均匀扩散双障碍期权的定价：Neumann方法

通常，通过关系σ=δyβ，（31）计算每个β值的标度参数δ，同时保持初始瞬时波动率σ=0.25。我们注意到，步骤7中光谱参数的确定是通过插值进行的，出于实际目的，在间隔（0，15）上均匀分布100个点的网格，以及在间隔（0，50）上1000个点的网格，用于构造插图。注意，我们的β与[14]中考虑的β相等。表2和图表。实际推理是由于项eλn（T-t） 在我们的公式中，这间接地将参数N设置在6左右，如表2所示。图1使用上述参数和K=100，β=-1和γ=2。使用相同的参数集，图2显示了函数f（y）=（y）的应用程序的详细信息- K） +在t=t的边界处。

可以观察到边界U处的大幅下降，这是对备注2.0.50.40.3倍0.20.1090100资产价格1103001020120价值函数期权价格期权价格的澄清。图1：该图说明了欧佩克风格DBKO看涨期权的价值函数、支付和价格，其中y=100，K=100，L=90，U=120，T=0.5，r=0。1，’q=0，b=0.02，c=0.5，γ=2，β=-1，σ=0.25.90 95 100 105 110 115 120-5051015225Payoffeigenfunction近似图2：该图展示了欧洲风格DBKO看涨期权通过特征函数展开的Payoffe function近似，其中N=27个特征函数，y=100，K=100，L=90，U=120，T=0.5，’r=0.1，’q=0，b=0.02，c=0.5，γ=2，β=-1，σ=0.25。表1显示了欧洲风格的DBKO看涨期权和看跌期权的价格，以及EJDCEV模型下不同货币水平下与K对应的希腊人的价格∈ {95, 100, 105},β ∈ {0.5, 0.0, -1.0, - 2.0}和γ∈ {0, 1, 2}. 我们进一步注意到，γ=2和β的六种情况∈ {-1.0, -2.0}产生DBKO put选项的值，如【14，表2，面板C】所示。直接比较显示结果完全相同（精确到小数点后四位），这进一步证明了我们算法的鲁棒性。

更重要的是，这也使我们能够在一组更大的波动率和违约强度规范下测试我们的方法，而到目前为止，这些规范在文献中还无法解决。表1：欧式DBKO选项的价格和“希腊人”。认购期权：f（y）=（y- K） +看跌期权：f（y）=（K- y） +参数价格希腊价格GreeksKβγv（100，0） νθv（100，0） ν θ95 0.5 0 0.7314 -0.0332 -26.5669 4.9860 0.0029 -0.0001 -0.1101 0.020195 0.5 1 1.5057 0.0179 14.3442 6.5544 0.0168 0.0002 0.1364 0.074495 0.5 2 1.5572 0.0417 33.3312 6.3003 0.0222 0.0006 0.4438 0.091295 0.0 0 0.7163 -0.0319 5.0712 0.0023 -0.0001 0.016695 0.0 1 1.6417 0.0251 7.0686 0.0148 0.0002 0.065295 0.0 2 1.7117 0.0518 6.7849 0.0198 0.0006 0.080295 -1.0 0 0.6905 -0.0300 12.0097 5.2996 0.0014 -0. 0001 0.0263 0.011195 -1.0 1 1.9733 0.0432 -17.2851 8.2401 0.0114 0.0002 -0.0865 0.049695 -1.0 2 2.0860 0.0771 -30.8585 7.8538 0.0157 0.0005 -0.2135 0.061595 -2.0 0 0.6421 -0.0280 5.5973 5.3842 0.0008 0.0000 0.0078 0.007195 -2.0 1 2.3959 0.0675 -13.5059 9.5993 0.0087 0.0002 -0.0419 0.037595 -2.0 2 2.5570 0.1107 -22.1395 9.0265 0.0123 0.0005 -0.0964 0.0469100 0.5 0 0.4568 -0.0207 -16.5434 3.1114 0.0270 -0.0013 -1.0175 0.1860100 0.5 1 0.8695 0.0105 8.4109 3.

