均匀扩散双障碍期权的定价：Neumann方法

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英文标题：
《Pricing double barrier options on homogeneous diffusions: a Neumann
  series of Bessel functions representation》
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作者：
Igor V. Kravchenko, Vladislav V. Kravchenko, Sergii M. Torba, Jos\\\'e
  Carlos Dias
---
最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper develops a novel analytically tractable Neumann series of Bessel functions representation for pricing (and hedging) European-style double barrier knock-out options, which can be applied to the whole class of one-dimensional time-homogeneous diffusions even for the cases where the corresponding transition density is not known. The proposed numerical method is shown to be efficient and simple to implement. To illustrate the flexibility and computational power of the algorithm, we develop an extended jump to default model that is able to capture several empirical regularities commonly observed in the literature.
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中文摘要：
本文提出了一种新的分析可处理的贝塞尔函数Neumann级数表示，用于欧式双障碍淘汰期权的定价（和套期保值），它可以应用于整个一维时间齐次扩散类，即使在相应的转移密度未知的情况下。所提出的数值方法被证明是高效和简单的。为了说明该算法的灵活性和计算能力，我们开发了一个扩展的跳转到默认模型，该模型能够捕获文献中常见的一些经验规律。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> Pricing_double_barrier_options_on_homogeneous_diffusions:_a_Neumann_series_of_Be.pdf (1.3 MB)

2022-6-2 19:31:23 上传

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关键词：neumann neuman 障碍期权 Mann Man

Prici n g关于同质差异的双障碍选项：贝塞尔趣味代表的纽曼系列（Neumann Series of Bessel Functions RepresentationGor V.Kravchenkoa），*, Vladislav V.Kravchenkob，Sergii M.Torbab，Jos'e Carlos Diasa，里斯本大学研究所（ISCTE-IUL），Edif'cio II，Av。安·巴尔·贝当古教授，葡萄牙里斯本1600-189年。bDepartamento de Matem'aticas，CINVESTAV del IPN，Unidad Quer'etaro，Librarmiento N orponiente No.2000，Fracc。雷亚尔·德·朱里基拉，奎尔埃塔罗，Qro。C、 P.76230 M'exicocUnidade de Investiga'C'ao em Desenvolvimento Empresarial（UNIDE-IUL），葡萄牙里斯本。本文提出了一种新的可分析的贝塞尔函数Neumann级数，用于定价（和h边）欧式双势垒淘汰期权，它可以应用于整个一维时间齐次函数类，甚至适用于相应转换密度未知的情况。所提出的数值方法效率高，计算简单。为了说明算法的灵活性和计算能力，我们开发了一个扩展的跳跃到默认模型，该模型能够覆盖文献中常见的几个经验规则。关键词：金融；双屏障选项；贝塞尔函数的Neumann级数；Sturm-Liouville方程；光谱分解；嬗变运算符1。引言在本文中，我们开发了一种基于贝塞尔函数（以下简称NSBF）表示的分析可处理Neumann级数的新期权定价方法。将NSBF展开式应用于出现的Sturm-Liouville问题，得到了新的表示形式。

为了突出我们方法的潜力，我们推导出了一种新的双屏障欧洲式淘汰期权（DBKO期权）价格（和希腊）的分析易处理表示法，尽管可以使用此概念框架设计其他类似问题的应用程序。障碍期权合约是指在场外市场上交易的多个基础资产（如股票、股票指数、货币、商品和利率）的路径依赖型奇异期权。它们之所以交易活跃，主要是因为它们比相应的Vanilla期权更具吸引力，并且是风险经理和交易员更好地表达其市场观点的重要工具，而无需为他们可能发现的不太可能的结果付费。此外，它们还被用作许多结构化产品的构建块。鉴于其在市场上的受欢迎程度，已开发出大量关于其估价的文献。例如，[25]、[16]、[43]、[36]、[41]或[5]提出了经典几何布朗运动（GBM）假设下DBKO期权的替代定价（和对冲）方案。这种建模框架假设在整个过程中波动率是恒定的*通讯作者。电话：+351 217650531。电子邮件地址：ivkoh@iscte.pt（Igor V.Kravchenko），vkravchenko@math.cinvestav.edu.mx（Vladislav V.Kravchenko），storba@math.cinvestav.edu.mx（Sergii M。

