多尺度路径依赖导数的一阶渐近性

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英文标题：
《First-Order Asymptotics of Path-Dependent Derivatives in Multiscale
  Stochastic Volatility Environment》
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作者：
Yuri F. Saporito
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we extend the first-order asymptotics analysis of Fouque et al. to general path-dependent financial derivatives using Dupire\'s functional Ito calculus. The main conclusion is that the market group parameters calibrated to vanilla options can be used to price to the same order exotic, path-dependent derivatives as well. Under general conditions, the first-order condition is represented by a conditional expectation that could be numerically evaluated. Moreover, if the path-dependence is not too severe, we are able to find path-dependent closed-form solutions equivalent to the fist-order approximation of path-independent options derived in Fouque et al. Additionally, we exemplify the results with Asian options and options on quadratic variation.
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中文摘要：
在本文中，我们利用Dupire的函数Ito演算将Fouque等人的一阶渐近分析推广到一般的路径相关金融衍生品。主要结论是，根据普通期权校准的市场组参数也可用于为相同顺序的奇异、路径依赖型衍生产品定价。在一般条件下，一阶条件由可数值计算的条件期望表示。此外，如果路径依赖性不太严重，我们可以找到与Fouke等人导出的路径无关期权的一阶近似等价的路径依赖闭式解。此外，我们还举例说明了亚式期权和二次变差期权的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> First-Order_Asymptotics_of_Path-Dependent_Derivatives_in_Multiscale_Stochastic_V.pdf (436.04 KB)

2022-6-2 19:00:14 上传

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关键词：路径依赖 Quantitative derivatives asymptotics represented

多尺度随机波动性环境中路径依赖导数的一阶渐近性Yuri F.SaporitoNovember 5，2018AbstractIn本文利用Dupire函数It^o演算将Fouqueet等人的一阶渐近性分析推广到一般路径依赖金融导数。主要结论是，根据普通期权校准的市场组参数也可以用于为相同的顺序、路径依赖的衍生品定价。在一般条件下，一阶条件由可数值计算的条件期望表示。此外，如果路径依赖不太严重，我们可以找到路径依赖的闭式解，相当于inFouque等人导出的路径独立期权的一阶近似值。此外，我们还举例说明了亚洲期权和二次变化期权的结果。1简介Black-Scholes模型的自然推广在随机波动率模型的框架内。在这些模型中，基础资产的波动性不再被假定为常数，而是由随机过程建模。与Black-Scholes模型不同的是，随机波动率模型中几乎没有期权价格的闭式解，因此很难获得准确的期权价格。一个值得尊敬的例外是a ffine模型的准闭解，例如Heston模型，Heston【1993年】。J.-P.Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna的多尺度随机波动率模型是协调随机波动率模型和期权价格计算可跟踪性（以及校准）的有力方法；例如，见Fouque等人【2011年】。本文的目的是推广Fouqueet等人的微扰框架。

金融衍生品支付的一般路径依赖结构。Bruno Dupire在开创性论文Dupire【2009】中介绍的函数It^o演算是一种专门设计的理论，用于处理It^o\'sstocastic过程设置中的路径依赖，因此它将是我们论文中选择的工具。本文的主要结论是，路径相关情况下的一阶近似是经典路径无关情况下近似的直接推广。事实上，我们得出的结论是，市场组参数对于路径独立和路径依赖支付的近似值是相同的。这一事实在之前的各种路径依赖期权中得到了验证，但在本文中，我们能够证明，在温和的平滑性假设下，这一结果直接适用于任何路径依赖结构。此外，我们还表明，当路径依赖性不是很强时，在经典情况下建立的一阶近似的闭式解也是成立的。此外，我们考虑了亚式期权和二次变量期权来举例说明结果。在第2节中，我们将在Fouque等人的经典背景下提供一阶扰动分析的主要结果。然后，在第3节中，在函数It^o框架下，我们将一阶修正扩展到金融衍生品的支付效应具有路径依赖结构的情况。2多尺度随机波动率模型平均值回归是指当存在该平均值时，随机过程返回其长期平均值。我们主要感兴趣的是过程均值回复的速度。典型的均值回复过程是Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程：dyt=κ（m-yt）dt+ν√2κdwt，（2.1）其中κ>0是平均逆转率，m是长期平均值，ν>0是波动率，而（wt）t≥0是布朗运动。