7784 0.1307 0.0014 1.0802 0.5772100 0.5 2 0.8778 0.0237 18.9282 3.5444 0.1655 0.0042 3.3387 0.6801100 0.0 0 0.4561 -0.0202 3.2256 0.0218 -0.0010 0.1563100 0.0 1 0.9700 0.0150 4.1676 0.1181 0.0016 0.5189100 0.0 2 0.9881 0.0301 3.9064 0.1517 0.0043 0.6143100 -1.0 0 0.4571 -0.0198 7.9187 3.5041 0.0137 -0.0006 0.2535 0.1071100 -1.0 1 1.2159 0.0269 -10.7784 5.0594 0.0962 0.0018 -0.7382 0.4167100 -1.0 2 1.2574 0.0469 -18.7457 4.7137 0.1272 0.0044 -1.7458 0.4979100 -2.0 0 0.4385 -0.0190 3.8045 3.6716 0.0082 -0.0004 0.0781 0.0709100 -2.0 1 1.5313 0.0437 -8.7342 6.1011 0.0779 0.0019 -0.3774 0.3328100 -2.0 2 1.6006 0.0699 -13.9770 5.6109 0.1059 0.0042 -0.8350 0.4012105 0.5 0 0.2314 -0.0104 -8.3529 1.5750 0.1004 -0.0047 -3.7580 0.6899105 0.5 1 0.4019 0.0049 3.9499 1. 7435 0.4133 0.0044 3.4963 1.8212105 0.5 2 0.3948 0.0107 8.5777 1. 5909 0.5054 0.0129 10.2860 2.0713105 0.0 0 0.2373 -0.0105 1.6764 0.0828 -0.0038 0.5924105 0.0 1 0.4611 0.0073 1.9763 0.3842 0.0053 1.6823105 0.0 2 0.4570 0.0140 1.8016 0.4762 0.0137 1.9220105 -1.0 0 0.2522 -0.0109 4.3457 1.9300 0.0544 -0.0025 0.9987 0.4244105 -1.0 1 0.6092 0.0137 -5.4756 2.5241 0.3317 0.0065 -2.5939 1.4293105 -1.0 2 0.6129 0.0230 -9.2182 2.2859 0.4227 0.0147 -5.8633 1.6465105 -2.0 0 0.2536-0.0109 2.1851 2.1184 0.0342-0.0016 0.3217 0.2940105-2.0 1 0.8049 0.0233-4.6594 3.1840 0 0.2853 0.0070-1.4099 1.2092105-2.0 2 0.8184 0.0361-7.2223 2.8436 0.3736 0.0149-2.9815 1.4039此表显示了欧洲风格DBKO看跌期权和相应的希腊在JDCEV模型下的价格，y=100，K∈ {95100105}，L=90，U=120，T=0.5，\'r=0.1，\'q=0，b=0.02，c=0.5，γ∈ {0, 1, 2}, β ∈ {0.5, 0.0, -1.0, -2.0}，σ=0.25。图3显示了不同初始资产值S的欧式DBKO看涨期权的价格。左侧图将不同β值的γ设置为1。

右侧绘图集β=-1不同γ值。我们注意到，对于该模型选择的参数化，项eλNt衰减非常快，因此我们只需计算很少的特征值即可获得准确的价格。90 95 100 105 110 115 1200.20.40.60.81.21.41.6β=0.5β=0β=-1β=-290 95 100 105 110 115 1200.20.40.60.81.21.4γ=0γ=1γ=2图3：该图为不同初始资产值y的欧洲风格DBKO看涨期权。左侧图为不同β值设置γ=1。右侧绘图集β=-1表示不同的γ值。其余参数为：K=100、L=90、U=120、T=0.5、\'r=0.1、\'q=0、b=0.02、c=0。σ=0.25.7.1.2。短期（1天）在短期情况下，时间的顺序为e-λn（T-t） 随着氮的增长，衰变变得越来越慢。对于这种情况，在步骤7中，我们使用了1000个点作为间隔（0100）。表2给出了一些数值。为了说明收敛性和准确计算大量特征值的必要性，我们引入了方程式（8）中的部分和的贡献，定义为contrib（n，n）=nXn=nfnИne-λn（T-t） 。（32）我们在表3中观察到，短期内参数β的值对价格没有太大影响。然而，与默认强度相关的γ参数是相关的。值得注意的是，尽管不同β值的期权价格略有不同，但相应的斯特姆-刘维尔问题却大相径庭。这可以在表2和表4中观察到。

