连续时间不一致停止问题的最优平衡

论坛≥λ1+λK、 η（x，a）始终高于（K- x） +关于（a），∞).上述引理立即增强了引理6.5中的特征。推论6.1。对于任何a∈ （0，K），R=（0，a]∈ E当且仅当a≥λ1+λK、 λ>0定义（6.16）。证据对于任何a∈ （0，K），R=（0，a]∈ E当且仅当J（x，（0，a））=η（x，a）≥ （K）- a） +对于allx>a，引理6.6，当且仅当a≥λ1+λK、 对于u<0，无法获得引理6.5中的闭合平衡的特定形式。相反，我们证明了每个闭合平衡都必须包含一个公共su bset。引理6.7。让u<0。对于任何R∈ 如果i是闭的并且包含在（0，K）中，我们有0,λ1+λK R、 λ>0在（6.16）中定义。证据修复R∈ （0，K）中包含的封闭的E。通过矛盾，假设存在sx∈0,λ1+λK这样x/∈ R、 定义l 和（6.1）中的rl 如果不存在，则取为0∈ y<x的R。通过R的闭度，我们得到l < x和r>x。因为r是平衡，J（y，r）≥ f（y）f或全部y∈ (l, r） 。（6.17）首先，我们处理案例r>λ1+λK、 注意R′：=（0，l] ∪ [r，∞) 和0,λ1+λK由于（6.17）和推论6.1，二者均从E延伸至E。然后从命题4.1得出R′∩0,λ1+λK= (0, l] 同样属于E。然而，这与推论6.1相矛盾，因为l < x个≤λ1+λK、 接下来，我们处理案例r≤λ1+λK、 对于任何y∈ (l, r） ，定义τ：=inf{t≥ 0：Xyt/∈ (l, r） }，设p：（0，∞) ×{l, r} 表示（τ，Xyτ）的节理密度函数。类似于（6.8）和（6.9）yieldsJ（y，R）=（K）的计算- l)Z∞e-sh（s，y，l, r） ds+（K- r） Z∞e-sh（s，y，l, r） ds，（6.18），其中功能规定如下（6.9）。从（6.15）和（6.18）中观察∞e-sh（s，y，l, r） ds<Py[Xτ=l] 安德烈∞e-sh（s，y，l, r） ds<Py[Xτ=r]。这意味着∞e-sh（s，y，l, r） ds+Z∞e-sh（s，y，l, r） ds<1。（6.19）现在，选择α>1，使αl <λ1+λK<αr<K。

定义R′\'：=（0，αl] ∪ [αr，∞). 对于anyy∈ (l, r） ，由于（6.10），通过（6.8）和（6.9）中的参数，得出（6.18）的相同计算现在给出了j（αy，r′）=（K- αl)Z∞e-sh（s，y，l, r） ds+（K- αr）Z∞e-sh（s，y，l, r） ds。这与（6.18）一起表明j（αy，R′）- αJ（y，R）=-(α - 1） K级Z∞e-sh（s，y，l, r） ds+Z∞e-sh（s，y，l, r） ds公司> -(α - 1） K，其中第二条线从（6.19）开始，α>1。因此，J（αy，R′）≥ αJ（y，R）- (α - 1） K级≥ αf（y）-(α - 1） K=K- αy=f（αy），其中第二个不等式来自（6.17）。因为上面的关系是f或y∈ (l, r） ，我们得出结论（αl, αr） IR′\'∪ CR′。这是R′\'∈ E、 回顾0,λ1+λK∈ 根据推论6.1，我们从命题4.1得出结论，R′\'∩0,λ1+λK= (0, αl] 也属于E。然而，这与推论6.1相矛盾，如αl <λ1+λK、 现在，我们准备给出一个最佳平衡的显式公式，对于u的任何值∈ R、 提案6.5。R*=0,λ1+λK, λ>0，如（6.16）所示，是唯一的闭合最优平衡。证据首先，观察（0，K）∈ E、 事实上，自从f≡ [K]上的0，∞), 对于所有x，一个很容易得到J（x，（0，K））=0=f（x）∈ （K，∞). 这意味着（K，∞) ∈ I（0，K），因此（0，K）∈ E、 根据（4.11）和命题4.1，R*=\\R∈E、 R关闭DR∩ （0，K）=\\R∈E、 R关闭，R（0，K）R.（6.20）如果u≥ 0，by（6.20），引理6.5，和旋涡6.1，我们有*=\\λ1+λK≤一≤K（0，a）=0,λ1 + λK.如果u<0，则（6.20），引理6.7，和0,λ1+λK∈ E（根据推论6.1）再次给出R*=0,λ1+λK. 因此，根据定理4.1，R*=0,λ1+λK是一个最优平衡。最后，引理6.6（iii），J（x，R*) = η（x，λ1+λK） >（K- x） +对于所有x>λ1+λK、 wh ich暗示（R*)c=CR*.

