随机变量博弈

为了自相矛盾，假设存在对称性平衡，其中每个玩家在点b上玩一个大小为p的点质量。也就是说，每个玩家玩策略S，该策略由分布F和点b上的大小为p的点质量组成。设H（x）=Fn-1、然后，玩家1的支付-1） =ZZyh（x）f（y）dxdy+pn-1Xi=0n- 1in- 我F（b）ipn-1.-然后，让玩家1通过引入一个微小的点质量来偏离 0时，将另一点质量移动到b+η，并将其尺寸略微减小到p-  (, η > 0); 将此策略称为S。对玩家1 isu的支付-1） =ZZyh（x）f（y）dxdy+（p- )n-1Xi=0n- 1iF（b+η）ipn-1.-我认为这不是一个可证明的偏差。仅当且仅当ifpn-1Xi=0n- 1in- 我F（b）ipn-1.-我≥ （p- )n-1Xi=0n- 1iF（b+η）ipn-1.-iOr，pn编号-1+pn-1Xi=1n- 1in- 我F（b）ipn-1.-我≥n- 1npn+（p- )n-1Xi=1n- 1iF（b+η）ipn-1.-我很快，就像 η为零，我们得到一个矛盾。因此，存在可证明的偏差，因此这不是一种平衡。很明显，不可能存在点质量为0的平衡，因此我们省略了一个证明。最后，我们可以从以下各节的分析中得出结论，1 ifu上可能没有点质量≤ 1/n。很明显，u的值对于决定这场博弈的均衡非常重要。我们将分析分为以下两种情况：1）u≥n（第2.1节）；和2）u<n（第2.2节）。2.1 u ≥本节的主要结果是以下定理：定理2.3。在有n名玩家的游戏中，如果u≥ 1/n那么唯一的对称纳什均衡就是每个玩家玩Fi，定义为asFi（x）=（1- （a）xs型1/（n）-1） 对于x∈ [0，s]，其中a=u- u(1 - a） nand s=nu（1- a） n个-1.Pr（X=1）=a证明。首先，我们证明这是一个平衡。因此，我们需要证明不可能存在单方面的可支持偏差。将Z定义为maxi6=1Xi，回想一下，它在1上有一个点质量。

此外，将H定义为Z分布的相应连续部分；H： =Fn-1i:H（z）=（1- a） n个-1xS相关密度h（z）=（1- a） n个-1显然，这需要证明我们的候选策略对使用它的玩家至少有1/n的回报，而不管其他玩家的策略选择如何。出于矛盾的考虑，假设存在一个可预测的偏差，即玩家1通过策略G来预测偏差。显然，我们可以将G表示为具有尺寸为c的点质量，0≤ c≤ u在1上（当然，如果c=0，则没有点质量）。写出，G由x的G（y）组成∈ [0，1）（G）和Pr（Y=1）=c。定义K：=RdG=1- c、 自然，K≤ 那么，游戏者1的偏离度，u（G，S-1） ，isu=c1- (1 - a） nna+（1- a） n个-1.K- G（s）+ZsZyh（x）g（y）dxdy=cnu+（1- a） n个-1.K- G（s）+ZsZyh（x）g（y）dxy同样，当且仅当u>1/n时，这是一个可证明的偏差；即cnu+（1- a） n个-1.K- G（s）+Zs（1- a） n个-1syg（y）dy>naf经过一些巧妙的操作，这减少了toK>Zssyg（y）dy+G（s）（1）很明显，rssyg（y）dy≥因此我们有k>Zssyg（y）dy+G（s）≥Zsg（y）dy+Zsg（y）dy=KWe建立了一个矛盾，从而显示了结果。它仍然显示出独特性。为此，我们推导出上述定理中给出的候选策略。首先，通过与上文所述类似的论证，它注意到第一项，c（1- (1 - a） n）/na，在引理2.4的证明中，推导如下。详细推导见附录A.1。很明显，在区间[0，1]中不可能有多个质点，也不可能有任何质点。因此，我们允许在1上可能有一个质点，并且证明它必须满足以下不等式。引理2.4。假设在对称平衡中，每个玩家放置一个大小为a的质点≥ 1上的0。那么，a必须满足≥ u1.- (1 - a） n个.证据