观察Tab le 4，可选择45左右的N。表2：特征值。参数nβ=1，γ=1β=1，γ=2β=-2, γ = 1 β = -2.γ=21 4.4047 4.1314 4.0997 3.61556 144.3068 144.0338 112.8959 112.409811 484.0679 483.7949 377.105 376.618916 1023.6885 1023.4155 796.731 796.244921 1763.1687 1762.8956 1371.7741 1371.28826 2702.5083 2702.2352 2102.2343 2101.748131 3841.7073 3841.4343 2988.1115 2987.625336 5180.7659 5180.4929 4029.4057 4028.919641 6719.684 6719.411 5226.117 5225.6309此表显示γ和β参数不同，y=100，K=100，L=90，U=120，T=0.5，\'r=0.1，\'q=0，b=0.02，c=0.5，σ=0.25。表3：一天至到期的欧式DBKO通话的价格。γ = 3 γ = 2 γ = 1 γ = 0β = -2 0.54297 0.54622 0.55950 0.61518β = 1 0.54300 0. 54634 0.55976 0.61516此表显示了不同γ和β参数的一天至到期欧洲风格DBKO看涨期权的价格，其中y=100、K=100、L=90、U=120、T=1/360、r=0.1、q=0、b=0.02、c=0.5和σ=0.25。表4：一天到到期的欧洲风格DBKO调用的贡献值。nβ=-2, γ = 2 β = - 2, γ = 1 β = 1, γ = 2 β = 1,γ=11-5-0.94494-1.60020 1.54180 1.770046-10 1.81670 2.60534-1.15441-1.4177110-15-0.23014-0.31208 0.19023 0.2466816-20-0.10622-0.14909-0.03420-0.0429821-25 0.00934 0.01343 0.00311 0.0040026-30 0.00157 0.00224-0.00021-0.0002631-35-0.00014 0.00014 00001 0.0000136-40-0.00001-0.00001 0.00000 0.0000041-45 0.00000 0.00000 0.00000>45 0.00000 0.00000 0.00000价格0.54622 0.55950 0.54634 0.55976此表显示了方程式（32）中定义的不同γ和β参数的一天到期欧式DBKOcall期权的贡献值，其中y=100、K=100、L=90、U=120、T=1/360、r=0.1、q=0、b=0.02、c=0.5和σ=0.25.8。

结论与未来研究本文通过应用与相应边值问题相关的Sturm-Liouville方程的NSBF分解，为欧洲风格DBKO期权的定价（和对冲）提供了一种新方法。通过EJDCEV模型对该方法进行了说明。本文所采用的建模技术为今后的研究开辟了若干途径。例如，可以将NSBF分解和类似构造应用于许多金融应用中自然出现的其他奇异问题，例如普通期权（无粘结领域）、默认情况（系数中的奇异性）等。应用该方法将参数曲线校准到实际市场数据也很有趣。最后，它还可能应用于停止时间问题和相关主题。AcknowlementsResearch通过222478项目得到了墨西哥CONACYT的支持。我们也非常感谢Fu nda c ao para a Ci^encia e Tecnologia（Grant UID/GES/00315/2013）提供的财务支持。第一位作者想对墨西哥ZF通过外交部授予的卓越奖学金表示感谢，这使他在墨西哥辛维斯塔夫期间有机会发展这项工作。附录A.定价回扣考虑回扣R>0的看涨期权的情况。问题（6）的上边界条件变为v（U，t）=R。边界条件（6）是非齐次的。为了直接应用presentedmethod，我们必须首先转换我们的价值函数。

让我们定义新函数v（y，t）=v（y，t）-y- LU公司- LR，满足以下边界问题（i） Av+Ay-LU公司-LR公司= -vt，y×t∈ （L，U）×（0，T）（ii）~v（L，T）=~v（U，T）=0，T∈ [0，T]（iii）~v（y，T）=d（y），y∈ （L，U），（A.1），具有均匀边界条件。详情参见【37，第6.6章】。有趣的观察结果是，从数学的角度来看，如果R=U，则解v（y，t）变得平滑- K、 即边界条件变得一致。参考文献【1】M.Abramowitz和I.A.St egun。数学函数手册。纽约多佛，1972年。[2] G.Birkhoff和G.-C.Rota。普通微分方程。约翰·威利父子出版社，美国，第4版，1989年。[3] A.N.Borodin和P.Salminen。布朗运动手册-事实和公式。Birkhauser，巴塞尔，第二届，2002年。[4] P.P.波义耳和Y.田。CEV流程下的回溯和障碍期权定价。《金融与定量分析杂志》，34（2）：241–264，1999年。[5] P.Buchen和O.Konstandatos。具有任意支付和指数边界的双障碍期权定价新方法。《应用数学金融》，16（6）：497–5152009。[6] 坎贝尔和塔克斯勒。股票波动率和公司债券收益率。《金融杂志》，58（6）：2321–2349，2003年。[7] P.Carr和V.Linetsky。跳转到默认扩展CEV模型：贝塞尔过程的应用。《金融与随机》，10（3）：303–330，2006年。[8] P.Carr和L.Wu。股票期权和信用违约掉期：估值和估计的联合框架。《金融计量经济学杂志》，8（4）：409–4492010。[9] J.C.考克斯。期权定价注释I：方差差异的恒定弹性。1975年，斯坦福大学工作文件。再版于《投资组合管理杂志》，23（1996），15-17。[10] J.C.Cox、J.E.Ingersoll，Jr.和S.A.Ross。

