连续时间不一致停止问题的最优平衡

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英文标题：
《Optimal Equilibria for Time-Inconsistent Stopping Problems in Continuous
  Time》
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作者：
Yu-Jui Huang, Zhou Zhou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  For an infinite-horizon continuous-time optimal stopping problem under non-exponential discounting, we look for an optimal equilibrium, which generates larger values than any other equilibrium does on the entire state space. When the discount function is log sub-additive and the state process is one-dimensional, an optimal equilibrium is constructed in a specific form, under appropriate regularity and integrability conditions. While there may exist other optimal equilibria, we show that they can differ from the constructed one in very limited ways. This leads to a sufficient condition for the uniqueness of optimal equilibria, up to some closedness condition. To illustrate our theoretic results, comprehensive analysis is carried out for three specific stopping problems, concerning asset liquidation and real options valuation. For each one of them, an optimal equilibrium is characterized through an explicit formula.
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中文摘要：
对于非指数折扣下的无限期连续时间最优停止问题，我们寻找一个最优均衡，它在整个状态空间上产生的值比任何其他均衡都大。当贴现函数为对数次可加且状态过程为一维时，在适当的正则性和可积性条件下，以特定形式构造最优均衡。虽然可能存在其他最优平衡，但我们表明，它们可以在非常有限的方式上与构建的平衡不同。这就得到了最优平衡点唯一性的一个充分条件，直到某个封闭条件。为了说明我们的理论结果，本文对资产清算和实物期权估价这三个具体的停止问题进行了综合分析。对于其中的每一个，通过一个显式公式来描述最优平衡。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Equilibria_for_Time-Inconsistent_Stopping_Problems_in_Continuous_Time.pdf (402.08 KB)

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关键词：连续时间 Quantitative Mathematical Optimization equilibrium

时间不一致停止问题的最优平衡点不连续时间*Yu Jui Huang+Zhou Zhou2018年10月11日摘要对于非指数分布下的有限水平连续时间最优存储问题，我们寻找一个最优平衡，它在整个状态空间上产生的值比任何其他平衡都大。当贴现函数为对数次可加且状态过程为一维时，在适当的正则性和可积性条件下，以特定的形式构建最优均衡。虽然可能存在其他最优平衡，但我们表明，它们可以以非常有限的方式与构建的最优平衡不同。这就为最优平衡点的唯一性提供了一个充分的条件，直到某个封闭条件。为了说明我们的理论结果，我们对三个具体的停止问题进行了综合分析，涉及资产清算和实物期权估价。对于其中的每一个，通过一个显式公式来描述一个最优平衡。理学硕士（2010）：93E20，91G80。关键词：最优停止、时间不一致、非指数贴现、最优均衡、一致规划。1简介当决策者（代理人）对自己未来的行为缺乏有效控制时，Strotz[24]中的一致性规划已被广泛接受，用于解决时间不一致的问题。这是一个两阶段的过程。首先，代理人应该找出他将随着时间的推移实际遵循的策略（第一阶段）。在随后的文献中，这些策略被表述为子博弈完美纳什均衡，经常被称为均衡。

接下来，根据[24，p.173]，代理人需要“在他实际遵循的计划中找到最佳计划”（第二阶段）。在有限时域离散时间模型中，可以通过直接向后顺序优化找到平衡点，详见Pollak【21】。这实际上是唯一的平衡，正如在[16]和[1]中所观察到的那样。因此，第一阶段已经完成，不需要第二阶段。相比之下，在ce上，我们偏离了现场视野或离散时间结构，一致性规划变得非常重要。在有限时域离散时间设置中，特殊构造*我们要感谢匿名推荐人和副主编，他们的建议带来了更好的结果和更好的演示文稿。+科罗拉多大学应用数学系，美国科罗拉多州博尔德80309-0526，电子邮箱：yujui。huang@colorado.edu.部分由美国国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）资助悉尼大学数学与统计学院，新南威尔士州，2006年，澳大利亚，电子邮件：zhou。zhou@sydney.edu.au.are用于证明几个特定平衡的存在；参见例如【20】、【19】和【8】。在连续时间设置中，平衡通过线性方程组上的n个系统来描述，如【7】和【3】中所述。这引发了数学金融领域的活跃研究，如[6]、[9]、[26]和[4]等。然而，求解这个方程组很困难；即使它被解决了（如在[7]和[3]中的特殊情况下），我们也只能得到一个特定的平衡。换言之，正如目前的情况，第一阶段只是部分完成，找到所有平衡仍然是一个挑战。另一方面，第二阶段根本没有得到解决。值得注意的是，与有限水平离散时间模型相反，可能存在多重平衡，如【20】、【1】、【16】和【7】所示。

