连续时间不一致停止问题的最优平衡

在第6节中，我们将表明，如果违反（4.3），则最优平衡可能不存在；具体见命题6.4和备注6.2.5闭合最优平衡的表征定理4.1表明存在一个最优平衡R*, 这是由施工关闭。它是否是唯一的最优均衡尚未解决。事实上，如果我们不对最优平衡点施加任何封闭条件，很容易看到唯一性失败了。实际上，在假设4.1下，R的任何子集R*R=R时*也是一个平衡（引理4.2（ii）），V（x，R）=V（x，R*) 对于所有x∈ X（备注4.3）。因此，R也是一个最优平衡。本节研究R*在（4.11）中是唯一的闭合最优平衡。最终的结论是R*一般来说，不是唯一的，但其他封闭的最优平衡点只能与R不同*以非常有限的方式。此外，我们提出了一个有用的充分条件，由许多实际的停止问题所满足，用于R*是唯一的封闭最优平衡。作为第一步，我们研究均衡和最优均衡之间的关系。引理5.1。让T*∈ E是最优平衡。对于任何R∈ E、 我们有*\\ R IR。证据修复x∈ T*\\ R、 自T起*是一个平衡，x∈ T*暗示f（x）≥ J（x，T*), 和thusV（x，T*) = f（x）。类似地，由于R是一个平衡，x/∈ R表示f（x）≤ J（x，R）和thusV（x，R）=J（x，R）。它遵循v（x，T*) = f（x）≤ J（x，R）=V（x，R）。（5.1）带T*作为最优均衡，上述关系必须保持相等，这意味着X∈ IR。

因此，我们得出结论T*\\ R IR。当R*在（4.11）中属于E，根据平衡的定义（定义2.2），我们有（R*)c CR公司*∪ 红外光谱*.如果发生在差异区域IR*在R之外不存在*, i、 e.（R）*)c=CR*, （5.2）那么引理5.1已经暗示了闭合最优平衡的唯一性。定理5.1。如果R*在（4.11）中，是一个满足（5.2）的最优平衡，那么R*是唯一闭的最优平衡点证明。通过R的封闭性*, （5.2）表示IR*R*= R*. 让T*∈ E是一个封闭的最优平衡。鉴于（4.11），R* T*. 另一方面，引理5.1意味着T*\\R* 红外光谱* R*,这需要T*\\ R*= . 因此，我们得出结论，T*= R*.定理4.1和5.1一起产生了有用的结果。推论5.1。假设假设假设4.1、（4.2）和（4.3）保持不变。如果R*在（4.11）满意度（5.2）中*是唯一的封闭最优平衡。备注5.1。许多实际停止问题（包括第6.1节和第6.3节中研究的问题）都满足了唯一性条件（5.2）。一般来说，R*在（4.11）中，可能并不总是满足（5.2），并且可能存在多个闭合的最优平衡。这将在下一个示例中演示。示例5.1。Le t X是一维贝塞尔过程，即Xt：=| Wt |，其中W是一维布朗运动。考虑（3.6）中的双曲线贴现函数。让a*> 0如下面引理6.1所述，并选择b*> 一*. 定义支付函数f：[0，∞) → R+byf（x）=（如果0，则为x≤ x个≤ b*,Ex[δ（Txb*)b*] = Exhb公司*1+βTxb*iif x>b*,其中Txb*定义见（5.5）。请特别注意，f是连续的，其中f（b*) = b*. 根据定理4.1，可以得出以下结论：R*在（4.11）中是一个最优平衡。观察任何x∈ [0，a]*), J（x，[a*, b*]) = J（x，[a*, ∞)) > x=f（x），其中不等式来自引理6.1；对于任何x>b*, J（x，[a*, b*]) = Exhb公司*1+βTxb*i=f（x）。