让每个玩家玩策略Si=S，其中他们每个人将权重a加在1上。假设游戏者1偏离并玩策略^考虑随机变量Y，分布值为1，概率为u，0，概率为1- u.然后，玩家1的payoffeisu（^s，s-1） =un-1Xi=0n- 1in- 我(1 - a） 伊恩-1.-i（2）通过明智地使用二项式定理，我们可以写出2个asu（^S，S-1) = u1 - (1 - a） nna（3）必须小于或等于1/n：n≥ u1 - (1 - a） nnaa公司≥ u1.- (1 - a） n个（4） 在某个区间[t，s]上，也必须有一个连续的部分分布，其中t≥ 0，s≤ 1、因此，我们的候选均衡策略Fi具有以下形式Fi=0 x∈ [0，t）修复∈ [t，s）1- a x=s（Fi）见附录a.2。使用0≤ t<s≤ 1和Pr（X=1）=a。我们寻求对称平衡。观察分布Fi必须是这样的，即zstxfi（x）dx=u- aFix Fjj表示j 6=i，并将H定义为Fn-1j。考虑到这个分布，我们有一个必要条件，即Fimaximizes1- (1 - a） nn+Zstfi（x）H（x）dx我们使用变分法技术，因此我们将函数J【f】定义为规则拉格朗日方程J【fi】=Zstfi（x）H（x）dx- λZstfi（x）dx- (1 - （a）- λZstxfi（x）dx- u+a第一个约束确保分布满足Kolmogorov的第二个公理，第二个约束确保期望值为u。函数导数为δJ（f（x））δf（x）=H（x）- λ- λx这个最大值必须等于0，所以我们有，H（x）=λ+λx，根据对称性，H（·）=Fn-1i（·）。此外，我们有两个初始条件，允许我们获得t和s。使用条件Fi（t）=0和Fi（s）=（1- a） ，平衡分布Fi，必须清楚，在对称平衡中，1，a上的重量不能是u。

要看到这一点，请注意，a的这样一个值将产生一个具有二进制支持的发行版，我们已经在Emma 2.1中排除了这一点。Fi（x）=（1- （a）x个- ts- t型1/（n）-1） 使用相应的pdf，fi（x）=x- t型1.- 一- 1.x个- ts- t型1/（n）-1） 注意，我们还需要RSTXFI（x）dx=u- a、 从而降低toa=nu-s+（n- 1） t型n-s+（n- 1） t型（5） 现在我们证明t必须是0：引理2.5。分布连续部分的下界t必须为0。证据我们将详细证据保留在附录A.3中。我们的证明是通过矛盾；我们假设存在t>0的对称平衡，并表明存在可证明的偏差。最后，我们将权重的大小固定在1：引理2.6上。1上的重量a由a=u给出- u(1 - a） n.证明。详细证明见附录A.4。推论2.7。如果u=1/n，则每个层都要玩策略Fi的唯一对称纳什均衡：=xnu1/（n）-1） 在[0，nu]上受支持。证据我们需要证明a=0，s=1。回想一下，我们有a=u- u(1 - a） n，变为0=（1-a） n+na-当u=1/n时为1。很容易看出此多项式在a=0处有根。为方便起见，定义b=1- a、 重新排列后，我们得到u=1- b1级- bn（6）或，对于u=1/n，n=1- b1级- b定义Д：=（1）- b） /（1- bn）- u. 很明显，对于b，在b中，Д正在减少∈ [0，1]，因此，ANDI在同一域上的a中增加。因此，a必须为0。我们可以将其替换为s=（1- a） n个-1并得出s=1。我们写下以下结果，描述了玩家数量增加的影响。定理2.8。修正u>1/n。然后，如果玩家数量增加，则对称平衡中放置在1上的权重必须增加。也就是说，a在n中严格递增。此外，s在n中严格递减。在这个限度内，当玩家数量n变得非常大时，1的重量接近u。

也就是说，平衡分布收敛到一个支持两点1和0的分布。证据定义b=1- a和Д如上所述（6的右侧）。回想一下forb∈ [0，1]，Д在b中减少，因此在相同的时间间隔内在a中增加。此外，我们对n取偏导数：φn=（1- b） bnln（b）（bn）- 1） <0Thus，随着n的增加，满足上述表达式所需的a必须增加。也就是说，体重越来越重。同时，s或分布连续部分的上限正在缩小，因为召回=n（u- a） 1个- A因此sa=-n（1- u)(1 - a） 此外，当n变为单位时，我们看到a变为u。图1:n对s和a在u=1/2时的平衡影响图1.2.2u<nWe write，simpletheorem 2.9中给出了n与a和s的对称平衡值之间关系的图示。如果u<1/n，则每个层都要玩策略Fi的唯一对称纳什均衡：=xnu1/（n）-1） 在[0，nu]上受支持。证据从推论2.7可以清楚地看出，对于限制在[0，nu]的分布，该分布是唯一的对称纳什均衡。然而，这里我们希望证明，即使对于[0，1]的整体偏差，这种分布也是唯一的对称纳什均衡。考虑这样的情况，所有n个参与者都使用策略Si，其中Xihas distributionFi（x）=xnu1/（n）-1). 假设一个玩家（比如玩家1）偏离了，并使用均值u使用[0，1]上支持的任何其他策略^S=G（y）。我们希望证明maxi6=1Xi<Y的概率小于或等于1/n。为了方便起见，定义新的随机变量Z：=maxi6=1Xi。显然，Z具有分布H（Z）=znu，相关密度H（Z）=nu。出于矛盾的考虑，假设该偏差对参与者1有利：u（^S，S-1） >1/n。