那么，如何选择一个合适的平衡点来使用是一个真正的问题。Huang和Nguyen Huu【10】最近为一致性规划的第一阶段开发了一种迭代方法。为了停止问题，[10]构造了一个x点迭代，可以轻松生成一大类平衡。当状态过程为一维时，Huang、Nguyen Huu和Zh ou【11】进一步确定，每个停止策略通过定点迭代收敛到一个平衡，这有助于搜索所有平衡。该方法已在[10]中应用于非指数贴现下的StoppingProblem，并在[11]中扩展到概率失真设置。在本文中，我们采用了[10]中的框架，并重点关注一致性规划的第二阶段。具体而言，我们研究了在非指数贴现条件下，代理人通过选择适当的时间停止一维连续马尔可夫过程X，取区间X中的值，使其预期收益最大化的有限时间连续时间顶部问题 R、 第二阶段所要求的平衡最优性标准在文献中几乎没有探讨过。在这里，我们提出，如果一个平衡在每个状态x产生的值比任何其他平衡都大，那么它就是最优的∈ 十、参见第2.3条。这一标准相当强：从非经济角度来看，它要求子博弈完美纳什均衡在整个状态空间中占主导地位，这在博弈论中是罕见的。然而，我们证明了最优平衡的存在性*, 具体表格（4.11）中给出；见定理4.1，这是本文的主要结果。定理4.1取决于几个关键条件。首先，折扣函数需要是对数次加法函数，即满足下面的（2.3）。

这尤其证明了行为经济学和金融学中经验贴现的特点，即减少了不耐烦；有关详细信息，请参阅下面的讨论（2.3）。其次，对状态过程X施加了一个“分散条件”，即假设4.1。它用于确保每当X到达X的钻孔子组R的边界时，其分散程度足以立即进入R。这使我们能够将注意力仅局限于闭合平衡（见第4.1节），而无需处理其他可能的病理形式s的平衡。大量的扩散过程显示满足假设4.1；见备注4.2。最后，我们需要（4.2）和（4.3）作为停止问题的适当长期限制和可积条件。当违反（4.3）时，一般可能不存在最优平衡；详情见提案6.4和备注6.2。随之而来的一个自然问题是，最优平衡点*, 建立在定理4.1中，实际上是唯一的。这通常不是真的：在示例5.1中，我们显式地构造R*另一个最优平衡T*, 带R*适当包含在T中*. 尽管存在多重最优平衡的可能性，但如果我们对平衡施加封闭性要求，我们观察到，每个封闭的最优方程只能与R*非常有限的方式，如推论5.2所述。此外，定理5.1中提出了R的一个合理的充分条件*是唯一的封闭时间平衡。这种情况可以在许多实际停车问题中得到验证，包括第6节中研究的问题。为了说明我们的理论结果，第6节对三个具体示例进行了综合分析：（i）贝塞尔过程的停止，（ii）几何布朗运动的停止，以及（iii）几何布朗运动上的美式看跌期权。