theOU过程的平均反转方面在于其漂移。每当yt>m时，漂移为负值，它将yt向下推至长期平均值m。yt<m时的情况类似。我们还可以看到，κ越大，均值回复越强。典型示例路径如图1所示。在金融领域，均值回归产生于商品、利率、波动性、货币汇率等的建模。更正式地说，均值回归的概念由数学上定义良好的遍历性概念表示，见【Fouque等人，2011年，第3.2节】。在我们的例子中，我们将考虑两个过程，yε和zδ，它们分别呈现快速和慢速平均反转。它们的动力学可以写成下面的dyεt=εα（yεt）-√εβ（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√εβ（yεt）dw（1）t，（2.2）dzδt=δc（yεt）-√δg（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√δg（zδt）dw（2）t，（2.3）dw（1）tdw（2）t=ρdt。（2.4）其中α、β、c和g满足某些要求，以保证这些过程的均值回归。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.-0.500.511.522.53Timextκ=1κ=10κ=100图1：不同平均逆转率参数的OU过程实现：x=0，m=1，ν=0.5。如果T是该市场中期权合同的典型到期日，则ε和δ都应被视为小参数，即ε T 1/δ.这两个均值回复过程将模拟我们正在建模的股票价格波动的时间尺度。

更准确地说，我们在此假设，在风险中性度量Q下，股价st如下dst=rstdt+f（yεt，zδt）stdw（0）t，dyεt=εα（yεt）-√εβ（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√εβ（yεt）dw（1）t，dzδt=δc（yεt）-√δg（yεt）Γ（yεt，zδt）dt公司+√δg（zδt）dw（2）t，（2.5），其中（w（0）t，w（1）t，w（2）t）是相关的Q-布朗运动，dw（0）tdw（i）t=ρidt，i=1，2，dw（1）tdw（2）t=ρdt。函数Γ和Γ一起完全确定了波动性风险的市场价格，并唯一确定了风险中性度量Q。相关性和函数Γ和Γ需要通常的假设，请参见定理2.2.2.1一阶近似。本节将提供√ε和√当波动率由不等式（2.5）描述的动力学控制时，期权价格的δ。考虑一种到期日为T的欧洲金融衍生品，其收益仅取决于股票的终值sT，因此被称为路径独立型。Q下该导数的无套利价格由pε，δ（t，x，y，z）=等式[e]给出-r（T-t） ^1（sT）| sT=x，yεt=y，zδt=z]。我们使用的事实是（s，yε，zδ）是一个马尔可夫过程。在第3节中，我们将在路径相关框架中进行形式化的正则和奇异摄动分析。这里，为了便于比较，我们将列出路径无关的近似公式。事实上，我们将在上述章节中找到的公式与这种情况下的一阶近似具有相同的本质。对于路径独立案例的完整分析，读者参考Fouque等人【2011年】。在那里，读者还将能够检查这种方法在数学金融中对不同主题的展开。在继续之前，我们将精确表示近似结果：定义2.1。

