带跳扩散模型的Gibbs采样器在欧洲call中的应用

在表2中，我们使用2005年10月至2010年12月的数据显示了吉布斯采样器的结果，而表3显示了2010年10月至2015年12月期间的结果。表2：。2005年和2010年不同指标提取参数的比较。道琼斯标准普尔500指数平均纳斯达克100富时100指数油气漂移0.10245 0.11345 0.10625 0.11171 0.22821波动率0.12574 0.14119 0.17082 0.14919 0.22557跳跃到达19.33768 19.24939 14.06721 16.59051 15.91333跳跃强度-0.00407-0.00519-0.00388-0.00475-0.01131S。跳距D 0.04524 0.04711 0.05277 0.04554 0.06655表3。2010年和2015年不同指标提取参数的比较。道琼斯标准普尔500指数纳斯达克100富时100指数油气漂移平均值0.13043 0.14949 0.17544 0.06069 0.11527波动率0.12365 0.12797 0.14913 0.14301 0.18886跳跃到达5.23150 6.83121 6.07712 6.08239 12.74748跳跃强度-0.00592-0.00478-0.00568-0.00446-0.00615S。跳跃D 0.05644 0.05294 0.05739 0.05095 0.04405表格显示，与2010年至2015年期间相比，2005年至2010年期间包含更多到达跳跃。第一期指数涨幅最小，达到14点。然而，跳跃的强度比我们预期的要小。因此，我们认为参数在跳跃到达、跳跃强度及其波动性之间具有聚集效应。由于历史数据样本有限，因此无法确定trueparameter值。当我们将表3中第二阶段的值与表2中第一阶段的值进行比较时，跳跃强度及其波动性的值差别不大。然而，除了纽约证券交易所ARCA石油天然气指数外，大多数指数的平均到达时间均为6，跳跃的到达时间显示出明显的差异。

1以下2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v4 Instructions for Typing Drafts（论文标题）9显示了两个不同时期每个索引的跳转到达。图1：。两个不同时期（2005年至2010年和2010年至2015年）不同市场指数的跳跃式增长。从图1中，我们可以看出，与未来5年相比，2005年10月至2010年12月期间，市场出现了一次跳跃式增长。正如我们所说，2007年和2008年，我们经历了一场世界经济衰退。价格的大幅下跌使得价格飙升至近20美元。惠斯特，2010年市场更加稳定，因此跳跃发生率下降至5和6。2010年至2015年期间，纽约证券交易所ARCA石油天然气指数的涨幅高于其他四个指数。由于他们的平均到达量已降至6，石油和天然气指数仍保持在13个到达量的高位。因此，我们检查了2005年10月1日至2015年9月30日期间的历史指数价格，如下图2所示。上面的图2显示，2008年至2009年期间有一些高峰值变化，这些区域位于圆圈中。我们可以看到，由于价格在第二阶段（2012年左右）突然下跌，纽约证券交易所ARCA石油天然气指数仍然保持较高的涨幅，而其他指数则开始稍微稳定一些。直到2015年，石油和汽油价格不时保持高度波动，因此跳跃事件的到来保持在更高的水平。这表明Gibbs采样器可以对这段时间内发生的跳跃到达次数提供良好的预期，但它可能会受到参数之间的聚集效应的影响。在下一节中，我们将比较跳跃差异模型与欧洲看涨期权和年金，并检查其对这两种工具定价的影响。

这是为了检查跳跃模型是否能在两种不同类型的仪器中保持其特性。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v410 Lau Kein JoeFig。2、4个指标价格行为比较。数据检索自Yahoo Finance）4.2。跳跃扩散模型与几何布朗运动模型在欧式看涨期权支付上的比较。通过Blacks-Scholes模型，可以计算出期权的定价，从而确定期权的潜在风险和收益。由于跳跃模型中包含跳跃事件，因此风险和支付应不同于普通黑人斯科尔斯。此处的目的是确定jumpspike的影响会对看涨期权的支付产生多大的影响。在这里，我们构建了跳跃差分模型和几何布朗运动模型函数，在这里我们可以模拟其样本。我们为初始价格设定了fix，Sof 100，执行价格K=100。漂移μ和波动率σ应为常数。利用Black-Scholes模型计算了采用几何布朗运动的欧式看涨期权的收益。当时间t，sti的预期价格高于履约价格K时，我们将行使期权。当低于履约价格K时，我们将不行使期权。因此，当时的支付额t等于最大值（St- K、 0）。同时，使用跳差模型的欧洲看涨期权的支付也将使用Black-Scholes模型进行计算，类似于上文。然而，JumpDiffusion模型的参数范围不同。对于图3中极端事件的到达，λ或跳跃到达，将从零（无跳跃事件，2018年6月19日12:36 WSPC/指令文件纸张˙V4打字说明（纸张标题）11或正常几何布朗运动）设置为四，直到四，表示每年有四个尖峰。而另一个参数是每次跳跃的强度在0到0.8之间。