每个例子都描述了实物期权估价或资产清算的问题，以及相应的最优均衡R*通过显式公式表征。这里分析的另一个贡献是*即使在定理4.1中的某些条件实际上失败的情况下，也可以找到并描述。事实上，如第6.2节所示，我们可以引入一个相关的辅助排序问题，定理4.1适用于该问题。值得注意的是，在离散时间环境中，Huang和Zhou[12]还建立了一个最优平衡的存在性，即在现场水平停止问题。与[12]相比，我们当前的连续时间设置不太合适。例如，【12】中没有必要仔细区分闭合平衡与其他平衡，因为在温和的连续性假设下，每个平衡都是在不确定的时间内闭合的。此外，d iscr ete时间结构导致了最优方程的唯一性，这节省了我们在第5节中所做的所有努力。有关本文件与[12]之间的详细比较，请参见第5.1节。本文的组织结构如下。第2节介绍了停止问题的建立、平衡点的公式和平衡点的最优性准则。第3节给出了一个有用的基本结果，仅依赖于条件（2.3），它很容易揭示最优平衡的形式。第4节建立了最优平衡的存在性*. 在命题4.1和4.2中显示，闭合平衡点的可数交也是一个平衡点，这是导出主要结果定理4.1的关键。第5节研究了另一个最优平衡T*来自R*, 在定理5.1中，提出了R*是唯一的亲密伴侣。

第6节详细分析了三个具体的停车问题。2设置和初步考虑概率空间(Ohm , F、 P）支持时间齐次连续强马尔可夫过程X=（Xt）t∈[0,∞), 在某个区间X取值 R、 设B（X）表示X中的Borel集合。设F：=（Ft）t≥0是X生成的过滤的P-增强，T是所有F-停止时间的集合。对于每个x∈ 十、 我们用Px（resp.Ex）表示以X=X为条件的概率（resp.expection）∈ 十、 此外，我们将X的位置设为xxx，以强调其初始值X=X。考虑一个支付函数f:X→ [0, ∞), 假设为连续的。还要考虑折扣函数δ：[0，∞) → （0，1），假设为非递增、连续且满足δ（0）=1和δ（t）→ 0作为t→ ∞. 经典的最优停止问题是由supτ表示的∈TEx[δ（τ）f（Xτ）]。（2.1）这里，我们允许τ∈ T取值∞: 我们取δ（τ）f（Xxτ）：=lim su pt→∞{τ=∞};这符合Karatzas和Shreve【14，附录D】。从标准文献（如[14，附录D]和Shir yayev[23]）中可以看出，在相当一般的条件下，对于任何初始状态∈ 十、 存在一个最佳停止时间eτX∈ T表示（2.1）。然后很自然地会问，在不同时刻（如eτxat时间0和eτXxtat时间t>0）获得的最佳停车时间是否相互一致。特别地，（2.1）被认为是时间一致的，如果对于任何x∈ X和t>0，我们有eτX（ω）=t+eτXxt（ω），对于a.e.ω∈ {eτx≥ t} 。（2.2）通常，该条件仅适用于δ（t）：=e-αt对于某些α>0。当δ是一般的非指数贴现函数时，Huang和Nguyen Huu【10，第2节】详细分析了未解决的时间不一致性。直观地说，（2.2）m的失败意味着我们今天发现的最佳停止时间eτx，n在未来可能不是最优的。

我们的未来自我在时间t>0时试图使用eτXxt，在时间t时对他来说是最优的，而不是坚持之前确定的eτx。这是有问题的：虽然可以找到最大化eτxof（2.1），但我们未来的自我将无法实现。最后，由于时间不一致，可能无法达到（2.1）中的上限。在本文中，我们假设贴现函数δ满足δ（s）δ（t）≤ δ（s+t），s、 t>0。（2.3）这特别体现了减少不耐烦，这是行为经济学和金融学中经验贴现的一个有据可查的特征；参见例如【25】、【18】和【17】。如【22】所述，减少不耐烦相当于在更接近当前的时间间隔内进行teeper折扣。注意，（2.3）涵盖了导致不耐烦感降低的s非指数贴现函数，如δ（t）：=1/（1+βt），β>0（双曲线），δ（t）：=1/（1+βt）kf，k>0（广义双曲线），δ（t）：=λe-rt+（1- λ） e类-r、r>0和λ的Rt∈ （0，1）（伪指数）。有关详细说明，请参见下面的讨论【10，假设3.12】。正如《Intr Production》中所提到的，Strotz【24】提出了一致的规划，作为解决时间不一致性的一种方法：代理人应该考虑到未来自己的行为，并找到一种一旦实施的阻止策略，未来自己都不想偏离。这些策略，在文献中称为平衡，将在下面详细阐述。2.1在【10】中观察到的平衡公式，在时间不一致的情况下，由于人们可能会随着时间的推移重新评估和改变对停止时间的选择，他的停止策略不是单一的停止时间，而是下面定义的停止策略。定义2.1。