然后，u（^S，S-1) =1.- 克（nu）+ZnuZyg（y）h（z）dzdy=1.- 克（nu）+Znuynug（y）dyThus，我们的上述假设成立当且仅当1.- 克（nu）+Znuynug（y）dy>nn-Znuynug（y）dy>g（nu）-n- 1 nor，1>G（nu）+ZnuynuG（y）dy≥ G（nu）+ZnuG（y）dy=1我们建立了一个矛盾，因此我们得出结论，不存在可证明的偏差。唯一性是立竿见影的，遵循与provingTheorem 2.3.2.3中使用的类似论点，当玩家可以选择随机变量Xi的任何正支持时，我们通过求解唯一均衡来完成任何正支持。我们写出以下定理。定理2.10。修复u>0。唯一对称纳什均衡适用于每个玩家的游戏策略Fi：=xnu1/（n）-1） 在[0，nu]上受支持。该证明类似于定理2.9的证明，因此省略。当然，如果我们的解释是销售商选择产品质量分布，那么这个问题是合理的。另一方面，如果我们的问题是竞争说服（放松Bayes似然性约束），那么这种环境（允许支持选择为<+的任何子集）是不合适的。2.4任意排名我们可以通过刻画唯一对称均衡来进一步推广模型，在这种情况下，每个参与者的目标是至少实现第k个最高实现（随机解决关系）。这将对应于具有k的场景≥ 1买家。3简要讨论在本文研究的博弈中，简洁地说明均匀分布（或更一般地说，分布F（x）=x1/（n-1） ）是至高无上的。重要的是，随机变量maxj6的分布=iXj；我面对的每个球员的分布都是一致的。这个结果背后的直觉很简单；制服不允许任何一方获得高于1/n的报酬。

如果外源平均值过高；然而，区间上的任何连续分布都很容易发生偏差，因为将点质量设置为1，所以为了在平衡时应对这种情况，玩家必须将点质量设置为1。随着玩家数量的增加，需要点质量的切面缩小，1上点质量的大小增大。此外，随着球员数量变得越来越多，每个球员都必须将所有权重u放在第1点上。然而，如果玩家可以选择任何积极的支持来分配，那么他们可以随着n的增长继续扩大支持间隔，并且他们永远不必包含点质量。因此，我们可以看到，从这个问题中可以收集到有趣的直觉。如果平均值相对较小（u<1/n），那么玩家根本不使用他们间隔的顶部，因为这部分分布太“有价值”，可以说，最好分布在间隔的较低部分。如果我们把这个问题看作是由信号引起的奖品的后验分布，这意味着没有充分信息的信号来实现奖品的最高实现。这与[12]的开创性结果背道而驰，其中最高状态总是会产生“高”信号。然后，随着球员数量的增加，球员将使用越来越多的间隔时间。此外，如果游戏者的数量非常多，或者相当多，如果平均值变得非常大，那么游戏者必须将点质量设置为1。随着玩家数量的增长超过了限制，每个玩家将增加1的重量，而对连续分布部分的支持将减少。最后，在极限条件下，平衡将由两点质量组成。

再次把这个问题看作是后验者的选择，我们看到，玩家们对高认识越来越“诚实”。同样，随着n的增长（在说服环境中，与abinary Previor一起），我们在极限中得到了充分的启示——竞争迫使玩家揭示一切。从消费者的角度来看；那么，球员数量的增加是一件好事。理想情况下，他们将从方差最大的分布中提取，方差最大的分布是区间端点上支持的分布。因此，当参与者的数量变得非常大时，均衡会收敛到消费者最优的均衡。总的来说，本文可以看作是对代理具有共同二元先验的情况下的竞争说服问题的分析，或者是对放松贝叶斯似然性约束的一般竞争说服问题的分析。此外，我们的结果适用于信息设计以外的各种问题。我们的设置模拟了代理之间的无约束竞争，每个代理都必须混合或选择某种类型或质量的混合物，然后从中随机抽样，并选择最高的混合物。参考文献【1】B.C.阿尔布雷希特。政治说服。Mimeo，2017年2月。[2] P.H.Au和K.Kawai。相关信息的竞争性披露。Mimeo，2017年10月。[3] P.H.Au和K.Kawai。多个发件人披露竞争信息。Mimeo，2017年10月。[4] 大卫·布莱克威尔。实验对比。《第二届伯克利数理统计与概率研讨会论文集》，第93-102页，加利福尼亚州伯克利，1951年。加利福尼亚大学出版社。统一资源定位地址https://projecteuclid.org/euclid.bsmsp/1200500222.[5] Simon Board和Jay Lu。搜索市场中的竞争性信息披露。Mimeo，2015年。[6] Raphael Boleslavsky和Christopher Cotton。评分标准和教育质量。