这意味着[0，a*) ∪（b）*, ∞) ∈ I【a】*,b*]∪ C【a】*,b*], 因此*, b*] ∈ E、 我们声称R*= [答*, b*]. 根据（4.11），R* [答*, b*]. 如果R*并不是一个连通集，人们可能会像[10，引理4.3]中所说的那样得出一个矛盾。因此，R*= 【a，b】对于一些a*≤ 一≤ b≤ b*.如果a*< a、 那么对于任何x∈ [0，a），J（x，[a，∞)) = J（x，R*) ≥ x、 其中不等式从r开始*∈ E、 这意味着[a，∞) ∈ E、 这与引理6.1 a>a相矛盾*. 如果b<b*, 然后X>Exb1+βTxb= J（x，R*), x个∈ （b，b*).这与R相矛盾*∈ E、 因此，我们得出结论，R*= [答*, b*].现在，请注意（b*, ∞)  红外光谱*, 因此（5.2）无法保持。此外，T*:= [答*, ∞) 也是一个封闭的最优平衡，asV（x，T*) = f（x）=Exb*1+βTxb*= 前任f（b）*)1+βTxb*= J（x，R*) = V（x，R*), x>b*.考虑到示例5.1，有兴趣研究当（5.2）不能保证时，一个任意闭合最优平衡T*can与R不同*在（4.11）中。为此，采取R∈ E关闭。对于任何x/∈ R、 定义lR（x）：=sup{y∈ R:y<x}和rR（x）：=inf{y∈ R:y>x}。（5.3）如果没有y∈ 当y<x时，我们取lR（x）=inf x（可以是-∞). 很抱歉，如果没有∈ 当y>x时，我们取rR（x）=sup x（可以是∞). 请注意lR（x）<x和rR（x）>x，由于R的封闭性。让T*∈ E是包含R的封闭最优平衡*\\ R必须相交(lR（x），rR（x））对于某些x/∈ R、 说明T之间的精确关系*andR，我们将要求状态过程X在以下意义上是正则的：对于任何X∈ int（X），Px（Txy<∞) > 0y∈ 十、 （5.4）式中，xy：=inf{t≥ 0:Xxt=y}（5.5）是从X到y的第一次击中时间，对于任何不同的X，y∈ 十、 这与Karlin和Taylor【15，第15章】中的公式一致。提案5.1。假设（4.2）成立，X在（5.4）意义上是正则的，而（2.3）在严格不等式意义上成立。

让T*∈ E是一个封闭的最优平衡，R∈ E应闭合并包含inT*. 那么，对于任何x/∈ R、 （i）如果(lR（x），rR（x））∩CR6=, 然后T*∩(lR（x），rR（x））=;（ii）如果(lR（x），rR（x））∩CR= 和f 6≡ 0开(lR（x），rR（x）），然后*∩(lR（x），rR（x））= 或(lR（x），rR（x）） T*;（iii）如果(lR（x），rR（x））∩ CR= 和f≡ 0开(lR（x），rR（x）），然后对于(lR（x），rR（x）），R∪ A.∈ E和V（y，R∪ A） =V（y，T*) = 0表示所有y∈ (lR（x），rR（x））。证据（i） 通过矛盾，假设T*∩ (lR（x），rR（x））6=. 取z∈ (lR（x），rR（x））∩ CR.ByLemma 5.1，z/∈ T*, 因此，我们可以定义l（z） ：=辅助{y∈ T*: y<z}和r（z）：=inf{y∈ T*: y>z}。（5.6）我们必须l（z） >lR（x）或R（z）<rR（x），否则T*∩ (lR（x），rR（x））6= 将被违反。同时，由于T*, 我们有l（z） <z和r（z）>z。注意(lR（x），rR（x））∩CR6= 已排除以下情况：（a）lR（x）=inf x/∈ 十、 和rR（X）=sup X/∈ 十、（b）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x/∈ 十、 和f(lR（x））=0；（c）lR（x）=inf x/∈ 十、 rR（X）=sup X∈ X（或rR（X）<sup X），且f（rR（X））=0；（d）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x∈ X（或rR（X）<sup X）和f(lR（x））=f（rR（x））=0。实际上，在每种情况下，J（y，R）=0≤ f（y）代表所有y∈ (lR（x），rR（x）），感谢（4.2）。这意味着(lR（x），rR（x））∩CR=, 合同。让我们把重点放在其余的案例上：（e）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x/∈ 十、 和f(lR（x））>0；（f）lR（x）=inf x/∈ 十、 rR（X）=sup X∈ X（或rR（X）<sup X），且f（rR（X））>0；（g）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x∈ X（或rR（X）<sup X）和eitherf(lR（x））>0或f（rR（x））>0（假设f处不丧失通用性(lR（x））>0）。定义τ：=ρ（z，T*) 和v：=ρ（z，R）。根据定义，τ≤ v、 我们考虑setA：={ω∈ Ohm : τ<v}，并要求Pz（A）>0时的th。