A可测的Borelτ：X→ {0，1}称为停止策略。给定任何当前状态x∈ 十、 停止策略τ控制代理何时停止：他在第一时间停止τ（Xxt）产生值0。请注意，这一定义取自[10，定义3.1]，可以用X中的Borel集等价地表示。实际上，通过定义，τ：X→ {0，1}是停止策略<==> 对于某些R，τ（x）=1Rc（x）∈ B（X）。（2.4）这里，τ和R adm it the relation R={x∈ X：τ（X）=0}。因此，可以使用Borel s ets R重新表述[10，第3.1节]中关于停止策略τ的博弈论公式。具体而言，为了解决时间不一致性，代理需要考虑其未来的自我行为，并找到对此的最佳反应。假设代理最初计划使用R∈ B（X）作为其停止策略。现在，在任何状态x∈ 十、 代理人进行博弈论推理：“假设我所有的未来都会跟随R∈ B（X），针对这一点，今天最好的阻止策略是什么？”今天的代理只有两种可能的操作：停止和继续。如果他停下来，他会立即得到f（x）。如果他继续，考虑到他未来的一切∈ B（X），他最终会在ρ（X，R）：=inf{t>0:Xxt的时刻停止∈ R}∈ T这导致预期的payoff J（x，R）：=Ex[δ（ρ（x，R））f（xρ（x，R））]。（2.5）通过比较f（x）和J（x，R），我们得出了今天Θ（R）的最佳停止策略：=SR∪ （IR∩ R）∈ B（X），（2.6），其中sr：={X∈ X：f（X）>J（X，R）}，IR：={X∈ X：f（X）=J（X，R）}，CR：={X∈ X:f（X）<J（X，R）}。（2.7）这里，SR、IR和CRare分别称为停止区、差异区和连续区。特别是在IR上，代理在停止和继续之间是不同的，因为它们产生相同的回报。因此，代理人没有动机偏离最初的排名策略R∈ B（X）。

这就产生了IR一词∩ R英寸（2.6）。定义2.2。R∈ 如果Θ（R）=R，则称B（X）为平衡。我们用E表示等位平衡集。备注2.1。在当前的上下文中，X是时间齐次的，（2.6）只是使用关系式（2.4）对[10]中（3.6）的重新公式化。因此，定义2.2只是对[10，定义3.7]的重新表述，再次感谢（2.4）。备注2.2（平衡的存在）。整个状态空间X是一个平衡m。实际上，对于任何X∈ 十、 由于ρ（X，X）=0，我们得到J（X，X）=f（X）。这意味着IX=X，因此Θ（X）=X。寻找平衡的一般方法是【10】中介绍的定点迭代法：一个从任意变量R开始∈ B（X），并重复施加Θ，直到达到平衡。下一个结果是[10，定理3.16]和（2.4）的直接结果。提案2.1。对于任何R∈ B（X）使得R Θ（R），我们有Θn（R） Θn+1（R）表示所有n∈ N、 此外，R：=limn→∞Θn（R）=[n∈NΘN（R）属于E.2.2平衡的最优性发现平衡只是Strotz一致规划的第一阶段【24】。在第二阶段，药剂应在所有平衡中选择最佳平衡。这就要求对平衡点有一定的最优性标准，这在文献中还没有被阐述过。对于每个R∈ E、 通过v（x，R）定义相关值函数：=f（x）∨ J（x，R），对于所有x∈ 十、 定义2.3。^R∈ E称为最优平衡，如果对于任何R∈ E、 V（x，^R）≥ V（x，R）x个∈ 十、 这是一个stron g最优性标准，因为它要求在每X处^R对R的支配∈ 十、 另一种解释定义2.3的方法是，与（2.1）中的经典最优停止类似，weaim to solvesupR∈EV（x，R）。（2.8）与经典最优停止的不同之处在于，我们对解决（2.8）外汇问题并不满意∈ 十、