带跳扩散模型的Gibbs采样器在欧洲call中的应用

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英文标题：
《Gibbs sampler with jump diffusion model: application in European call
  option and annuity》
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作者：
Kein Joe Lau, Yong Kheng Goh and An-Chow Lai
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we are presenting a method for estimation of market parameters modeled by jump diffusion process. The method proposed is based on Gibbs sampler, while the market parameters are the drift, the volatility, the jump intensity and its rate of occurrence. Demonstration on how to use these parameters to estimate the fair price of European call option and annuity will be shown, for the situation where the market is modeled by jump diffusion process with different intensity and occurrence. The results is compared to conventional options to observe the impact of jump effects.
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中文摘要：
本文提出了一种基于跳扩散过程的市场参数估计方法。该方法基于吉布斯采样器，市场参数为漂移、波动率、跳跃强度及其发生率。将演示如何使用这些参数来估计欧洲看涨期权和年金的公平价格，在这种情况下，市场被建模为具有不同强度和发生率的跳跃扩散过程。将结果与常规选项进行比较，以观察跳跃效应的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Gibbs_sampler_with_jump_diffusion_model:_application_in_European_call_option_and.pdf (6.75 MB)

2022-6-2 19:22:40 上传

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关键词：Gibbs 扩散模型 call bbs Quantitative

2018年6月19日12:36 WSPC/说明文件论文˙v4International Journal of Theory and Application Financec 世界科学出版公司具有跳跃扩散模型的IBBS采样器：在欧洲看涨期权和年金中的应用，Countrybanana@1utar.myGOH马来西亚雪兰莪州卡扬市，邮编：43000，Bandar Sungai Long，Tunku Abdul Rahman大学工程学院YONG KHENGLee Kong Chian，Countrygohyk@utar.edu.myLAI马来西亚雪兰莪州卡扬43000号班达尔成盖隆市通库大学工程学院，邮编：Abdul Rahman，Countrylaiac@utar.edu.myReceived（2017年9月25日）修订（日-月-年）在本文中，我们提出了一种通过跳跃扩散过程建模的市场参数估计方法。该方法基于吉布斯采样器，市场参数为漂移、波动率、跳跃强度及其发生率。将演示如何使用这些参数来估计欧洲看涨期权和年金的公平价格，在这种情况下，市场是由不同强度和发生率的跳跃差异过程建模的。将结果与常规选项进行比较，以观察跳跃效应的影响。关键词：改良跳跃扩散；吉布斯取样器；年金；欧洲看涨期权。众所周知，金融市场波动性大，很难预测。尽管有其特点，投资者仍在努力学习和预测金融市场。建模股票价格运动最常用的方法是布朗运动。

布朗运动在期权定价中应用的一个例子是使用Black-Scholes模型。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v42 Lau Kein JoeIn 90年代初，Black Sholes模型被认为是计算期权价格最有利的方法之一。该模型使用预期波动率（隐含波动率）计算，以预测金融资产的未来价格，其中许多投资者使用该模型计算期权的公允价格。然而，在1997年金融危机期间，大多数投资者（包括经验丰富的市场投资者）都在承受价格暴涨造成的重大损失。这表明，黑鞋模型可能在一定程度上有用，但它无法处理市场大幅波动的极端事件。在这里，我们提出了一个模型，旨在扩展带跳跃的Black Sholes模型的使用。在Black-Scholes模型中加入跳跃并非新鲜事。然而，当前可用的模型假定在向上和向下方向上都存在对称的跳跃分布。在我们的模型中，我们将分别处理两个方向上的跳跃。2、文献综述几何布朗运动是Black-Scholes模型的基础。Samuelson（1952）提到，资产价格的随机过程可以描述为几何布朗运动（GBM），形式为随机微分方程（SDE）：dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），（2.1），其中u是漂移率或收益率；σ是资产的波动率；W（t）是维纳过程，S（t）是标的资产的现货价格。Adeosun（2015）所做的工作解释说，作为预测或预测，市场需要的远不止几何布朗运动（GBM），其中只考虑资产的波动性和漂移。仅基于GBM的模型将不足以适应市场价格。

有几次，资产价格的变化比其计算的波动率大得多。在过去40年中，人们提出了各种模型来反映资产回报的不连续性和跳跃性，包括默顿（1996、2008和1976）。在他的模型中，默顿通过使用复合泊松模型（Press，S.J.1967）S（t）=S（0）e（u），在Black Sholes公式中添加了跳跃分量-σ） +σW（t）N（t）Yi=1eYi，（2.2），其中N（t）是泊松过程；Yi是标准正态分布随机变量；u是漂移系数；σ是基础GBM的波动率。假设市场遵循几何布朗运动，额外的泊松过程描述了跳跃事件的到来。跳跃事件有其自身的漂移和波动性术语，与这些基本GBM不同。Kou S.G.June 19，2018 12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4 Instructions for Typing Drafts（论文标题）3（2008）修改了上述模型，并将其变为指数分布的两倍。Kou建议，这将使人们能够获得大多数路径相关期权的解析解，包括障碍期权和美式期权的解析近似值（Kou S.G.（2008））。Kou的Yi双指数分布由以下方程描述：fY（y）=p·ηe-ηy{y≥0}+q·ηeηy{y<0}，（2.3），其中oη>1，η>0，op，q≥ 0，p+q=1，表示向上和向下跳跃的概率；oη> 需要1，以便E（ey）<∞; 和oE（S（t））<∞.寇指出，双指数分布的两个性质对模型很重要。第一个是跳跃大小的轻量级或“肥尾”特征，它继承了回报分布。这种特性是有意义的，因为仪器的跳跃不是完全随机的，但肯定取决于仪器本身的特性。

