多尺度路径依赖导数的一阶渐近性

最后，我们定义了条件预测asE[g（ST）| Xt]=E[g（Xt St，xtT）]，（3.4）对于任何Xt∈ Λ. 可以进一步表明，E[g（ST）| ST]=E[g（ST）| Fst]，P-a.s，其中Fst是由s.假设3.1（平滑度）生成的过滤。此后，我们将假设本文所考虑的每一个泛函都是∧连续的，并且具有所有阶的∧连续泛函导数。这一条件可能会被削弱，但它超出了本文的范围。目标是关注功能框架带来的基本论点。备注3.2。我们将经常使用以下结果：如果函数f∈C1,2所有连续路径的满意度f=0，然后对于所有连续路径，xf=0。也就是说，aC1,2函数在连续路径上的函数空间导数完全由其在连续路径上的值定义。例如，见Fourni'e【2010】【定理2.2】。本文将使用的主要结果是It^o和Feynman-Kac公式的以下函数扩展：定理3.3（函数It^o公式）。设s为连续半鞅，f∈ C1,2。那么，对于任何t∈ [0，T]，f（St）=f（S）+Zttf（Su）du+Ztxf（Su）dsu+Ztxxf（Su）dhsiu。定理3.4（函数Feynman-Kac公式）。让我们看看SDE（3.3）给出的过程。考虑泛函g：∧T-→ R和k：∧-→ R和def（Xt）=E“E-r（T-t） g（ST）+ZTte-r（u-t） k（Su）duXt#，对于任何路径Xt∈ ∧，t∈ [0，T]。因此，如果f∈ C1、2和k是∧-连续的，则满足以下路径相关的偏微分方程（PPDE）：tf（Xt）+a（t，Xt）xf（Xt）+b（t，Xt）xxf（Xt）- rf（Xt）+k（Xt）=0，f（Xt）=g（Xt），对于过程s的拓扑支持中的任何XTin。正如我们将观察到的，时间和空间泛函导数的交换在泛函It^o微积分理论中起着重要作用，另请参见Jazaerli和Saporito【2017】。

这也将在路径相关期权价格的一阶近似计算中看到。我们将在下一节讨论减刑问题。3.2弱路径依赖函数定义3.5（Lie括号）。操作符的Lie括号坦德X定义为[x，t] f（Xt）=xtf（Xt）- txf（Xt），其中tx=t型x和f是这样的，上面所有的导数都存在。它是对函数F的路径依赖性的瞬时测量，即，如果在极限范围内，不改变颠簸的顺序和路径的弯曲延伸，则它将为零，见图5。BBBBB图5:[x，t] 。定义3.6（局部弱路径依赖）。A泛函f∧-→ Ris称为（局部）弱路径依赖，如果[x，t] f=0。函数的一些例子应该有助于理解这些概念。1、f（Xt）=h（t，Xt），h平滑。它显然是弱路径依赖的（实际上是路径独立的）。2、f（Xt）=Ztxudu，当前路径的时间积分。一个简单的计算显示[x，t] f（Xt）=1，然后给出一个不是弱路径依赖的泛函的例子。非路径独立的（局部）弱路径依赖泛函的一个例子是f（Xt）=ztzsxududds，因为xf（Xt）=0和tf（Xt）=Ztxsds。3.3 Black-Scholes模型中的路径依赖型衍生工具定价Black-Scholes模型假设DST=rstdt+σstdwt。在这种情况下，s的拓扑支持是在正实线上取值的连续路径集。