托尔巴），何塞。卡洛斯。dias@iscte.pt（Jos\'e Carlos Dias）option的一生中，已经多次尝试克服GBM差异中隐含的这一不切实际的假设。众所周知，[9]的恒定方差弹性（以下简称CEV）差异模型，其中波动率是基础资产价格的函数，能够更好地再现文献中常见的经验规律，即股票收益率与已实现波动率（杠杆效应）之间存在负相关，而隐含波动率与期权合约的履约价格之间存在负相关（隐含波动率偏斜）。为了适应这些观察结果，CEV模型下DBKO期权的估值由[4]通过三项式方案进行，由[11]使用基于拉普拉斯变换的数值反演的定价框架，由[12]通过特征函数扩展方法进行，由[30]通过基于连续时间马尔可夫链的近似构造进行，除其他外。最近，[14]研究了DBKO期权的估值（使用停止时间法以及静态对冲法），该估值采用了[7]提出的所谓违约跳跃式CEV（h er eafter，JDCEV）模型，该模型能够捕捉违约概率（或信用违约掉期利差）与股票波动率之间正相关的经验证据。此外，它将GBM和CEV模型视为特例，并且在此之前，它还考虑了上述杠杆效应和隐含波动率扭曲的程式化事实。

因此，将均衡衍生品市场与信贷市场联系起来的重要性产生了一类新的混合信贷权益模型，旨在为其他跳跃违约模型应用中的违约风险衍生品定价，例如，参见[32]、[29]、[28]、[40]、[34]、[33]以及其中的参考文献。此外，文献[13]最近提供的计算非中心χ随机变量截断矩和原始矩的新算法也可用于文献[14]中考虑的JDCEV模型下的载体期权定价。本文的主要目的是开发一种新的分析可处理的NSBF表示法，用于定价（和边缘化）欧式DBKO期权，该表示法可应用于整个类一维时间齐次微分，而不需要知道相应的转移密度。与文献[12]类似，我们使用经典的分离变量方法求解抛物型偏微分方程的边值问题。该技术将问题简化为确定关联Sturm-Liouville问题的特征值和特征函数。基于NSBF表示的方法允许oneto以不恶化的精度计算大型特征数据集。因此，我们能够计算一般时间同质差异模型的价格，而不依赖于精确解的知识，例如，在[12]中对CEV模型以及[7]和[14]中对JDCEV模型所做的。

因此，新的NSBF表示允许构造一种快速、准确的DBKO期权定价算法，并将其应用于其他类似问题。我们注意到，[7]通过探索CEV和贝塞尔过程之间的强大联系，能够获得JDCEV模型中欧式普通期权、生存概率、信用违约掉期利差和公司债券的封闭式解决方案。通过adop tin g，混合cred itequity JDCEV架构建模框架[14]仅限于JDCEV模型中隐含的波动性和违约强度规范。相比之下，由于我们不需要局限于此类特定的模型假设，我们能够快速准确地为更大类别的模型定价。我们在扩展的jumpto-default波动率常数弹性（以下简称EJDCEEV）模型上说明了我们的数值方法，该模型嵌套了JDCEVSee，例如，[6]、[45]和[8]。我们记得[12]在[10]期限结构模型中也考虑了利率淘汰选项。尽管我们的重点是股票衍生品，但我们的方法也适用于利率淘汰期权的定价，即使在缺乏转移密度的封闭式解决方案的情况下。模型作为特例。总之，我们的方法可以被视为DBKO期权定价的另一种强大的计算工具。由于我们能够快速构建整个价值函数，而不仅仅是价格，因此我们可以通过时间和不同的初始值轻松观察期权价格的行为。此外，NSBF表示还提供了一种简单的方法来计算价值函数的导数，从而计算期权的“希腊式”，因此可以用于套期保值策略的设计。

鉴于其准确性、高效性和易于实施，novelvaluation方法也可用于分析备选标的资产定价动态下障碍期权估值模型的经验性能，例如[18]。本文的主要结构如下。第2节设定了一般财务框架，并定义了边值问题。第3节提供了本文的主要结果（建议1）：边值问题解的表示和DBKO期权的价格。第4节说明了所谓“希腊人”的计算方法。下一节将专门介绍算法实现和数值示例。首先，我们在第5节中给出了一些递推公式，这些递推公式对于计算前几节中给出的值函数及其导数的直接表示中出现的系数更为稳健和有效。然后，第6节提供了计算DBKO期权价格的概念算法。第7节介绍了EJDCEV框架的数值实验。为了便于说明，分析分为两个不同的阶段：中期（六个月）和短期（一天）。最后一节给出了结论和进一步研究的可能方向。2、建模框架本节介绍了我们定价方法的一般财务模型，并描述了与包含两个障碍（淘汰）条款的期权合同相关的边值问题。我们记得，此类DBKO期权的持有人有权在到期日T收到付款f（y）=（y）- K） +对于看涨期权，或f（y）=（K- y） +对于卖出期权，如果基础资产价格（y）保持在范围（L，U）内。