例如，一种工具不会出现相对于其现货价格相差数倍的大幅跳跃。第二个关键性质是双指数分布的鞅性质。这种独特的性质允许期权定价问题的闭式解（或近似解）可行。此外，寇的模型还具有内部自洽和在均衡环境下无套利的优点。该模型能够捕捉股票市场的经验方面，模型参数可以直接校准（Ramezani，C.A.和Zeng，Y.2007）。Kou表明，跳跃扩散模型可以改进Black-Scholes模型的经验含义，因为它保留并保持了其分析的可处理性。WhileWong和Chan（2006）表明，跳跃模型可以获得更好的市场定价，而不是使用几何布朗运动的Black-Scholes模型期权定价方法。因此，本研究旨在将跳跃扩散模型引入BlackScholes模型，并检验其在欧洲看涨期权和年金中的适用性。下一节将讨论跳跃模型参数的计算方法，以及这些参数对期权定价的影响。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v44 Lau Kein Joe3。研究方法3.1。数据收集在这项研究中，我们选择了道琼斯工业指数（DJI）、纳斯达克综合指数100（NASDAQ 100）、富时100指数（FTSE 100）、标准普尔500指数（S&P 500）和纽约证券交易所阿尔卡石油天然气指数（OilGas）。我们从雅虎财经检索这些市场数据。收集的数据涵盖2005年1月1日至2015年1月1日期间。我们将提取的数据分为两个不同时期，即2005年至2010年和2011年至2015年，其中第一个时期包括2007年和2008年，即经济危机时期。

第二个阶段是，因此我们可以比较吉布斯采样器对两组数据的结果。3.2. Gibbs采样方法和跳跃扩散模型参数在本研究中，我们将使用Gibbs采样方法获得跳跃扩散模型中的参数值（u、σ、uJand和λjump）（Chan，N.H.andWong，H.Y.2006，George C.和Edward I.George，1992年8月）。吉布斯抽样法的基本思想是利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）和Metropolis-Hasting模型的贝叶斯推理。Metropolis-Hastingmodel是一个迭代过程，它使用接受-拒绝方法向分布更新初始化值。虽然Gibbs采样技术是一种特殊情况，在这里我们接受迭代的每次更新。该模型从可数态集X上的概率质量函数（pmf）π和实值函数f（X）开始。这里，π和f（X）都被认为是复杂的，精确计算它们的值很难，并且无法精确采样。因此，我们使用该模型从π近似采样，或近似期望值E[f（X）]，其中X~ π，并按π分布。Gibbs采样算法如下：1。我们引入了建议矩阵Q。Q是一个随机矩阵，其中所有元素都是正的，每行的和等于1。（Qab=Qba，a、 b类∈ 十） 2。初始化Xin X3。对于迭代，其中i=0，1，2，n- 1：（a）从Q（xi，x）中抽取样本x，这样xi是一个固定的已知变量，x是在所有可能状态范围内的样本，（或者可以说P（x | xi）=Q（xi，x））（b）从均匀（0,1）中抽取样本au，（c）如果u<（|π（x））（|π（xi）），这是x的概率，那么x（i+1）=x，否则我们拒绝新抽取的样本，xi+1=xi。输出将是{x，x，x，xn}的序列。迭代过程将用于采样参数。

由于每个不同的参数遵循各自的分布，通过迭代其后验分布，可以抽取2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明（论文标题）5个参数。我们对相关参数实施了吉布斯采样器：漂移、u和波动率、标的资产的σ、跳跃事件的到来、λ和跳跃强度、uJand跳跃波动率、每个跳跃的σ跳跃。这些参数将显示基础资产的行为和移动，因此了解这些特征将为投资者管理风险提供洞察力。在使用Gibbs采样器进行参数采样的情况下，建议矩阵Q将是参数的后验分布。我们将初始化initialparameter为X，并重复采样过程，直到收敛。输出列表将是参数的样本。表1报告了模拟跳跃扩散模型中Gibbs采样法的参数值。表1：。测试Gibbs采样器算法。平均预设平均标准偏差漂移0.1 0.00198 0.43901波动率0.5 0.47655 0.02244跳跃强度10.0 9.51044 3.77489跳跃漂移0.05 0.05295 0.08975S。跳跃的D 0.025 0.16545 0.03999Gibbs采样器在参数跳跃漂移和跳跃的标准偏差方面存在收敛的局限性。3.3. 双指数模型的参数Kou建议使用方程N2.3中的双指数模型建立跳跃扩散模型。双指数的使用要求Kou的模型有更多的参数。除了资产的漂移和波动性，u和σ，Kou模型要求η和η用正态分布代替ujj。η和η是双指数模型所需的向上和向下跳跃的平均强度。