如果Pz（A）=0，我们有“l（z） =lR（x）和R（z）<rR（x）“或”l（z） >lR（x）和R（z）=rR（x）”。假设是前者，但不失一般性。注意Pz（A）=0需要TzlR（x）<Tzr（z）Pz-a.s。这与x是一个强马尔可夫过程一起，意味着x从z开始时，永远无法到达区域[R（z），∞), Pz-a.s.然而，这与（5.4）意义上的正则X相矛盾。当Pz（A）>0时，X是一个正则过程，则意味着PzXzv=lR（x）| A> （e）和（g）情况下为0，Pz情况下为0Xzv=rR（x）| A> 案例（f）中为0。因此，我们得出结论，在所有这三种情况下，Pz（f（Xv）>0 | A）>0。（5.7）现在，我们执行（3.2）中相同的计算，将x和T替换为z和T*. 在这个计算中，请注意，我们现在有一个严格的不等式Ez[δ（v）f（Xv）| fτ]1A]>Ez[δ（τ）Ez[δ（v- τ）f（Xv）| fτ]1A]。我们得到“>”，而不仅仅是≥”, 因为P（A）>0，（5.7），0<τ<v在A上，和（2.3）具有严格的不等式。然后，引理3.1中（3.2）下面的相同论点可以应用于这里，这使得严格不等式J（z，R）>J（z，T*). 自z起/∈ T*和T*是一个平衡，J（z，T*) ≥ f（z）。因此，我们得到V（z，R）≥ J（z，R）>J（z，T*) = V（z，T*), 这与T*是不理想的均衡。（ii）由于R是一个平衡点(lR（x），rR（x））∩ CR= 暗示(lR（x），rR（x）） IR。通过矛盾，假设T*∩ (lR（x），rR（x））6=, 但是(lR（x），rR（x））不包含在T中*. 塔克斯∈ (lR（x），rR（x））\\T*, 和定义l（z） 和r（z），如（5.6）所示。请注意，在当前设置下，上述（a）-（d）种情况再次被排除在外。实际上，在这些情况下，对于所有y，J（y，R）=0∈ (lR（x），rR（x））。使用(lR（x），rR（x）） IR，对于ally，我们得出f（y）=J（y，R）=0∈ (lR（x），rR（x）），这与f的选择相矛盾。

