均匀扩散双障碍期权的定价：Neumann方法

Payoff函数f是平方可积的。将傅里叶分离变量法应用于（6）中的偏微分方程——例如，参见[31]和[37]了解该方法的一般说明，参见[12]了解金融应用——导致值函数（4）asv（y，t）的本征函数展开=∞Xn=1fnхn（y）e-λn（T-t） ，（8）其中，对（λn，Дn）是Sturm-Liouville问题的解（（p（y）Д′n（y））\'）- q（y）Дn（y）=-λnw（y）Дn（y），y∈ （L，U）Дn（U）=Дn（L）=0。（9） 这些函数构成空间Lw（[L，U]）的完整正交基。系数fn是函数f相对于基{νn}n的傅里叶系数∈n对于标量乘积hg，gi=ZULg（s）g（s）w（s）ds。（10） 希尔伯特空间Lw（[L，U]）与上述定义的标量积用Hw表示。函数f可以显式分解为f（y）=∞Xn=1fnДn（y），（11），其中fn是定义为fn=hf，ДnihДn，Дni的支付函数的傅立叶系数。我们记得，假设2保证级数收敛到Lwnorm中的函数f。Wenote还指出，假设1确保问题（9）是一个常规的Sturm-Liouville问题。IGENVALUES是实的、正的，可以列为λ<λ<…<λn<。。。，带limn→∞λn=+∞.备注2。我们进一步注意到，对于所考虑的看跌期权和看涨期权，问题（6）具有非一致（不连续）边界条件。对于屏障调用选项，值函数在点（U，T）处不连续，即v（U，T）=0 6=limy→Uv（y，T）=f（U）=U- K、 可以对势垒put案例中的点（L，T）进行类似的观察。然而，在这两种情况下，值函数仍然在空间hw中，并且可以用其傅立叶级数（11）表示。3.

通过价值函数的NSBF的分析表示本节介绍了DBKO期权的定价公式，使用了[22]最近针对一维Schr¨odinger方程提出的Sturm-Liouville问题（9）的NSBF表示，即w（y）=1的情况，然后在[24]中扩展到更一般的函数w（y）。简而言之，这项强大的技术在于用显式的系数公式表示斯特姆-刘维尔问题（9）及其导数的NSBF解。为了将这种方法扩展到我们的期权定价问题，让我们首先引入空间H1,0w。这是函数u的子空间∈ Lw（[L，U]×[0，T]），具有一阶导数分布意义上的xu和xu，u∈ Lw（[L，U]×[0，T]）-有关更多详细信息，请参见，例如，[31，第III.2章]。下一个命题提供了我们的主要理论结果。提案1。在假设1和2下，函数（4）的值是问题（6）的解，可以表示为v（y，t）=∞Xn=1fn“sin（ωnl（y））ρ（y）+2∞Xm=0(-1） mα2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））#e-ωn（T-t） 。（12） 级数在空间H1,0w的范数内收敛。此外，级数关于y一致收敛∈ [L，U]和t∈ [0，T] [0，T）.分解（8）和其他相关主题，如本征函数的性质，可参考[2，第10章]和[44，第7章]。直接应用于金融问题的谱分解分析可在【27】中找到。DBKO期权的价格由v（y，0）给出，相应的级数收敛于范数Lw（[L，U]）。在提供命题1的正式证明之前，为了完整起见，让我们首先强调一些重要细节，以更好地阐述。

考虑以下等式：o本征函数，Sturm-Liouville问题（9）的解为Дn（y）=sin（ωnl（y））ρ（y）+2∞Xm=0(-1） mα2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））。（13） o第一类球形贝塞尔函数jν（y）由jν（y）=rπ2yJν+（y）给出，其中ju（y）是[17，8.461.1]中所示的第一类贝塞尔函数函数l（y）由l（y）定义：=ZyLsw（s）p（s）ds=√ZyLsσ（s）ds，y∈ [L，U]。o函数ρ（y）由ρ（y）=[p（y）w（y）]1/4定义=√p（y）σ（y）y1/2，y∈ [L，U]。o特征值λn的根表示为ωn，是方程sin（ωl（U））ρ（U）+2的解∞Xm=0(-1） mα2m+1（U）j2m+1（ωl（U））=0，ω∈ R、 （14）o函数αn（y），n≥ 0定义为αn（y）=2n+1nXk=0lk，nΦk（y）（l（y））k-ρ（y）！，y∈ （L，U）。（15）第5节将介绍计算αn的有效递归方法lk，nis是xkin的系数，即n阶勒让德多项式，参见，例如，[1，第8章]。oΦk（y）是定义1中定义的正式权力。形式幂Φk（y）是在方程的一个非零解g的基础上构造的p（y）g′（y）′- q（y）g（y）=0，y∈ [L，U]，（16），初始条件设置为asg（L）=ρ（L）。（17） 请注意，这些函数没有规范化。关于这一转换在这一分解和嬗变算子理论中的作用的详细分析，见【21】。对于[L，U]上的p，p′和q连续，存在这样的解，参见[23，备注5]。定义1。设p、q、w满足假设1，g是满足条件（17）的方程（16）的非零解。

