3具有闭式期权解的多曲线高斯HJM模型规定了多曲线HJM模型（以下简称MHJM），为贴现曲线B（t，t）和扩散曲线β（t；t，t+), 并显示其动态。本文考虑的MHJM框架下贴现和利差曲线的动力学为（dB（t；tα，ti）=-B（t；tα，ti）[σ（t，ti）-σ（t，tα）]·[dWt+ρσ（t，tα）dt]t∈ [t，tα]dβ（t；ti，ti+1）=β（t；ti，ti+1）[η（t，ti+1）-η（t，ti）]·[dWt+ρσ（t，ti）dt]t∈ 【t，ti】（9）其中σ（t，t）和η（t，t）是适应过程的d维向量（特别是在高斯情况下，它们是时间的确定函数），σ（t，t）=η（t，t）=0，x·y是x，y之间的标准标量积∈ <d、 W是一个瞬时协方差ρ=（ρi j=1，…，d）dWi，tdWj，t=ρi jdt的d维布朗运动。模型（9）是单曲线Heath等人（1992）模型最自然的延伸。

（9）中的方程式对应于贴现曲线的通常HJM模型（见Musieland Rutkowski 2006）。（9）中的第二个方程是满足扩散条件（4）的非常一般的连续过程。我们没有像Henrard（2014）中的独立性假设或Baviera和Cassaro（2015）中的正交性条件那样，对曲线动力学施加任何其他附加条件。在这个框架中，度量值的变化是标准的，因为它们是单曲线建模方法的简单概括（参见Musiela和Rutkowski 2006）。过程dw（i）t：=dWt+ρσ（t，ti）dt是ti正向测度中的d维布朗运动。立即证明，给定动力学（9），B（t；tα，ti）是tα-正测度中的鞅，β（t；ti，ti+1）是ti正测度中的鞅。备注1。给定方程式（9），ti forwardmeasure中伪折扣（3）的动力学为isd^B（t；ti，ti+1）=-^B（t；ti，ti+1）[σi（t）+ηi（t）]·hdW（i）t- ρηi（t）dtit∈ 其中σi（t）：=σ（t，ti+1）- σ（t，ti）和ηi（t）：=η（t，ti+1）- η（t，ti）。伪折扣具有偏好性，即折扣波动率σi（t）和价差波动率ηi（t）之和。在本文中，我们在MHJM框架（9）中考虑一个基本的一维高斯模型。贴现曲线σ（t，t）和利差曲线η（t，t）的波动率建模为（σ（t，t）=（1- γ） v（t，t）η（t，t）=γv（t，t），v（t，t）：=σ1 -e-a（T-t） aa公司∈ <+\\ {0}σ（T- t） a=0（10），带a，σ∈ <+和γ∈ [0，1]，三个模型参数。该模型是Hull and White（1990）到multicurvedynamics的最简洁（非平凡）的扩展，因此我们称其为Multicurve-Hull-White（以下简称MHW）模型。

对于所有参数选择，波动率v（t，t）严格为正。该模型的选择源于与可用于校准的IR衍生物相关的两个事实。一方面，在校准级联中，“线性”IR衍生工具（即depos、FRA、STIR期货和掉期）用于贴现和伪贴现初始曲线引导，而其他参数在IR期权上进行校准。在市场上，液体IR选项是点状、帽/层和掉期期权；不幸的是，OIS的选项在市场上不是流动的（参见Moreni和Pallavicini 2014，以及其中的参考文献）。另一方面，在流动IR期权中，关键驱动因素是通过伦敦银行同业拆借利率或掉期利率得出的伪贴现曲线^B（t，t），其中后者可以被视为伦敦银行同业拆借利率的组合（参见Grbac和Runggaldier 2015中的公式（1.28））。因此，当IR曲线移动时，主要驱动因素是假贴现曲线，与期权标的直接相关；贴现曲线仅出现在权重或贴现系数中，且掉期期权敏感性w.r.t.贴现曲线小于相应的敏感性w.r.t.伪贴现曲线。这些事实导致了这样一个结论，即很难将波动率参数特定于贴现曲线进行校准。因此，在框架（9）中选择最节俭的模型时，备注1起着至关重要的作用：在MHWmodel（10）中，^B（t，t）动力学的波动率等于v（t，t）。节俭的选择应该与分数1相关联- 波动率v（t，t）的γ与贴现曲线之比，剩余部分的γ与价差动态之比；事实上，如前所述，OIS选项的流动性不够，因此在通用MHJM中单独校准σ（t，t）和η（t，t）在实践中是不可行的。此外，MHW模型（10）允许以基本方式对IR期权进行定价。

通过对Henrard（2010）和Baviera和Cassaro（2015）中的解决方案的简单概括，可以获得搅拌选项和盖/地板黑色公式。在本节中，我们展示了toprice也可以通过一个简单的闭合公式进行交换选项。据我们所知，MHW模型（10）是第一个多曲线HJM，其中所有普通香草衍生物都可以用简单的exactclosed公式编写，这些公式是Black（1976）公式的扩展。本节的其余部分划分如下。我们首先在引理2中展示了如何在MHW模型（10）中，将接收器交换选项payoff（8）中的每个元素作为一个单一高斯r.v.ξ的简单函数写入。然后，（技术）引理3表明，交换支付可以重写为ξ的函数，该函数呈现出有趣的性质。最后，在命题1中，我们证明了本节的关键结果：根据模型（10）得出的交换期权的精确闭合公式。介绍以下速记很有用vαι：=v（tα，tι）ι=α，ωαι:= (1 - γ） vαιι=α，ωναι:= αι-η（tα，tι+1）-η（tα，tι）ι = α, . . . , ω- 1.备注2。挥发度{vαι}ι=α+1。。。ω总是正的，并且严格地随ι增加。量{ναι}ι=α+1。。。ω可以根据γ的值改变符号。事实上，ναι=vαι- γvαι+1=vαι+1（|γι- γ） 带∧γι：=vαι/vαι+1∈ (0, 1). 然后，当γ=0时，所有{ναι}α=α+1。。。ω-1为正，ναα为负，而γ值越大，一些ναι变为负。对于γ等于或接近1，所有{ναι}α=α。。。ω-1为阴性。由于这些可能的负值，{ναι}ι不是波动性；我们称之为扩展波动率。引理2 tα中的贴现和利差曲线可以根据tα-远期测度中的MHW模型（10）写成Bαι（tα）=Bαι（t）exp-αιξ - αιζι = α+ 1, . . . , ωβι（tα）Bαι（tα）=βι（t）Bαι（t）exp-ναιξ - ναιζι = α, . . .