对于上述剩余的（e）-（g）特定情况，与（i）中相同的参数表明V（z，R）>V（z，T*), 这与f法案相矛盾*是一个最优平衡。（iii）对于(lR（x），rR（x）），感谢f≡ 0开(lR（x），rR（x））和（4.2），J（y，R∪ A） =0=所有y的f（y）∈ (lR（x），rR（x））。也就是说(lR（x），rR（x）） 红外光谱∪A、 其中已包含R∪A.∈ E、 回想（ii）中的f，R是一个平衡，并且(lR（x），rR（x））∩CR= 暗示(lR（x），rR（x）） IR。我们有V（y，R∪A） =f（y）=0表示所有y∈ (lR（x），rR（x））。特别是，如果我们*:= T*∩(lR（x），rR（x）），然后对于所有y∈ (lR（x），rR（x）），V（y，T*) = V（y，R∪A.*) = 0、备注5.2。命题5.1的条件“（2.3）与严格不等式”在实践中没有限制性。最常见的非指数贴现函数（包括2.3）满足此条件。召回R*在（4.11）中。对于每个x/∈ R*, 我们定义l*（x） 和r*（x） 如（5.3）所示，R由R代替*. 任意闭最优平衡T*can与R不同*以非常有限的方式，如下所述。推论5.2。假设（4.2）成立，X在（5.4）意义上是正则的，并且（2.3）成立严格不等式。让T*∈ E是一个封闭的最优平衡。如果R*在（4.11）中，i是一个最优平衡，那么对于任何x/∈ R*,（i） 如果(l*（x） ，r*（x） （）∩ CR公司*6= , 然后T*∩ (l*（x） ，r*（x） ）=;（ii）如果(l*（x） ，r*（x） （）∩ CR公司*=  和f 6≡ 0开(l*（x） ，r*（x） ），然后*∩ (l*（x） ，r*（x） ）= 或(l*（x） ，r*（x） （） T*;（iii）如果(l*（x） ，r*（x） （）∩ CR公司*=  和f≡ 0开(l*（x） ，r*（x） ，则对于(l*（x） ，r*（x） ），R*∪ A是最佳平衡。证据根据定义，R*已关闭且R* T*. 结果直接来自命题5.1和R*是一种最佳平衡。备注5.3。人们可能会想，推论5.2（i i）是否可以加强，以便(l*（x） ，r*（x） （） T*可以排除。

如果可以做到这一点，推论5.2（i）和（ii）一起将意味着R*当f 6时，u ni que是闭合平衡吗≡ 在X的任何子间隔上为0。但是，通常不能这样做。实际上，在示例5.1中，T*\\ R*= （b）*, ∞)  红外光谱*,这表明排除“(l*（x） ，r*（x） （） T*” 在推论5.2（ii）中，一般不可能。5.1与[12]中的离散时间设置进行比较在离散时间设置中，Huang和Zhou[12]还建立了非指数贴现下有限期停止问题的最优均衡的存在性。尽管如此，本论文与[12]之间存在一个关键差异。在定义（2.6）中的固定点算子时，我们考虑差异区域，这与【10】中最初提出的迭代逼近一致。相反，差异区域在[12]中不起作用：它只是作为停止区域的一部分。这种简化允许[12]在离散时间内建立强大的理想结果，包括（i）每个平衡都是闭合的，（ii）在温和的连续性假设下存在唯一的最优平衡。虽然在连续时间内进行相同的简化很有诱惑力，但这种简化仅在离散时间内进行。具体而言，如果我们忽略（2.7）中的差异区域，将其包括在s顶部区域中，那么定点迭代是否能够转化为平衡就值得怀疑了（即命题2.1可能不再成立）。这可以追溯到convergenceresult的证明【10，定理3.16】，它需要使用差异区域。在[12]的离散时间设置中，[12，引理3.1]弥补了不存在差异区域的缺陷，允许定点迭代收敛到平衡点（[12，定理3.1]），而无需差异区域。

然而，这样的结果需要Θ（R） R代表R∈ B（X）。在连续时间内，这种关系不成立（见备注4.4），除非R已经是一个平衡。为了说明我们的理论结果，本节研究了三个不同的stoppin g问题。第一个是贝塞尔过程的停止，详见【10，第4节】。我们将简要介绍它，因为它完全符合定理4.1。第二个例子是几何布朗运动的停止，而第三个例子是写在几何布朗运动上的美式看跌期权。这两个例子需要仔细的综合分析，这将加强我们对可积性条件（4.3）作用的理解。在这三个例子中，我们将用一个显式公式来描述最优平衡。6.1贝塞尔过程的停止考虑一维贝塞尔过程X，由Xt给出：=| Wt |，其中W是一维布朗运动。然后，状态sp ace为X=[0，∞). 设payoff函数为f（x）=x对x，贴现函数为双曲型，如（3.6）所示。（2.5）中的预期p ayo fff J（x，R）则采用（3.7）的形式。此外，根据布朗运动W的标准性质，可以验证假设4.1、（4.2）和（4.3）都满足。如【10，p.82】中所述，当前设置与实物期权问题有关，在该问题中，大型非盈利保险公司的管理层打算清算或出售该公司，并希望决定何时进行清算或出售。n ext结果给出了所有闭合平衡的精确特征，这是[10，proposition 4.5和引理4.4]的直接结果。引理6.1。R∈ B（X）是闭合平衡，当且仅当R=[a，∞) 对于一些a∈ [0，a]*], 何处*> 0的特征是*R∞e-s√2βs tanh（a*√2βs）ds=1。