然后，确定相关的形式幂，对于k=0，1，2。。。，如Φk（y）=（g（y）y（k）（y），k奇数，g（y）~y（k）（y），k偶数，其中两族辅助函数定义为asY（0）（y）≡Y（0）（Y）≡ 1，Y（k）（Y）=（kRyLY（k-1） （s）g（s）p（s）ds，k奇数，kRyLY（k-1） （s）g（s）p（s）ds，k偶数，▄Y（k）（Y）=（kRyL▄Y（k-1） （s）g（s）p（s）ds，k奇数，kRyLY（k-1） （s）g（s）p（s）ds，k偶数。备注3。我们注意到，这些形式幂出现在解决Sturm-Liouville问题（9）的谱参数幂级数（SPPS）表示中。[20]介绍了SPPS方法，另见[23]和[19]。接下来，我们提供命题1的形式证明。证明（命题1）。将傅里叶分离变量法应用于问题（6）得到表示（8）。这是问题（6）的弱解——例如，参见[31，第VI.2章，定理3]和[15，第7.1章，定理3和4]。[24，Theorem3.1]的应用给出了表示（12），并保证了本征函数在ω中的一致逼近。让我们用fN（y）=PNn=1fnДn（y）表示n阶函数f的近似值。对于任何ε>0，都有一个N s uch，即kf- fNkLw公司≤ εN，wher eεN→ N时为0→ ∞ . 应用【31，第VI.2章，定理3】，我们得到以下估计值kV- vNkH1,0w≤ C kf- fNkLw【L，U】≤ CεN。级数的一致收敛是由于递减序列e的优化-λnT。综上所述，命题1提供了一种强大的计算技术，由于NSBF表示可以用作一种简单有效的数值方法，因此有可能在广泛的金融应用中得到应用。此外，所提出的新表示法适用于一大类期权定价模型，它不仅表示价格，而且还表示整个价值函数。

这一特性允许我们查看资产在不同初始值下的期权价格行为（即，构建价值面，如图1所示）。4、“希腊人”的分析表示由于命题1给出了价值函数的分析表示，因此我们能够为其衍生工具提供类似的表示，在期权定价文献中通常称为“希腊人”。对于学者和实践者来说，这应该是一个有用的计算工具，因为数字差异在这类问题中是有问题的。4.1. 三角洲y∈ （L，U）。增量可以表示为 =vy（y，0）=∞Xn=1fnИ′n（y）e-ωnT，（18），其中Д′n（y）=sw（y）p（y）ρ（y）[G（y）sin（ωnl（y））+ωncos（ωnl（y））]++2∞Xm=0(-1） mβ2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））！--ρ′（y）ρ（y）sin（ωnl（y））ρ（y）+2∞Xm=0(-1） mα2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））！，下一节将介绍函数G（y）和βm（y）。ν′n的表达式取自【24，第5节】。如果函数vy在（y，0）处继续。可参考[26，定理12.1]中的条件。4.2. Vega对于Vega的计算，我们假设瞬时波动率σ是不同的，σ′（y）6=0。然后应用链式法则和逆函数定理的导数，我们得到了ν=vσ（σ（y），0）=vy（y，0）σ′（y）=σ′（y）。（19） 对于常数σ，我们不能应用这个公式。4.3. 关于（12）的t的直接微分为我们提供了θθ的公式=vt（y，0）=∞Xn=1fnλnДn（y）e-λnT。（20） 与Delta的情况一样，有必要假定vtat（y，0）。系数αn（y）和βn（y）的递推公式用于系数αn（y）和βn（y）的（有效且稳健）计算。可以方便地使用从[24]借用的递推公式。