我们说，函数gε，δ是√ε和√δ到函数fε，δif | gε，δ- fε，δ|≤ C（ε+δ），逐点，对于某些常数C>0，对于非常小的ε，δ>0。我们使用符号ε，δ- fε，δ=O（ε+δ）。（2.6）我们通过形式化扩展Pε开始一阶近似的描述，δ是√ε和√δ： Pε，δ=P+√εP1,0+√δP0,1+。（2.7）根据Fouque et al.（2011）中提出的论点，可以证明P，Pε1,0：=√εP1,0和Pδ0,1：=√δP0,1应满足以下PDELBS（(R)σ（z））P（t，x，z）=0，P（t，x，z）=Д（x），（2.8）LBS（(R)σ（z））Pε1,0（t，x，z）=-AεP（t，x，z），Pε1,0（t，x，z）=0，（2.9）LBS（(R)σ（z））Pδ0,1（t，x，z）=-2AδP（t，x，z），Pδ0,1（t，x，z）=0，（2.10），其中lbs（σ）=t+σD+r（D- ·),（2.11）(R)σ（z）=hf（·，z）i，（2.12）Aε=Vε（z）DD+Vε（z）D，（2.13）Vε（z）=-ρ√εβf（·，z）φy（·，z）,（2.14）Vε（z）=√εβΓ（·，z）φy（·，z）,（2.15）Aδ=-Vδ（z）σ- Vδ（z）Dσ、 （2.16）Vδ（z）=-g（z）√δhΓ（·，z）i'σ（z），（2.17）Vδ（z）=ρg（z）√δhf（·，z）i′σ（z），（2.18）Dk=xkkxk。（2.19）上述函数φ定义为泊松方程的解：Lφ（y，z）=f（y，z）- |σ（z），（2.20），其中z只是一个参数，其中Lis是物理测量P下过程yun的微型生成器，见等式（3.9）。值得注意的是，一阶近似值的选择与过程yε的初始值y无关。这是该近似的一个重要特征，因为过程yε是不可观测的，因此很难对y进行估计。

此外，对于z（zδ的初始值）的依赖性仅通过参数（(R)σ（z）、Vδ（z）、Vδ（z）、Vε（z）、Vε（z））。因此，也没有必要估计z的特定值。可以进一步显示以下显式公式：validP（t，x，z）=PBS（t，x；(R)σ（z）），（2.21）Pε1,0（t，x，z）=（t- t） AεPBS（t，x；(R)σ（z）），（2.22）Pδ0,1（t，x，z）=（t- t） AδPBS（t，x；(R)σ（z）），（2.23），其中PBS（t，x；σ）是在具有恒定波动率σ的Black-Scholes模型下，具有到期和支付函数的欧式期权在（t，x）的价格。因此，近似值的主要术语是期权的Black-Scholes价格，有效波动率为σ（z），一阶修正仅涉及该价格。这些表示的证明在很大程度上依赖于未贴现Black-Scholes PDE算子、LBS（σ）+r·、算子Aε和Aδ的交换。在考虑路径依赖性支付时，这一观察结果将非常重要。可以在以下假设下证明此近似的准确性。为了证明，我们将读者转发给Fouque等人【2016年】。定理2.2。我们假设1。任意固定（ε，δ）的SDE（2.5）的存在性和唯一性；函数f（y，z）是可测的，有界的，远离零有界的，在z上是光滑的，因此泊松方程（2.20）的解φ是大气多项式增长的；3、过程yhas为唯一不变分布，如【Fouque等人，2011年，第3.2节】所定义，为均值回复，且在t>0中具有任意阶均匀矩；4、过程zhas在t中均匀地为任意阶矩≤ T，对于任何固定的T>0；5、波动风险Γ和Γ的市场价格有界；6.

Payoff函数是可测量的，局部有界的，最多在0和∞.那么，Pε，δ（t，x，y，z）=P（t，x，z）+Pε1,0（t，x，z）+Pδ0,1（t，x，z）+O（ε+δ）。微扰法的一个重要特征是，为了计算一阶近似值，我们只需要组市场参数的值（(R)σ（z），Vδ（z），Vδ（z），Vε（z），Vε（z））。这一特征也可以被视为该近似的模型独立性和鲁棒性：在定理2.2所述的正则条件下，该近似独立于描述过程yε和zδ的系数的特定形式，即模型中涉及的函数α、β、c和g（2.5）。集团市场参数可解释如下o“σ（z）是有效波动率；”Vδ（z）衡量波动性风险部分市场价格的一阶影响；oVδ（z）与慢因子与股价的相关性具有相同的符号；oVε（z）衡量波动性风险部分市场价格的一阶影响；oVε（z）与快速因子与股价的相关性具有相同的符号。备注2.3（参数缩减）。Vε（z）可并入有效波动率。

