随机变量博弈

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Game of Random Variables》
---
作者：
Artem Hulko and Mark Whitmeyer
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  This paper analyzes a simple game with $n$ players. We fix a mean, $\\mu$, in the interval $[0, 1]$ and let each player choose any random variable distributed on that interval with the given mean. The winner of the zero-sum game is the player whose random variable has the highest realization. We show that the position of the mean within the interval is paramount. Remarkably, if the given mean is above a crucial threshold then the unique equilibrium must contain a point mass on $1$. The cutoff is strictly decreasing in the number of players, $n$; and for fixed $\\mu$, as the number of players is increased, each player places more weight on $1$ at equilibrium. We characterize the equilibrium as the number of players goes to infinity.
---
中文摘要：
本文分析了一个有n$玩家的简单游戏。我们在区间$[0，1]$中固定一个平均值$\\mu$，并让每个玩家选择在该区间上分布的任意随机变量，该变量具有给定的平均值。零和博弈的赢家是随机变量实现率最高的玩家。我们证明了平均值在区间内的位置是最重要的。值得注意的是，如果给定的平均值高于一个临界阈值，那么唯一平衡必须包含一个1美元的点质量。截止人数正在严格减少，球员人数为n$；对于固定的$\\亩$，随着玩家数量的增加，每个玩家在均衡时会将更多的权重放在1美元上。我们将均衡描述为参与者数量趋于无穷大。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory        计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
--

---
PDF下载：
--> A_Game_of_Random_Variables.pdf (420.1 KB)

2022-6-2 19:39:26 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：随机变量 Applications Environments Quantitative Coordination

一个随机变量的对策*Mark Whitmeyer+2018年4月24日摘要本文分析了一个有n名玩家的简单游戏。我们在区间[0，1]中取一个平均值u，让每个玩家选择在该区间分布的任意随机变量，并取给定的平均值。零和博弈的赢家是随机变量实现率最高的玩家。我们证明了区间内均值的位置是最重要的。值得注意的是，如果给定的平均值超过了一个临界阈值，那么唯一平衡必须包含一个点masson 1。cuto off严格减少了玩家数量，n；对于固定u，随着玩家数量的增加，每个玩家都会将更多的权重放在1个非均衡上。我们将均衡描述为参与者数量趋于一致。关键词：随机变量；贝叶斯说服；多个发件人；信息传输。JEL分类：C72；D82；D83*北卡罗来纳大学夏洛特分校数学与统计系+德克萨斯大学奥斯汀分校经济系：马克。whitmeyer@utexas.edu.This该论文从大卫·安吉尔、V.Bhaskar、威廉·富克斯、罗斯玛丽·霍普克罗夫特、瓦苏达·贾因、瓦西里基·斯克雷塔、艾萨克·索宁、伊曼·孙、约瑟夫·惠特迈耶和托马斯·怀斯曼的评论和建议中受益匪浅。所有剩余的错误自然都是我们自己的错误。1引言考虑一些好的n家制造商所面临的以下问题。每个制造商都生产相同的无差别产品，并以某种外生给定的价格销售。制造商受到生产过程的限制，只能生产相同平均质量的产品；然而，他们可以选择商品质量的分配——比如说，更注重书本，严格的生产者可以确保更稳定的质量；或者通过更加灵活和动手，他可以实现更广泛的质量实现。

有一些买家想要购买商品，她自然会喜欢质量最好的商品。此外，在她选择产品之前，她可以检查货物，以便准确地挑选出最好的。为了最大限度地改变产品质量，生产者应该选择什么样的质量分配？有人可能会怀疑，事先最优的分布选择是方差最大的分布。然而，正如我们在本文中所展示的，情况并非如此，而是均匀分布才是最重要的。该模型可以形式化为以下n人博弈。我们确定一个平均值，u，并让每个参与者同时选择一个随机变量的分布，实现被限制在一个共同的区间内，没有损失，[0，1]），这样随机变量的期望值就是给定的u。这场零和游戏的赢家是随机变量实现率最高的玩家。每个玩家的目标；因此，就是要最大化其随机变量的实现值高于其对手的概率。我们的结果如下。有一个独特的对称平衡：如果u=1/n，则两个参与者都玩一个分布，cdf F（x）=x1/（n-1） 在整个间隔[0，1]上受支持，如果u<1/n，则在较小的支持间隔[0，nu]上，它们各自具有相同曲率的分布。关键是对于j 6=i，maxj6=ixjis的分布是均匀分布。另一方面，如果给定的平均值大于1/n，则每个游戏者在1上放置一个点质量，分布的其余部分是连续的，由[0，1]的子集支持。保持固定，随着玩家数量的增加，放置在1上的重量增加。