结果如图3所示。图3：。不同跳跃强度和到达的预期收益图3中的白点是具有几何布朗运动的欧式看涨期权的收益。沿着跳跃到达为零的纵轴，我们可以观察到看涨期权的收益率在零左右波动。当跳跃事件发生时，白点处的支付超过布朗运动的预期支付，并与强度的增加成正比。。从结果来看，随着跳跃强度的增加，支付会增加更多。当跳跃强度和到达达到最高水平时，出现最高峰值。这一结果只考虑了如果存在正跳跃尖峰，则会出现负跳跃尖峰，从而导致资产产生更大的负回报。这表明，在Black-Scholes模型下，几何布朗运动不能预期每个跳跃事件背后会发生更大的风险。这将导致市场上的Call option定价错误。我们将选取标准普尔500指数和道琼斯指数，并与欧洲看涨期权进行比较。图中右侧为琼斯指数下跌，左侧为标准普尔500指数下跌。在图4的右侧，星号显示了道琼斯（DJI）在1995年至2015年20年间的预期正跳增和强度。我们可以观察到，预计的定价回报将不同于2018年6月19日12:36 WSPC/说明文件˙v412 Lau Kein JoeFig。道琼斯指数和标准普尔500指数欧洲看涨期权20年的预期定价，我们根本没有考虑跳跃。对于标准化回报，可达到的最高回报甚至可能达到约0.7。从图4的左侧看，dot显示了从1995年到2015年过去20年间，标普500指数的预期正跳跃到达量和强度。

我们可以观察到，定价的预期收益不仅与Europeancall不同，而且与DJI指数也不同。对于标准化回报，可达到的最高回报可能超过1.0。这表明，对于不同的指数或资产，跳跃是不一致的。下一节，我们将尝试跳跃扩散模型在年金定价中的应用。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明手稿（论文标题）134.3。采用跳跃式差异模型的年金定价正如我们在方法中提到的，年金的定价如果由等式EQ表示。(3.7). 尽管定价公司意识到预期的公平价格受到极端事件的影响，但他们在定价中没有考虑风险的可能性。图5：。基于DJI和S&P500的跳跃式年金模型的预期回报函数。图5显示了在正向上跳事件期间，带跳差模型的年金的两种不同定价支付。左图显示了基于道琼斯指数的定价回报，红点是1995年至2015年的历史年度定价。右图以标准普尔500指数为基础，同期DJI为蓝色星号点。当我们仔细观察左图时，不考虑跳跃事件的年金定价是在原点分配的，支付低于2.4。然而，我们可以看到，当我们预计出现积极的漂移跳跃事件时，历史数据中的大部分预期收益较高。这表明，如果不考虑积极极端事件的变化，年金被低估了。反之亦然，在负漂移跳跃事件中，预期的定价回报将预期更高的损失。结果，导致年金政策被高估。任何一种漂移都会导致公平定价的失败。

考虑跳跃事件的必要性很重要，因为定价公司将失去其竞争力，而其他公司的价格过高或过低。。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v414 Lau Kein Joe5。结论与讨论1998年的经济低迷和2007年的次贷危机都是经济中最引人注目的极端事件。不可否认，市场甚至单一资产中确实存在极端事件。在其发生之前捕捉其信号的能力是非常重要的，因为这将大大降低投资者承受的风险。跳跃差异模型在捕捉此类信号方面比观察过去的价格或市场行为（如移动平均线和趋势）更有用。至于Black-Scholes模型，我们已经证明，无法捕捉极端泵事件将导致投资者陷入BS模型无法预见的更高风险状况。这项研究确定了跳跃对欧洲看涨期权、不同跳跃强度和发生率的影响。结果表明，跳变漂移、跳变到达、跳变σ会影响期权的支付效果。根据跳跃的漂移，结果会更高或更低。即使漂移为零，回报也会受到影响，因为跳跃的波动会改变价格。这意味着，无论何时，只要我们预计股市或市场会大幅上涨，即使漂移很小，波动的风险仍然存在。只要价格上涨，就会有更大的风险，预计价格会波动。吉布斯抽样技术可以标定出市场数据的值和参数，即模型本身的漂移和波动性、跳跃的到达和跳跃的漂移和波动性。然而，它有一些困难，因为参数的转换有一些限制。

有时，可以使用不同的参数集模拟股票的相同路径和模式，这些参数可能彼此接近。例如，高漂移低波动性股票路径可能通过稍微低漂移但高波动性来实现。因此，resultsattain有一系列的可能性。然而，如果跳跃的到来和强度被检查为很高，那么股票本身几乎肯定会经历几次跳跃事件，预计在不久的将来价格会发生巨大的波动。riskJump Diffusion模型不仅仅适用于期权。这可能有助于计算对其他衍生品的预期。结果表明，如果基础资产发生正跳事件，年金的支付功能可能会更高。类似地，如果要经历一个消极的泵事件，则有很大的损失风险。在这种情况下，我们可以说年金被低估了，因为承担的风险远远大于他们的预期。例如，我们参考上一节中的图5，价格应该在2.6左右，而不是2.3左右，不考虑跳跃风险。为了更好地管理风险和防止损失，可能还有其他衍生工具和目的可以将扩散模型融入其中。因此，在处理市场衍生品时，考虑跳跃模型比几何布朗运动更重要。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明手稿（论文标题）15参考Bates，D.（1996）。跳跃与随机波动：汇率过程隐含指数期权。《金融研究评论》，9（1），69-107。Black，F.和Scholes，M.（1973年）。《期权定价与公司负债》，政治经济学杂志，81（3），第636-654页，新罕布什尔州Chan和Wong，H.Y.（2006）。

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内政部：10.1007/s10436-0060062-y