因此，如果我们用PBS表示该模型下带付息的衍生产品的价格，我们会找到Black-Scholes PPDE的路径依赖版本tPBS（Xt）+σXtxxPBS（Xt）+r（XtxPBS（Xt）- PBS（Xt））=0，（3.5），对于上述路径集中的任何路径Xt，且PBS（Xt）=g（Xt）。从今以后，我们定义了Black–Scholes PPDEoperator asLBS（σ）=t+σD+rD- r·，（3.6），dkf（Xt）=xkt(x） kf（Xt）。（3.7）引理3.7。考虑以下路径相关操作符：A=nXk=1akDk，其中ai∈ R、 那么[t、 A]f=0<=> [LBS（σ），A]f=-rAfProof。请注意，由于运营商Dk之间通勤[t、 A]f=0等于[磅（σ），A]f=-英国皇家空军。提案3.8。定义上述引理中的运算符A：A=nXk=1AKD，并让fbe成为解LBS（σ）f=0的函数。然后考虑PPDE对于任何连续路径，LBS（σ）f（Xt）=ψ（t）Af（Xt），f（Xt）=0。如果[t、 对于连续路径，A]f=0，则f（Xt）=-ZTtψ（u）du！Af（Xt）是上述PPDE的解决方案。证据定义f（Xt）=φ（t）Af（Xt），其中φ（t）=0，请注意，f（Xt）=0。此外，通过引理3.7，LBS（σ）~f（Xt）=（φ（t）- rφ（t））Af（Xt）+φ（t）（LBS（σ）+r·）Af（Xt）=（φ（t）- rφ（t））Af（Xt）+φ（t）A:rf（磅（σ）+r·）f（Xt）+φ（t）:[LBS（σ）+r·，A]f（Xt）=φ（t）Af（Xt）。因此，用φ（t）=0来求解φ（t）=ψ（t），我们得出结论。备注3.9（路径依赖织女星）。价格为PBS（Xt，σ）的Black-Scholes模型下路径相关期权的织女星将用ν（Xt，σ）表示=PBS公司/σ（Xt，σ）。此外，通过PPDE（3.5），ν求解PPDE：LBS（σ）ν（Xt，σ）=-σDPBS（Xt，σ），ν（Xt，σ）=0，其中我们区分了Black-Scholes PPDE（3.5）与参数σ的关系。通过泛函Feynman-Kac公式，定理3.4，ν可以表示为ν（Xt，σ）=E“ZTte-r（u-t） σDPBS（Su，σ）duSt=Xt#，其中s遵循Black-Scholes SDE，波动率σ。

此外，如果[t、 D]PBS（Xt，σ）=0，我们有一个众所周知的关系：ν（Xt，σ）=（t- t） σDPBS（Xt，σ），见命题3.8。上述交换条件已得到验证，例如路径独立期权价格，这为我们提供了众所周知的伽马和织女星之间的关系。3.4函数一阶近似的形式推导Fix a到期日T和Payoff函数g：∧T-→ R、 由于（s，yε，zδ）是马尔可夫过程，这种路径依赖型欧式导数的无套利价格取决于s的实现路径，但仅取决于yε和zδ的现货值。路径依赖的唯一来源是支付，因此s是唯一的变量，需要了解其当前路径。因此，模型（2.5）下该路径依赖型欧洲衍生品的无套利价格由pε，δ（Xt，y，z）=E[E]给出-r（T-t） g（ST）| ST=Xt，yεt=y，zδt=z]。备注3.10。在系数和Payoff函数g的一些温和条件下，函数Pε，δ属于C1,2。