此外，对于任何∈ （0，a*],J（x，[a，∞)) > x代表所有x∈ [0，a）.提案6.1.R*= [答*, ∞), 用一个*> 在引理6.1中，0是唯一的闭合最优平衡。证据根据（4.11）和引理6.1，R*=助教∈[0，a*][a，∞) = [答*, ∞). 根据定理4.1，R*=[答*, ∞) 是一个最优平衡。再次感谢引理6.1，J（x，[a*, ∞)) > x代表所有x∈ [0，a]*),这意味着（R*)c=[0，a*) = CR公司*. 定理5.1则断言R*是唯一的封闭最优平衡。由于支付函数f（x）=x的增量非常大，因此有理由关注阈值型停止策略[a，∞), 如引理6.1所示。她面临的挑战是≥ 0应该是，以便生成的策略可以是平衡。直觉上，如果≥ 0太大，贴现涉及1+βρ（x，[a，∞))可能会超过停车时获得的收益，减少预期收益J（x，[a，∞)) = 前任a1+βρ（x，[a，∞)). 因此，预测未来的自我将遵循太大的阈值a≥ 0时，当前自我可能会决定立即停止–这样[a，∞) 不能是Equalibrium。引理6.1的主要贡献是提供了一个尖锐的上界a*对于阈值a≥ 0，以便[a，∞) 是一种均衡。现在，由于折扣函数（3.6）会减少不耐烦感，代理倾向于较小的平衡而不是较大的平衡；参见推论3.1及其下面的详细论述。这很容易表明，至少在直觉层面上，最小可能的平衡*, ∞) 是最优的，这是在Proposition 6.1中严格建立的。该[a]*, ∞) 是一个最优均衡，事实上可以从[10，命题4.10]中得出，这是基于对当前s topping问题的直接计算得出的。

在这里，我们看到我们的一般理论结果恢复了相同的结论。6.2几何布朗运动的停止考虑（3.5）给出的几何布朗运动X，状态空间X=（0，∞), 以及支付函数f（x）=x对x和（3.6）中规定的双曲线贴现函数。（2.5）中的预期薪酬（x，R）采用表（3.7）。当前设置描述了一个问题，即过度折扣的代理希望找到一个合适的时间来清算资产X。请注意，由于备注4.2，X满足假设4.1。然而，条件（4.2）和（4.3）并不总是成立。回忆常量ν∈ （3.8）中定义。备注6.1。在（3.9）中，只有当ν≤ 另一方面，当ν>-1/2. 事实上，自从ν>-1/2相当于u>0，对于任何x>0，Ex支持∈[0,∞)δ（t）Xt= 限制→∞前任支持∈[0，T]δ（T）Xt≥ 限制→∞Ex[δ（T）XT]=极限→∞euT1+βT=∞.（4.2）和（4.3）不一定总是成立的事实对找到最佳平衡提出了挑战。首先，R*因为定理4.1可能不适用，所以（4.11）不再是保证最优平衡。即使是平衡点相交的基本结果仍然是一个平衡点，这一点现在仍在讨论中，因为命题4.1和d 4.2要求（4.2）和（4.3）两者兼而有之。在下面，我们将处理ν>0，ν的情况∈ (-1/2，0]和ν≤ -分别为1/2。在适当修改当前的停止问题后，我们将看到第4节的结果仍然可以应用。对于ν>0，由于实施例3.1，很容易存在最佳平衡。提案6.2。设ν>0。然后R*=  是一个最优平衡。证据从示例3.1中，我们已经知道 是一个最优平衡。然后R*= , 简化了（4.11）中的定义。对于ν≤ -1/2，我们首先观察到任何闭合平衡h都具有特定形式。引理6.2。Letν≤ -1/2.