当n趋于完整时，唯一的对称平衡趋于1，其中每个参与者选择由0和1上的两点质量组成的分布。最后，我们表明，这些结果可以扩展到一个修正的情况，其中分布的最大支持度是[0+∞).1.1应用和讨论我们认为，该模型有许多应用。也许这些应用中最重要的是竞争信息设计或说服。这种设置模拟了这样一种情况，即一组主体在向风险中立代理提供信息方面展开竞争，其中主体和代理共享一个具有二进制支持的公共优先级。事实上，我们的问题相当于一个Agent各自选择Kamenica和Gentzkow意义上的一个实验，给出了常见的二进制先验。现实世界中，这一问题的例子包括卖家选择向口味未知的买家传达多少关于其产品的信息，学校竞争性地为各自的候选人选择分级政策（如[7]），以及试图说服选民选择其候选人的政党（如[1]）。更一般地，当概率空间是一维时，选择信号结构的问题就变成了选择Blackwell实验的问题（见[4]）。因此，本文可以解释为解决相同的问题，但约束较少。

换言之，当一般的竞争说服问题寻求均衡时，每个参与者选择一个后验概率分布，前提是后验概率分布是Bayes似是而非的，本文寻求均衡，其中约束现在是两个条件，即后验概率和先验概率的最大支持和平均值必须相同。对于具有二元支持的先验分布，我们的公式正是竞争说服问题，没有失去任何一般性。然而，很容易看出，在Gentzkow和Kamenica【10】中，这种方法是作为一种检验说服问题的方法引入的，随后有许多其他论文将信息设计问题解释为选择最佳Blackwell实验之一。最近的一些其他例子包括【14】和【15】。这通常不适用于其他先前的分布。例如，假设先验知识仅由1/2的权重组成。显然，没有任何信号结构可以让决策者相信对象的期望值是除1/2以外的任何东西，当然，我们也无法实现后验分布，即期望值的均匀分布。这种直觉适用于支持n 6=2点的任何分布，其中n允许是不可数的有限（即先验是非原子的）-如果先验重心的权重太大，则预期奖励的均匀分布根本不可能是贝叶斯分布。在某种程度上，本文与Condorelli和Szentes[8]相似。在[8]中，作者描述了由垄断卖方和买方组成的简单博弈的均衡。

买方可选择其估价的cdf；然后，卖方在观察了分配情况而非实现情况后，向买方做出了让步。这当然与Roesler和Szentes[16]有关，他们没有观察她的估值，买方只是收到了一个关于她的信号。然后，作者描述了这种买方最优信号结构的特性。与此相一致的是，我们关注（相对）无约束问题，这为解决一般竞争说服问题提供了见解。本文采用的方法与信息设计文献中其他论文采用的方法有很大不同。由于我们的参与者选择的分布不受Bayes似然性约束，因此我们不需要使用通常的方法，即将值函数凹化或将实验用作凸函数SideA【10、14、15】。相反，我们可以利用从Hulko和Whitmeyer（11）那里收集到的见解，直接解决游戏的均衡问题。这里的唯一均衡与两人骰子游戏的唯一均衡具有相同的直觉性质【11】。如Hulko和Whitmeyer所示，著名的广义不及物性导致了最佳反应的循环，就像“石头剪刀”；e、 g.模具A击败模具B击败模具C击败模具A。唯一不受此影响的模具是标准模具（本文中的均匀分布分析），它保证了1/2的收益，“埃夫隆骰子”；参见[9、17、19]。两名球员。因此，虽然标准模具不会击败任何其他模具，但它也不会输给任何其他模具。在本文中，我们在两人情况下得到了类似的结果，这是我们的n人结果的一个推论。

事实上，Boleslavsky和Cotton（2015）[6]中的两个参与者的结果是一个引理（引理4.1），他们研究了一个两个参与者的问题，在这个问题中，学校必须选择学生进入各自的学校，然后设计一个竞争性的评分政策。对于一个小于或等于1/2的给定平均值，唯一均衡是均匀分布，这保证了选择它的玩家至少有1/2的回报。然后，当u>1/2时，我们必须对此进行修改，因为均匀分布不再是平衡。令人惊讶的是，非奇异平衡必须有一个点质量为1，然后是一个线性分布的部分。对于一般数量的玩家n，关键的cuto off是1/n；此外，平衡分布是（n- 1） -x的第th根。因此，随着n的增长，分布的连续部分变得越来越凹。就像两人的情况一样，如果平均值太高（大于1/n），那么在平衡状态下，每个人将一个点质量放在1上。然后，对于固定的平均值，随着玩家数量的增加，每个玩家将越来越多的重量作为1上的点质量。当n趋于完整时，平衡分布收敛到仅由1和0上的点质量、重量u和1组成的平衡分布- u，分别为。最后，如果我们不提及竞争信息设计领域中的其他论文，我们将失职。贝叶斯说服和信息设计领域发展迅速，但研究竞争信息提供的论文相对较少。