此外，如备注3.1所述，我们将假设Pε，δ与以下计算中所需的一样平滑。我们用Lε，δ（s，y，z）表示（s，yε，zδ）的函数微型生成器，并将Lε，δ写成：Lε，δ=t+Lε，δ（s，y，z）- r·（3.8）=εL+√εL+L+√δM+δM+rδεM，其中l=α（y）y+β（y）y、 （3.9）L=β（y）ρf（y，z）yD码- Γ（y，z）y,（3.10）L=t+f（y，z）D+rD- r·，（3.11）M=g（z）ρf（y，z）zD公司- Γ（y，z）z,（3.12）M=c（z）z+g（z）z、 （3.13）M=ρβ（y）g（z）yz、 （3.14）因此，函数Feynman-Kac公式，定理3.4，意味着Pε，δ满足以下PPDELε，δPε，δ（Xt，y，z）=0，Pε，δ（Xt，y，z）=g（Xt）。（3.15）功能差异运算符（3.9）–（3.14）也可以用文字描述，这将有助于读者理解PPDE（3.8）中模型元素是如何单独工作的：oLis yunder P的微型生成器；oLis由股票价格和快速因素的相关性和波动风险部分市场价格的相关性组成；o具有波动率f（y，z）的路径相关Black-Scholes算子Mis由一个术语组成，该术语是由于股票价格和缓慢因素之间的相关性；oMis zunder P的微型发电机；o由于快速和慢速因素的相关性，Lis由一个唯一的术语组成。这些算符实际上与经典情况下的算符相同。唯一的区别是功能衍生物的存在坦德xin代替部分导数/t和/x、 请注意，L，Mand-Mare是标准差分运算符，L，Land-Mare是功能差分运算符。备注3.11（换向）。重要的是要注意，尽管坦德xdo不通勤（见第3.2节），/y和/z与两者通勤坦德x、 现在，我们将正式推导一阶近似值Pε，δ。

写入Pε，δ的幂√δ： Pε，δ=Pε+√δPε+···，然后我们选择Pε和Pε来满足εL+√εL+LPε（Xt，y，z）=0，Pε（Xt，y，z）=g（Xt），（3.16）εL+√εL+LPε=-M级+√εMPε，Pε（XT，y，z）=0。（3.17）3.4.1计算PExpand Pε的幂√ε： Pε=Xm≥0(√ε） mPm，0，其中我们用P表示P0,0。现在将此展开式代入方程（3.16）中，得到以下PPDE(-1，0）：LP=0(-1/2，0）：LP1,0+LP=0，（0，0）：LP2,0+LP1,0+LP=0，（1/2，0）：LP3,0+LP2,0+LP1,0=0，其中我们使用符号（i，j）表示ε中的第i阶项和δ中的第j阶项。在接下来的计算中，最重要的是注意到Lisa是一个常见的微分算子。因此，上述第一个方程实际上是aPDE，参数（Xt，z）应理解为该方程中的参数。本节中使用的推理遵循Fouque等人【2011年】中描述的分类案例的步骤。为了满足第一个偏微分方程，我们取独立于y的P=P（Xt，z）。因为Lt对y的所有项都求导，LP=0，然后第二个方程变成PDE LP1，0=0。因此，我们取P1,0=P1,0（Xt，z），也与y无关。0阶项给出usLP2,0+:LP1,0+LP=0，（3.18），这是P2,0的泊松偏微分方程，可解性条件为：hLPi=0，其中h·i是不变测度L下的平均值。再次注意，（Xt，z）在这里被视为参数。由于Pdoes不依赖于y，可解性条件变为comeshlip=0。我们想再次指出，Lis是经典意义上的微分算子，因为不存在函数导数。因此，关于泊松偏微分方程的所有结果都成立。利用等式（3.6）中给出的路径相关Black-Scholes微分算子的定义，我们将选择满足PPDE的PtoLBS（σ（z））P（Xt，z）=0，P（Xt，z）=g（Xt），（3.19），其中σ（z）=hf（·，z）i。