这些公式通过解决（15）中与传奇系数快速增长相关的数值问题，提高了计算的可靠性。我们首先介绍n（y）=ln（y）αn（y）和Bn（y）=ln（y）βn（y）。（21）具体而言，GBM模型见【42，第12.2节】。以下公式适用于n=2，3。。。An（y）=2n+12n- 3.l（y）安-2（y）+（2n- 1） g（y）～θn（y）andBn（y）=2n+12n- 3（年）亿-2（y）+2（2n- 1） sp（y）w（y）g′（y）ρ（y）+g（y）ρ′（y）θn（y）ρ（y）+Дηn（y）ρ（y）g（y）！- （2n- 1） l（y）安-2（y）），其中|θn（y）=ZyAИηn（x）ρ（x）g（x）-l（x）An-2（x）克（x）sw（x）p（x）dx和ηn（y）=ZyAl（x）（g′（x）ρ（x）+g（x）ρ′（x））+（n- 1） ρ（x）g（x）sw（x）p（x）！ρ（x）An-2（x）dx。初始值A、A、B可通过α（y）计算=g（y）-ρ（y）或A（y）=α（y），α（y）=Φ（y）l（y）-ρ（y）或A（y）=Φ（y）-ρ（y）l（y）,和β（y）=sp（y）w（y）α′（y）+ρ′（y）ρ（y）α（y）-G（y）2ρ（y），β（y）=α（y）l（y）+sp（y）w（y）α′（y）+ρ′（y）ρ（y）α（y）-3G（y）2ρ（y），带α′（y）=g′（y）+ρ′（y）ρ（y）,α′（y）=g′（y）y（1）（y）+g（y）p（y）l（y）- g（y）y（1）（y）qw（y）p（y）l（y）+ρ′（y）ρ（y）,andG（y）=h+G（y），（22）G（y）=ZyL（pw）1/4q（pw）1/4-pn（pw）-1/4o′′!（s） ds=ρρ′2wyL+ZyL“qρ+（ρ′）w#（s）ds，（23），其中h=sρ（L）w（L）g′（L）g（L）+ρ′（L）ρ（L）. （24）对于系数α和βn的验证，有一个有用的实用测试，其详细信息可参考[24，方程式7.1-7.3]，即∞Xm=0αm（y）=（G（y）+G（y））l（y）2ρ（y）（25）∞Xm=0(-1） mαm（y）=hl（y）2ρ（y）（26）和∞Xm=0βm（y）=l（y）“q（y）4ρ（y）w（y）-4w（y）p（y）ρ（y）′′+hG（y）+G（y）2ρ（y）#，（27）∞Xm=0(-1） mβm（y）=l（y）4ρ（y）q（L）w（L）-ρ（L）w（L）p（y）ρ（y）′′y=L+hG（y）2ρ（y）. （28）关系式（25）–（28）也可用作最佳选择校正序列（12）和（13）中系数数量的指标，包括计算，监控方程（25）–（28）右侧之间的差异以及这些方程的部分和。备注4。

在计算系数αn（y）和βn（y）时，重要的是正确执行l（y）n除法。在这里，我们提出了一个简单的方案，该方案被证明是有用的。详情和证明可参考【24，第7节】。让我们首先注意到，函数αnar是L附近的新月函数。然后，让{yi}1≤我≤N是L的某个邻域的N点的有序集，[L，L+]，y=L<y<…<yN=L+。对于每个系数函数，αnConsidery=argminy∈{yi}α（y）。也让kbe为▄y的索引（即yk=▄y）。因此，对于所有的n<k，我们可以将αn（y）=0。只有由于数值误差，它们才更大。可以对系数βn（y）进行类似的构造。6、定价算法的实现为了完整性和更好地描述定价方法的重要细节，现在让我们提供实现算法的概念步骤：1。使用（7）计算相关Sturm-Liouville问题的系数p、q和w。2、创建或选择一个不确定的集成方案。在本文中，我们使用了NewtonCotes六点积分规则（见[22]）来讨论其他可能方法的使用。对于函数f:X→ Y，X子集S上的argmin定义为argminx∈SXf（x）：={x:x∈ S∧ y∈ S:f（y）≥ f（x）}。3、构造或找到满足条件（17）的方程（16）的任何非消失解g。在我们的实施中，我们使用了[23]中介绍的SPP方法。例如，如果q（y）≡ 0（与标准CEV模型的情况一样），我们可以选择g（y）=ρ（L）作为特殊解。4、使用定义1构造形式幂Φ（1），分别使用公式（24）、（22）和（23）计算常数h以及函数G（y）和G（y）。5、使用第5.6节中突出显示的表示法计算系数Am（y）和Bm（y）。