如上所述，本文概括了Boleslavskyand Cotton[6]的一个结果，并且本文使用的方法——使用变量演算技术直接求解平衡分布——在文献中是新颖的。此外，由于我们推导出了一般n的平衡的完整特征，因此我们能够完整地描述人口规模增加对竞争信息提供的影响。最近我们注意到，斯皮格勒（Spiegler）[18]在研究向有边界的理性消费者销售的企业时，制定了一个与我们极为相似的模型，其中给定的平均值是一篇与本文相似的补充论文，这篇论文是由科斯勒（Koessler）、拉克劳（Laclau）和托马拉（Tomala）[13]撰写的。游戏中的每个玩家设计一个信号结构，其中包含各自（独立）信息的信息，目的是说服决策者采取玩家喜欢的行动。同样，在一对论文中，Auand Kawai[2，3]也研究了许多说服者通过信息条款进行竞争的情况。Board和Lu[5]依次查看搜索设置中的信息。根据[3]和[5]中得出的见解，我们确定竞争会引发更大的信息提供。在另一篇论文中，Boleslavsky和Cotton[7]将目光投向了另一个两人竞争说服的游戏，在这个游戏中，代理人提供信息以确保提案的资金。同样，阿尔布雷希特（Albrecht）[1]看起来是一个两人游戏，由两个政党组成，争夺选民的支持。他的论文是我们问题的两人博弈的另一个现实表现。1.2正式制定问题，让样本空间，Ohm, 是闭区间[0，1]，B是[0，1]上Borel集的σ-代数。定义随机变量Xi，i∈1, 2, . . . , n作为身份随机变量。

我们为参与者i定义了如下策略：定义1.1。固定平均值u∈ (0, 1). 玩家i的策略包括选择概率分布F，例如EFixi= u. 写一个玩家i的策略为dople Si:=（Fi，Xi）。我们要分析的博弈是常和对称的；以及Player1、u（S、S）的报酬-1） ，由内生给定。尽管我们的方法很新颖，但该研究中的平衡以及由此产生的见解实际上与这里的结果相同。美国，美国-1） =Pr（X>maxj6=1（Xj）+nPr（X=X=···=Xn）+n- 1n- 2.n- 1Pr（X=X=···=Xn-1> Xn）+n- 1.Pr（X=X>maxj6=1,2Xj）换句话说，玩家希望他们的随机变量具有最高的实现率，并且公平地打破关系。在继续之前，我们希望作出以下评论，评论1.2。混合策略集等于纯策略集。要看到这一点，请注意，每个混合策略都由一组纯策略上的一些随机化组成，这是随机变量概率分布上的概率分布。然而，这本身显然是随机变量的概率分布，因此它是一种纯策略。2 n人游戏首先，我们编写以下引理。他们背后的直觉是直截了当的；简单地说，不存在玩家选择离散分布的对称均衡。球员可能总是偏离这种分布，从支撑物的最高点刮去最少的重量，然后将此重量移动到支撑物的其他点。引理2.1。不存在对称纳什均衡，其中参与者选择N上支持的离散分布（<∞) 积分。证据很容易看出，不存在对称平衡，其中每个玩家选择由单点质量组成的分布。

这样的分布只能与权重1放在u上的分布相一致，并会给每个玩家带来1/n的回报。然而，玩家将权重1放在1上会有一个可证明的偏差- u+η和重量 在0上(, η > 0). 这样，该玩家可以获得任意接近1的payoff。现在，假设∞ > N≥ 2、注意策略由概率的选择组成p、 p，pN编号, 圆周率∈ [0, 1] i、 PNi=1pi=1，支持a<a<···<aN∈[0，1]使得Pni=1aipi=u。玩任意策略对每个玩家的预期回报，S=S=···=Sn=E，isui（Si，S-i） =N-1Xj=0n-1Xi=0n- 1im级- ipn-在里面-jN公司-j-1Xk=1pk！我我们声称偏离以下策略是可行的：Swhere aN=与概率pN不一致-  aj=aj+η与概率pj+j、 对于j 6=N，其中pn-1jj= （再次，, η, j> 0个j） 。对玩家的预期回报1播放策略Sisu（S，S-1） =N-1Xj=0n-1Xi=0n- 1in- ipn-在里面-jN公司-jXk=1pk！我- n-1Xi=0n- 1in- ipn-我-1N（1- pN）i+N-1Xj=1n-1Xi=0n- 1in- 我- 1n- ipn-在里面-jN公司-jXk=1pk！我请注意，如果玩家1n-1Xi=0n- 1in- ipn-我-1N（1- pN）i<N-1Xj=1n-1Xi=0n- 1in- 我- 1n- ipn-在里面-jN公司-jXk=1pk！我,它适用于非常小的向量(, ..., N-1).此外我们还可以证明，在[0，1]中的任何一点上都不存在点质量分布；也就是说，我们总是可以找到这样一个η>0的分布。引理2.2。在区间中的任何一点上都不存在点质量对称纳什均衡[0，1）。此外，如果u<1/n，则所有对称平衡都必须是无原子的。证明。使用引理2.1中使用的类似参数，很容易看出不可能有多个点质量。因此，仍然需要证明不可能有单点质量。首先，我们将证明在任何点b都不可能有原子∈ (0, 1).