实际constantsU>L>0由上限和下限（即，击倒触发势垒水平）指定，而K∈ R：L<K<U是走向曲线。2.1. 一般财务模型设置此后，在交易区间[0，T]内，对于某个固定时间T（>0），不确定性由概率空间产生(Ohm, G、 Q），其中与num'eraire“货币市场账户”相关的等效鞅测度Q被视为给定值。在风险中性度量Q下，假设基础资产的价格动态受时间齐次（ortime不变量）Diffus iondYt=u（Yt）Ytdt+σ（Yt）YydBt，（1）初始值Y=Y，其中函数u（Y）和σ（Y）分别为，（状态相关的）瞬时漂移和瞬时波动率（规律性属性将在假设1的后面正式定义），而Bt∈ R是衡量标准Q下定义的标准维纳过程。为了简化符号，假设每份合同的估价日期为今天（即当前时间t=0）。此外，如果发生淘汰事件，则假定没有回扣。然而，回扣的估价可以使用附录A中提供的见解直接完成。为了解释我们定价方法的发展，我们考虑了一个欧洲风格的DBK期权合同，其到期日的支付是单一状态变量Y的函数。鉴于此类衍生工具安全性的合同条款，该过程在区间[L，U]上考虑，其中L和U分别是DBKO期权合同的上下限。终点L和U设置为未知边界，因为在合同初始日期和到期之间的任何时候，如果达到上限或下限，则期权合同将被取消（即。

它被淘汰了）。我们正在考虑这件事，因为简单，没有折扣。但是，也可以加入返利值，如附件九中的注释所示。如[12]所示，如果这些端点中的任何一个是规则边界，我们在该端点处邻接一个killing边界条件，将过程发送到墓地状态{} 在终点的第一次命中时间。因此，我们的p问题（有两个淘汰条款）的命中时间定义为τ{L，U}=inf{s≥ t:Ys/∈ （L，U）}。我们还考虑了进程可能被s udden跳转到{}, i、 允许现货价格从区间内跳至零。这意味着默认事件将强制取消选项。默认情况下没有恢复值（在DBKO put的情况下）。这是通过施加定义为τh=inf的终止时间来实现的s≥ 0:Zsh（Yu）du≥ E,其中h（y）≥ 0是默认强度或危险率，而E是具有单位平均值的指数随机变量，与Y和时间无关。在此之前，过程的综合停止时间用τ=min表示τ{L，U}，τh. （2） 备注1。滥用符号的现象已经存在；为了简化表示法，已停止的进程设置在域[L，U]∪ {} 表示为b的字母y与原始过程的字母y相同。这避免了文献中标准的许多技术细节使论文臃肿，例如，[39，第III.3.18节]，[3，第II.4节]，[35，第8.2节]和[29]。

我们注意到，默认资产定价过程不适用于过滤F={Ft，t≥ 0}由predefault过程生成，b utrather到放大的过滤G={Gt:t≥ 0}，以Gt=Ft的形式获得∨ Dt，其中{Dt，t≥ 0}是一个故障指示过程，Dt=11{t>τh}。通常，为了确保构造（终止）过程仍然是鞅，有必要将方程（1）的漂移设置为u（y）=r（y）- “q（y）+h（y），（3），其中“r（y）”和“q（y）”是（时间均匀的）连续复合利率和衍生收益率。综上所述，本文的主要目的是开发一种有效且灵活的pricingmethodology，用于计算formv（y，t）=Eyhe的风险中性预期-RTt[(R)r（Ys）+h（Ys）]dsf（YT）11{τ>T}i.（4）这将通过将NSBF展开应用于相关的Stur m-Liouville问题来实现。2.2. 边值问题让我们引入微分算子a=σ（y）yy y+u（y）yy- （\'r（y）+h（y））。（5） 然后，值函数（4）是以下边值问题的解Av（y，t）=-vt，（y，t）∈ （L，U）×[0，T），v（y，T）=f（y），y∈ （L，U），v（L，t）=v（U，t）=0，t∈ [0，T]。（6） DBKO选项的定价将通过解决问题（6）来执行。为了方便起见，我们将运算符A重写为以下形式：A=w（y）ddy公司p（y）ddy- q（y）,式中，p（y）=expZy2u（s）sσ（s）ds, w（y）=2p（y）σ（y）y，q（y）=[(R)r（y）+h（y）]w（y）。（7） 此时，我们可以通过问题（6）为过程Y的系数设置所需的条件。在这篇插图论文中，我们只考虑常规情况，因此我们需要以下假设：假设1。函数p，p′，q，w和w′在[L，U]上是实值连续的。此外，假设p′和w′是绝对连续的，p＞0，σ＞0，w＞0。假设2。