请注意，我们可以写出P（Xt，z）=PBS（Xt；σ（z）），即在Black-Scholes模型下，Pis是带支付和到期时间T的路径依赖期权的价格：dst=rstdt+σ（z）stdw（0）T.（3.20）3.4.2通过泊松偏微分方程（3.18）计算Pε1,0，我们发现P2,0（Xt，y，z）=-L-1磅（f（y，z））- LBS（σ（z）））P（Xt，z）+c（Xt，z），（3.21），对于一些不依赖于y.NoticeLBS（f（y，z））的函数c- LBS（σ（z））=（f（y，z）- σ（z））D。现在用φ（y，z）表示泊松方程的解lφ（y，z）=f（y，z）- σ（z），（3.22），这意味着-1磅（f（y，z））- LBS（σ（z））=φ（y，z）D。利用1/2阶PPDE，我们得到了可解性条件HLP2,0+LP1,0i=0。因此，根据P2,0的方程式（3.21），LP2,0=-LL-1磅（f（y，z））- LBS（σ（z）））PS= -Lφ（y，z）DP=β（y）ρf（y，z）yD码- Γ（y，z）yφ（y，z）DP=ρβ（y）f（y，z）φy（y，z）DD公司-β（y）Γ（y，z）φy（y，z）DP。因此，Pε1,0=√εP1,0满足以下PPDE：LBS（σ（z））Pε1,0（Xt，z）=-AεP（Xt，z），Pε1,0（Xt，z）=0，其中ε=Vε（z）DD+Vε（z）D，（3.23）Vε（z）=-ρ√εβf（·，z）φy（·，z）,（3.24）Vε（z）=√εβΓ（·，z）φy（·，z）.（3.25）该PPDE与经典情况下方程（2.9）的PDE之间的唯一区别在于，Dknow涉及函数空间导数Xandlbs是Black-Scholes微分算子的函数版本。备注3.12。注意，DD=2D+并且我们可以重写aε=Vε（z）D+（Vε（z）+2Vε（z））D。通过泛函Feynman-Kac公式，定理3.4，我们可以写出ε1,0（Xt，z）=E“ZTte-r（u-t） AεP（Su，z）duSt=Xt#，（3.26），其中s遵循Black-Scholes动力学，波动率σ（z）如（3.20）所示。必须注意的是，在第2.1节所述的路径无关情况下，Vε（z）和Vε（z）是相同的常数。这意味着，一旦这些参数被校准为欧洲普通期权，我们就可以使用这些相同的数值来为路径相关期权定价。

对于pδ0,1也是如此，将在下一节中显示。3.4.3计算Pδ0，1Let us现在将Pε展开为√ε、 Pε=Xm≥0(√ε） mPm，1，然后将其和Pε的展开式代入方程（3.17）。这样，我们发现(-1.-1/2）：LP0，1=0(-1/2, -1/2）：LP1,1+LP0,1+MP=0，（0，-1/2）：LP2,1+LP1,1+LP0,1+MP+MP1,0=0。请注意，L中的所有项都是相对于y的导数。因此，如果我们选择P0,1=P0,1（Xt，z），则第一个PDE是满足的，正如之前所做的那样。现在，第二个PPDE变成PDE LP1,1=0，然后我们选择P1,1=P1,1（Xt，z），与y无关。最后，最后一个PPDEbecomesLP2,1+LP0,1+MP=0，这是P2,1的泊松偏微分方程，其可解性条件是LP0,1+MPi=0。因此，如果我们写Pδ0,1（Xt，z）=√δP0,1（Xt，z），该条件可写成Lbs（σ（z））Pδ0,1=-√δhMiP，其中可以计算HMI=-g（z）hΓ（·，z）iz+ρg（z）hf（·，z）iDz、 因此，如果我们定义δ=-Vδ（z）σ- Vδ（z）Dσ（3.27）Vδ=ρg（z）√δhf（·，z）iσ（z）（3.28）Vδ=-g（z）√δhΓ（·，z）iσ（z）（3.29）我们有以下PPDE：LBS（σ（z））Pδ0,1（Xt，z）=-2AδP（Xt，z），Pδ0,1（Xt，z）=0。一般来说，根据泛函Feynman-Kac公式，定理3.4，Pδ0,1（Xt，z）=2 E“ZTte-r（u-t） AδP（Su，z）duSt=Xt#。（3.30）备注3.13（参数缩减）。与路径无关的情况一样，仍然可以执行参数缩减，因此我们可以将自己限制在组市场参数：{σ？（z），Vδ（z），Vδ（z），Vε（z）}。3.5亚洲选项为了举例说明上述结果，让我们考虑合同函数g的形式为g（XT）=Д（XT，I（XT）），其中I（XT）=Ztxudu的情况。例如，见Fouque等人【2003年】。