《美国经济杂志》：微观经济学，7（2）：248–792015年4月。doi:10.1257/mic。20130080。URLhttp://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/mic.20130080.[7] Raphael Boleslavsky和Christopher Cotton。项目选择能力有限：通过证据制作进行竞争。Mimeo，2016年。统一资源定位地址http://www.raphaelboleslavsky.com/s/ET-Revision3.pdf.[8] Daniele Condorelli和Balazs Szentes。买方最优需求与垄断定价。Mimeo，2016年2月。统一资源定位地址http://personal.lse.ac.uk/szentes/docs/endvalues98.pdf.[9] B.Conrey、J.Gabbard、K.Grant、A.Liu和K.Morrison。不及物骰子。ArXiv e-prints，2013年11月。[10] 马修·根茨科和埃米尔·卡米尼卡。罗斯柴尔德·斯蒂格利茨的Bayesian说服方法。《美国经济评论》，106（5）：597–6012016年5月。内政部：10.1257/aer。p20161049。URLhttp://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/aer.p20161049.[11] A.Hulko和M.Whitmeyer。一种非传递性骰子游戏。ArXiv电子打印，2017年6月。[12] 埃米尔·卡米尼卡和马修·根茨科。贝叶斯说服。《美国经济评论》，101（6）：2590–26152011。ISSN 00028282。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/23045652.[13] F.Koessler、M.Laclau和T.Tomala。竞争信息设计：静态案例。Mimeo，2017年5月。[14] Anton Kolotilin、Tymo fiy Mylovanov、Andriy Zapechelnyuk和Ming Li。对私下知情的接收者的说服。《计量经济学》，85（6）：1949-19642017。ISSN 1468-0262。内政部：10.3982/ECTA13251。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.3982/ECTA13251.[15] Eduardo Perez和Vasiliki Skreta。falsi fication下的信息设计。CEPRDiscussion论文12271，C.E.P.R.讨论论文，2017年。统一资源定位地址https://EconPapers.repec.org/RePEc:cpr:ceprdp:12271.[16] 安妮·凯特琳·罗斯勒和巴拉兹·桑特斯。买方最优学习和单极定价。《美国经济评论》，107（7）：2072-802017年7月。内政部：10.1257/aer。20160145。URLhttp://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/aer.20160145.[17] Richard P。

凶恶的非传递骰子的悖论。《美国数学月刊》，101（5）：429–4361994。ISSN 0002989019300972。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/2974903.[18] 斯皮格勒说。与具有无限理性期望的代理人之间的竞争。《理论经济学》，1:207–2312006。[19] Richard L.Tenney和Caxton C.Foster。非传递优势。MathematicsMagazine，49（3）：115–1201976年。ISSN 0025570X，19300980。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/2690186.A附录A。1方程式1推导权利要求A.1。cnu+（1- a） n个-1.K- G（s）+Zs（1- a） n个-1syg（y）dy>nis等效toK>Zssyg（y）dy+G（s）证明。cnu+（1- a） n个-1.K- G（s）+Zs（1- a） n个-1syg（y）dy>nc- unu（1- a） n个-1+K+Zssyg（y）dy>G（s）c- unu（1- a） n个-1+K+Zsyg（y）dy>G（s）+Zssyg（y）dyc- unu（1- a） n个-1+u - cs+K>G（s）+Zssyg（y）dyK>Zssyg（y）dy+G（s），其中我们使用了r（1/s）yg（y）dy=u的事实- c和s=nu（1- a） n个-A.2方程式3推导权利要求A.2。un-1Xi=0n- 1in- 我(1 - a） 伊恩-1.-i=u1- (1 - a） nnaProof（不适用）。首先，定义k：=n- 1.- 所以我们有un-1Xi=0n- 1in- 我(1 - a） 伊恩-1.-i=u（1- a） n个-1n-1Xk=0n- 1公里k+1a1级- 一然后，我们有了身份。nXk=0k+1nk公司zk=（z+1）n+1- 1（n+1）zand，所以我们只需设置z：=a1-a、 经过一些代数运算，证明就完成了。A、 3引理2.5证明。让玩家2到n在[t，s]上玩支持的游戏，并且在1上有一个sizea的点质量。为了矛盾起见，假设t>0。召回，Fi（x）=（1- （a）x个- ts- t型1/（n）-1） 因此，其中最大值的cdf，H：=Fn-1，isH（x）=（1- a） n个-1.x个- ts- t型andh（x）=（1- a） n个-1.s- t型让玩家1玩一些在[0，s]上支持的替代策略G，这样密度在[0，t]的某部分上为正，并且在1上有一个大小为a的点质量。