跳跃事件的到达，λ跳跃在口模型中包括向上和向下跳跃事件。在整个研究过程中，我们发现向上跳和向下跳的到达并不相互依赖。因此，我们提出了一种改进的方法，将跳跃到达参数拆分为两个不同的参数。这将确保向上和向下跳跃到达的伸缩性。S（t）=S（0）e（u-σ） +σW（t）N（t）Yi=1eY1，iN（t）Yi=1eY2，i，（3.1），其中N（t）是泊松过程；Yiis标准正态分布随机变量2018年6月19日12:36 WSPC/指令文件纸˙v46 Lau Kein Joeable；u是漂移系数；σ是基础GBM的波动率。fY（y）=p·ηe-ηy，fY（y）=-q·ηe-ηy.（3.2）由于吉布斯抽样法对噪音和资产漂移有限制，因此通过使用不同的方法获得参数值。首先，我们将考虑连续几天的价格差异。通过按升序排列，我们可以获得正负差异的中值。差值大于正中值四倍（或小于负中值四倍）的值可能是跳跃尖峰。这些将是跳跃强度，将输入到修改后的跳跃模型的双指数部分。此类峰值的次数被视为跳跃事件的到达次数，并将用于跳跃事件的泊松分布。最后，通过对标的资产收益率的平均对数，我们可以得到标的资产的漂移和波动率。例如，我们使用道琼斯2007年的数据。我们将获得一个预期的向上峰值和五个向下峰值，强度分别为0.012和0.0107。2007年道琼斯指数的漂移和波动率分别为-0.0043和0.1454。3.4.

欧洲看涨期权和可变年金与跳投的支付虽然跳投事件的数量对于每个市场工具也是不同的。一般认为，市场危机将每十年发生一次。然而，上涨并不意味着价格下跌，上涨也是可能的。除日常正常波动外，投资者应如何分组和识别跳跃，将是需要考虑的关键因素。这一部分将在今后的研究工作中进一步确定。因为不同仪器的跳跃参数值不同。我们将设定o<λ<4，0<uJ<0.08的范围，而初始价格和执行价格等于100美元。资产、u和σ值的漂移和波动性固定为0.08和0.4。我们将用它来模拟跳跃扩散过程，并计算欧洲看涨期权的预期收益。结果表明，普通跳跃模型低估了收益。当跳跃强度用平均值零进行归一化时，跳跃尖峰的预期收益将为零。这与我们最初的想法相矛盾，即预期跳跃事件的发生是根据实际市场价格计算的。因此，我们认为跳跃扩散模型需要修改。我们将λ扩展为两个不同的跳跃分量，以适应向上尖峰和向下尖峰，而不是单个跳跃参数。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明手稿（论文标题）73.5。跳跃式差异年金模式年金的价值因年金受益人的不同要求而不同。未来更大的收入流和保险担保成本更高（或固定年金支付），反之亦然。在Black-Scholesmodel假设下，年金账户价值的动态如下：dAt=（u- c） Atdt+σAtdBt+kdt。

（3.3）其中，at和c分别表示为t时的子账户价值和连续应付的M＆E（死亡率和费用）费用，k表示对子账户的后续贡献。在Black-Scholes模型下，结合几何布朗运动（GBM）和跳跃事件（方程式（2.2）中的跳跃模型）由以下SDE给出：dSt=uStdt+σStdBt+JStdNt（3.4），考虑到极端事件，子账户值将使用跳跃扩散模型假设进行修改，并变为：dAt=At（dSt）/St- cAtdt+kdt=At（dt+dBt+JdNt）- cAtdt+kdt=（- c） Atdt+AtdBt+JAtdNt+kdt（3.5）我们认为年金受益人有保证福利和累积保费，包括保证最低死亡福利和保证最低累计福利（GMDB和GMAB）。担保收益具有预先约定的担保利率g≥ 0，选择g<r（GMAB特性）。因此，担保收益如下所示：Gt=（在（dSt）/St- cAtdt+kdtAt（udt+σdBt+JdNt）- cAtdt+kdt（3.6）这种担保收益类似于亚洲看跌期权，其中子账户价值At成为基础资产。Payoff函数P（t）如下所示：P（t）=[G（t）- At]+=最大值{Gt- At，0}，对于t≤ T（3.7）我们将使用跳跃模型计算和模拟标准普尔500指数市场中的年金支付。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v48 Lau Kein Joe4。结果和数据分析4.1。市场指数的吉布斯采样器在方法论上，我们已经计算并表明吉布斯采样器可以从跳跃模型中检索漂移、标准差和跳跃参数。现在我们进一步探讨其他市场指数。我们选择了道琼斯工业指数（DJI）、纳斯达克综合指数100（NASDAQ100）、富时100指数（FTSE 100）、标准普尔500指数（S&P 500）和纽约证券交易所ARCA石油天然气指数（OilGas）。