利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–4081985。[11] D.Davydov和V.Linetsky。CEV过程下的路径依赖期权定价和套期保值。《管理科学》，47（7）：949–9652001。[12] D.Davydov和V.Linetsky。标量差异期权定价：特征函数展开法。运筹学，51（2）：185–2092003。[13] J.C.Dias和J.P.Nunes。计算Nuttall、广义Marcum和不完全Toronto函数以及非中心χ随机变量矩的通用递推算法。欧洲运筹学杂志。，2017年，即将发布。[14] J.C.Dias、J.P.Nunes和J.P.Ruas。跳违约扩展CEV模型下欧式双障碍期权的定价与静态套期保值。定量金融，15（12）：1995–2010，2015。[15] L.C.埃文斯。偏微分方程。数学研究生课程，第19卷。美国数学学会，1998年。[16] H.Geman和M.Yor。定价和对冲双障碍期权：概率方法。MathematicalFinance，6（4）：365–3781996年。[17] I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik。积分、系列和乘积表。学术出版社，马萨诸塞州伯灵顿，第7版，2007年。[18] C.Jessen和R.Poulsen。障碍期权估值模型的实证表现。《定量金融》，13（1）：2013年1-11月。[19] K.V.Khmelnytskaya、V.V.Kravchenko和H.C.Rosu。特征值问题、光谱参数功率序列和现代应用。《应用科学中的数学方法》，38（10）：1945-1969，2015。[20] V.V.Kravchenko。Sturm-Liouville方程解的表示。复变量与椭球方程，53（8）：775–7892008。【21】V.V.Kravchenko、S.Morelos和S.M.Torba。刘维尔变换、嬗变算子的解析近似和谱问题的解。应用程序。数学

公司。，273:321–336, 2016.【22】V.V.Kravchenko、L.J.Navarro和S.M.Torba。用贝塞尔函数的Neumann级数表示一维Schrodinger方程的解。《应用数学与计算》，314:173–192，2017年。【23】V.V.Kravchenko和R.M.Porter。Sturm-Liouville问题的谱参数幂级数。《应用科学中的数学方法》，33（4）：459–4682010。【24】V.V.Kravchenko和S.M.Torba。求解Surm-Liouville方程的贝塞尔函数的Neumann级数表示。ArXi v e-prints 1612:088032016年12月。【25】N.Kunitomo和M.Ikeda。具有曲线边界的定价选项。数学金融，2（4）：275–2981992。【26】O.A.Ladyzhenskaya、V.A.Solonnikov和N.N.Uraltseva。抛物型线性和准线性方程，第23卷。美国数学学会，1988年。【27】V.Linetsky。期权价值的光谱分解。《国际理论与应用金融杂志》，7（3）：337–3842004。[28]V.Linetsky and R。门多萨·阿里加。统一信贷权益模型。在T.R.Bielecki、D.Brigo和F.Patras主编的《信贷风险前沿：次贷危机、定价和对冲、CVA、MBS、评级和流动性》，第18章，第553-583页。彭博社出版社，新泽西州，2011年。【29】R.门多萨·阿里加、P.卡尔和V.莱因茨基。单一信贷权益建模中的时变马尔可夫过程。《数学金融》，20（4）：527–5692010。【30】A.Mijatovi\'c和M.Pistorius。马尔可夫过程下的连续监测障碍选项。MathematicalFinance，23（1）：1–382013年。【31】V.P.Mikhailov。偏微分方程。和平号出版社，莫斯科，1978年。【32】J.P.Nu nes。美式期权的定价是在常弹性方差模型下进行的，并且会面临破产。《金融与定量分析杂志》，44（5）：1231–12632009。【33】J.P.Nunes、J.C.Dias和J。