因此，定理5.1确保R*是唯一的封闭最优平衡。鉴于支付函数f（x）=（K-x） +，人们希望几何眉毛运动x漂移到K>0以下，产生严格的正支付。然后，将重点放在保留类型停止策略（0，a）上是合理的，其中0<a≤ K、 这里的挑战是a>0应该有多小，这样产生的政策才能达到平衡。直觉上，如果a>0太小，则涉及的损失1+βρ（x，（0，a））可能超过支付（K-a） +在停车时获得，减少预期付款f J（x，（0，a））=Exh（K-a） +1+βρ（x，（0，a））i。因此，预计未来自我将遵循太小的阈值a>0，当前自我可能会决定立即停止–因此（0，a）不能是平衡。本小节的主要贡献是找到最小可能的保留，即a=λ1+λK、 （0，a）是一个平衡，如引理6.5、推论6.1和引理6.7所示。现在，由于贴现函数（3.6）导致不耐烦感降低，因此代理比较大的代理表现出更小的平衡；参见推论3.1及其下面的详细讨论。这很容易表明，至少在直觉层面上，最小可能的平衡0,λ1+λK是最优的，这是在第6.5条中严格确立的。阈值λ1+λK期望s响应X的向下电位。与第6.2小节类似，（3.8）中的ν测量X的向下电位：ν越小，向下电位越强。可以检查λ>0 in（6.16）在ν中严格增加，因此X的向下电势也可以通过λ的小程度来测量。观察λ1+λ在λ中严格递增，limλ↓0λ1+λ=0和limλ↑∞λ1+λ= 1. λ非常小时（即。

X具有很强的向下潜力），应将停止阈值设置为接近0，以充分利用向下潜力，从而产生严格的正回报。这是由λ1+λK、 减小到0为λ↓ 0.cr中的λ减小（即X的道指向上电位减弱），λ1+λK也增加，反映出提前停止的趋势。当λ非常大时（即X几乎没有向下的电势），当X仅稍微低于K>0时，应停止。这再次被λ1+λK、 增加至Kasλ↑ ∞.参考文献[1]G.Ash eim，《个人和集体时间一致性》，《经济研究评论》，64（1997），第427-443页。[2] E.Bayraktar和M.S^irbu，随机Perron方法和使用粘度比较进行无光滑性验证：线性情况，过程。美国。数学Soc。，140（2012），第3645-3654页。[3] T.Bj¨ork、M.Khapko和A.Murgoci，《连续时间中的时间不一致随机控制》，《金融与随机》，21（2017），第331-360页。[4] T.Bj¨ork、A.Murgoci和X.Y.Zhou，基于状态相关风险规避的均值-方差投资组合优化，数学。《金融》，24（2014），第1-24页。[5] A.N.Borodin和P.Salminen，H和《布朗运动事实和公式，概率及其应用》，Birkhauser-Verlag，巴塞尔，第二版，2002年。[6] I.Ekeland、O.Mbodji和T.A.Pirvu，时间一致性投资组合管理，SIAMJ。金融数学。，3（2012），第1-32页。[7] I.Ekeland和T.A.Pirvu，《没有承诺的投资和消费》，数学。财务部。经济。，2（2008），第57-86页。[8] S.R.Glandier和N.Wang，《不确定性和时间一致性偏好下的投资》，《金融经济学杂志》，84（2007），第2-39页。[9] 胡耀勇，金海华，周晓勇，时间不一致随机线性二次型控制，国际航空杂志。控制操作时间。，50（2012），第1548-1572页。[10] Y.-J。黄和A。

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