更准确地说，我们可以考虑修正后的波动率水平σ？（z） 定义为σ？（z） =q'σ（z）+2Vε（z）。（2.24）使用这个新的波动率水平，可以表明Pε，δ（t，x，z）=P？BS（t，x，z）（2.25）+（t- t）Vδ（z）P学士学位σ+Vδ（z）DP学士学位σ+Vε（z）DDP？学士学位,将Pε、δ近似为一阶，其中P？BS（t，x，z）=PBS（t，x；σ？（z））。2.2隐含波动率的校准就隐含波动率而言，这种扰动分析转化为对数货币到期率（LMMR）的近似值，其在下面的方程式（2.27）中正式定义。我们可以证明，隐含波动率的一阶近似值为Isb？+（T- t） bδ+（aε+（t- t） aδ）LMMR，（2.26），其中LMMR=对数（K/x）t- t、 （2.27）b？=σ?（z） +Vε（z）2σ？（z）1.-2rσ？（z）, aε=Vε（z）σ？（z） ，（2.28）bδ=Vδ（z）+Vδ（z）1.-2rσ？（z）, aδ=Vδ（z）σ？（z） 。（2.29）将公式（2.28）和（2.29）转换为一阶精度，我们得出校准公式σ？（z） =b？+aεr-b, Vε（z）=aεb？，（2.30）Vδ（z）=bδ+aδr-b, Vδ（z）=aδb？。（2.31）因此，可以很容易地将参数（b？、bδ、aε、aδ）校准为真实数据，并使用上述公式计算（σ？（z）、Vε（z）、Vδ（z）、Vδ（z）、Vδ（z）的校准值。下面，我们给出了隐含波动率曲面的一阶近似示例。608010011400.511.500.51Kτ隐含波动率表面图2：隐含波动率表面的一阶近似值-参数：σ？=0.4，Vδ=0.006，Vδ=-0.009，Vε=-0.005，r=0.05.3路径相关金融衍生工具首先，我们将介绍函数It^o微积分理论的主要符号、定义和结果，正如杜皮尔（2009）所介绍的那样，这将有助于下文的内容。3.1函数It^o计算简介时间t之前的c\'adl\'ag路径空间将用∧t表示。我们还假设时间范围t>0。

然后将路径空间定义为∧=[t∈[0，T]∧T。我们将用大写字母表示∧的元素，其域的最后时间将被下标，例如X∈ ∧t ∧将由Xt表示。Xt的值∈ ∧在特定时间，将用小写字母表示：xs：=Xt（s），表示任何s≤ t、 此外，如果路径Xt∈ ∧是固定的，路径Xs，对于s≤ t、 将表示路径XT对集合[0，s]的限制。函数是任意函数f：∧-→ R、 当函数时间和空间导数存在时，将其定义为以下限制：，tf（Xt）=limδt→0+f（Xt，δt）- f（Xt）δt，（3.1）xf（Xt）=limh→0f（Xht）- f（Xt）h，（3.2），其中，对于δt>0和h，Xt，δtand Xht∈ R、 由xt给出，δt（u）=xu，如果0≤ u≤ t、 xt，如果t≤ u≤ t+δt，Xht（u）=xu，如果0≤ u<t，xt+h，如果u=t，见图3和图4。b图3：路径的平坦延伸。BBB图4：凹凸路径。对于任何Xt，Yu∈ ∧，在不丧失一般性的情况下，假设u≥ t、 我们在∧中考虑以下度量：d∧（Xt，Yu）=kXt，u-t型- 大笑∞+ u- t、 此外，如果函数f相对于度量d∧是连续的，则称其为∧-连续的。最后，函数f：∧-→ 如果R是∧连续的，并且有∧连续导数，则R称为C1,2tf，xf和xxf。在继续之前，我们确定一个概率空间(Ohm, F、 P）并在路径和泛函的上下文中提供一些关于条件期望的注释。对于任何u≤ [0，t]中的t，用∧u，t表示[u，t]中c\'adl\'ag路径的空间。现在确定操作员（· ·) : ∧u，t×∧t，t-→ ∧u，T，路径的串联，通过（X Y）（u）=xr，如果u≤ r≤ 轮胎- yt+xt，如果t≤ r≤ T、 这是X和Y的连续粘贴。让我们考虑以下（马尔可夫）随机微分方程（SDE）dsu=a（u，su）du+b（u，su）dwu，（3.3）和≥ t和st=x。此SDE的唯一强解将用t表示，并用st，xT表示从t到t的路径解。