使用方程式（21）计算系数αm（y）和βm（y），并使用关系式（25）–（28）和备注4进行验证。我们注意到，这个过程可以结合一个测试来估计要使用的最佳M（序列（13）和序列（12）中的第二个和的截断参数）。从方程（14）中求特征值λn=ωnf。注意，变化指数m=0，1，…，的球面贝塞尔函数j2m+1的值，可以使用反向递归公式有效地计算同一点x上的M，见【1，方程式10.1.19】jm（x）=2（M+1）xjm+1（x）- jm+2（x）。构造（13）给出的问题（9）的特征函数。使用本征函数Дn.10将函数f分解为傅立叶级数（11）。通过截断表达式（8）构造函数v。用N表示截断级数中的项数。11、通过表达式（18）–（20）计算希腊语。备注5。请注意，如果我们只对选项v（y，0）的价格感兴趣，则建议的算法可以显著简化。如果是这种情况，那么在步骤4、5和6中，我们只需要相对于Anandαn（y）的项。此外，在计算fn之后，我们不需要保留igenfunction，只需要在点y处保留值。此外，在步骤10，我们只构造v（y，t），而步骤11是不必要的。计算实验和特定示例在本节中，我们将前一节中描述的算法应用于EJDCEV模型，其细节将在下一节中描述。为了便于说明，我们将示例分为两个不同的时间段，即中期（六个月）和短期（一天）。

这一特殊选择将强调精确计算所需的特征数据，以及模型对所选参数的敏感性。我们注意到，对于本文所考虑的正则Sturm-Liouville问题，特征值增长的渐近性为n阶，例如[38，第2.13节]。在长期情况下，指数项e-λn（T-t） ，带t-有序t迅速衰减，表示（12）迅速收敛。因此，需要很少的特征值和特征函数来确保良好的近似。对于短期情况，T- 在第二组数值实验中分析到，我们需要更多的特征值来获得期权价值的准确近似值。我们进一步注意到，NSBF方法以相同的精度计算所需的数据。该NSBF的重要特性是不降低最高阶特征值的精度，这使其成为应用于需要大量特征值集的p问题的令人兴奋的工具。我们方法的另一个计算优势是，不需要在任何二维离子网格中进行计算。步骤1-9的公式是一维的。为了使积分误差可以忽略，并主要集中在数值性能上，我们在区间[L，U]上使用了大量网格点（10000）来表示所有涉及的函数，而且，即使3000个网格点也产生了接近的结果。获得所有系数后，可仅对参数（y，t）计算值函数和δ∈ 应用程序需要的[L，U]×[0，T]r。E、 g.选项价格可作为v在某一点上的值（y，0）；数值曲面需要在大约101×101个点等的网格上计算函数v。

尽管这里的主要目的是展示算法在各种建模环境中的使用能力，而不是优化速度，但所需的每一个小计算负担都是显著的。所有计算均在Matlab R2015a中完成。7.1. EJDCEV模型在JDCEV模型的时间同质版本下的波动率规格由σ（y）=δyβ，（29）给出，δ>0和β∈ R、 漂移由表达式（3）给出，\'R>0，\'q≥ 0和d危险率h（y）：=h（y）=b+cσ（y），其中b>0，c>0。具有不同参数化的构造差分的性质可参考【7】和【29】。JDCEV模型的一个很好的特点是，由于假设的危险率h（y）的特殊形式，其分析的可伸缩性。SNBF表示法的优点是，它允许美国在没有任何额外影响的情况下考虑不同的违约强度规格。在【6】之后，我们还考虑了违约强度规范，以确保违约概率和波动率之间存在正关系。因此，在我们称之为EJDCEV的JDCE V模型变体中，假设默认强度依赖于常数参数γ≥ 0灰分（y）：=停止（y）=b+cσγ（y）。（30）重要的是要指出，我们并不局限于形式halt的功能；我们可以选择任何积极的、持续不同的功能。该功能允许在根据市场价格校准模型时，获得违约率的另一种选择。7.1.1. 中期（6个月）对于该设置，我们采用了【14，表2，面板C】中考虑的参数配置，即y=100，L=90，U=120，T=0.5，’r=0.1，’q=0，b=0.02，C=0.5，σ=0.25。