在这种情况下，P（Xt，z）=Д（t，Xt，I（Xt），σ（z））。根据方程式（3.19）和自tI（Xt）=Xt，很明显，在Black-Scholes下，满足亚洲期权的常规定价PDE：φt+xφI+rxφx+σxφx个- rД=0，Д（T，x，I，σ（z））=Д（x，I）。此外，通过方程式（3.26），（3.30）和函数Feynman-KacFormula，定理3.4，我们发现Дε1,0（t，x，I，σ（z））=E“ZTte-r（u-t） AεИ（u，su，I（su），σ（z））dust=x，I（st）=I#，Дδ0,1（t，x，I，σ（z））=2 E“ZTte-r（u-t） AΔИ（u，su，I（su），σ（z））dust=x，I（st）=I#。此外，由于xI（Xt）=0，我们有dkД（t，Xt，I（Xt），σ（z））=xktk^1xk（t，xt，I（xt），σ（z）），和ν的织女星可以使用注释3.9中描述的表达式进行数值计算。因此，可以使用上述方程式计算一阶近似值。3.6路径依赖性较弱的情况下的闭式解现在可以证明，我们在第2.1节中给出的Pε1,0和Pδ0,1的公式在这里也是有效的，只要我们假设价格Pis的路径依赖性结构不是很强。我们现在将使这些说法准确无误。假设3.14。对于每个连续路径Xt[t，xx]P（Xt，z）=[t，xxx]P（Xt，z）=0。提案3.15。如果零订单价格假设为3.14，那么我们会发现众所周知的公式pε1,0（Xt，z）=（T- t） AεP（Xt，z），（3.31）Pδ0,1（Xt，z）=（t- t） 对于任何连续路径，AδP（Xt，z），（3.32）。更直接地，根据备注3.12，第一次修正由（T）给出- t）Vε（z）- σ（z）Vδ（z）DP（3.33）+（T- t）Vε（z）+2Vε（z）- σ（z）（Vδ（z）+2Vδ（z））DPProof。请注意，假设3.14意味着[t、 Aε]P=0，然后方程（3.31）直接遵循命题3.8。减刑要求[t、 Aδ]P=0与坦德XX和xxx，因为它是在快速均值回复的情况下。

然而，正如我们在关于功能性Vega和γ关系的备注3.9中所看到的，自[t，xx]P=0，则aδP=-（T- t） σ（z）Vδ（z）DDP- （T- t） σ（z）Vδ（z）DP。因此，既然我们[t，xxx]P=0，我们得出结论[t、 Aδ]P=0。因此，根据命题3.8，我们得到了期望的结果。备注3.16。如果Pis弱路径依赖（即[t，x] P=0），可以直接表明假设3.14相当于xPandxxp也是弱路径依赖的。3.7关于二次变量的选项我们将考虑Payoff g（XT）=Д（XT，QV（XT））的选项，其中QV是二次变量函数。我们将读者转发给Jazaerli和Saporito【2017】了解此类期权及其属性的详细信息，包括二次变异函数的路径定义。我们写P（Xt，z）=Д（t，Xt，QV（Xt，z），并使用以下事实tQV（Xt）=0，xQV（Xt）=2（Xt- xt公司-) 和xxQV（Xt）=2，我们可以很容易地证明[t，x] 对于连续路径，P=0，因此它是弱路径依赖的。此外xP（Xt，z）=φx，xxP（Xt，z）=φx+2φQV，xxxP（Xt，z）=φx+6φx个QV，对于每个连续路径Xt。因此，在备注3.16中，Psatis假设3.14。这些公式可用于计算确定命题3.15.3.8精度理论定理3.17中概述的一阶修正。我们假设定理2.2中的第1项至第5项，并且（6*）Payoff泛函g是这样的：Pε，δ是光滑的，如备注3.1所示。然后，Pε，δ（Xt，y，z）=P（Xt，z）+Pε1,0（Xt，z）+Pδ0,1（Xt，z）+O（ε+δ），P，Pε1,0和Pδ0,1分别由方程（3.19）、（3.26）和（3.30）得出。对于细心的读者来说，现在应该清楚Firstorder摄动法在经典和功能框架中的相似性。