八分之一布朗运动的转移概率及其性质

（2003）和Reisinger和Whitley（2014）中的Fourier方法。表5中的数据显示了Nx和NT的二阶收敛性。NX25 50 100误差4.44×10-41.04 × 10-42.65 × 10-5CPU时间30.8 274.3 2239.1NT50 100 200错误3.41×10-49.23 × 10-52.65 × 10-5CPU时间723.2 1156.6 2239.1表5：不同NX（NX=200）和NX（NX=100）的ADI方法的格林函数误差形式。该测试表明，在计算上最可行的水平上，与ADI格式相比，相对较少项的半解析解具有更高的精度。值得指出的是，半解析表达式给出了单点的密度，而有限差分解是在整个网格上同时得到的。例如，这对于计算生存概率很有用，其中需要对密度进行积分（见下一节）。6相互负债违约模型的应用与吸收的差异在结构性信贷模型中起着核心作用。特别是，我们在本节中研究了Lipton（2016）中提出的具有相互负债的互联银行网络模型。有几篇论文考虑了该模型的具体案例。例如，Itkin和Lipton（2016）考虑了两个没有跳跃的银行的特殊情况，Kaushansky et al.（2017）考虑了两个指数跳跃为负的银行的情况，Itkin和Lipton（2015）考虑了跳跃成分中具有相当普遍的相关L’evy过程的两个和三个银行的情况。在这里，我们研究三家银行没有跳跃的情况。三个交易对手的情况具有实际重要性，因为它允许我们计算双边信贷和债务价值调整。

在下文中，我们简要介绍了该框架，并展示了如何计算CDS的联合生存概率以及CVA和DVA。6.1三家银行相互负债的扩展违约模型我们假设资产由几何布朗运动驱动，漂移dai，tAi，t=uidt+σidWit，1≤ 我≤ 3，其中uiis为生长速率，σiis为相应的波动率，wi为相关的标准布朗运动（ρij）。假设负债具有相同的增长率，dLiLi=uidt，dLijLij=uidt，1≤ i、 j≤ 3，其中，i-th银行的对外负债，以及i银行和j银行之间的银行间负债。我们引入了Black和Cox（1976）Ξi=（Ri（Li+^Li）中的默认边界-^Ai≡ Ξ<i，t<t，Li+^Li-^Ai≡ Ξ=i，t=t，其中0≤ 国际扶轮社≤ 1是回收率，^Ai=Xj6=iLji，^Li=Xj6=iLij。如果第k家银行在中间时间t′违约，幸存的银行将因第k家银行的任何未付净债务而蒙受损失，我们必须考虑修改边界条件的二维问题。然后，我们通过应用函数i改变幸存银行的指数化→ i′=φk（i）=（i，i<k，i- 1，i>k。我们还引入了逆函数i→ i′=ψk（i）=（i，i<k，i+1，i≥ k、 相应的默认边界修改为Ξ（k）i=（Rψ（k）（i）（L（k）i+^L（k）i）-^A（k）i，t<t，L（k）i+^L（k）i-^A（k）i，t=t。很明显Ξ（k）i=Ξ（k）i- Ξi=（（1- RiRk）^A（k）i，t<t，（1- Rk）^A（k）i，t=t。因此，Ξ（k）>0，相应的默认边界向右移动。我们需要指定时间t=t时的结算过程。我们将本着Eisenberg和Noe（2001）的精神这样做。由于预计在T时全部清偿，我们假设银行i将向债权人支付其总负债的ωiof部分。这意味着，如果ωi=1，银行支付所有负债（包括外部负债和银行间负债）并存续。

另一方面，如果0<ωi<1，银行i违约，只支付其负债的一小部分。因此，我们可以将终端条件描述为一个方程系统min（Ai，T+Xj6=iωjLji，Li+Xj6=iLij）=ωiLi+Xj6=iLij！。（25）有一个唯一的向量ω=（ω，ω，ω）Tsuch，表示条件（25）满足。详情请参见Lipton（2016）。为方便起见，我们引入了归一化无量纲变量't=∑t，Xi=∑ilnAiΞ<i,式中，∑=（σσ）。也表示ξi=-1的σi/（2∑）≤ 我≤ 3、将It^o公式应用于Xi，我们发现其动态Xi't=ξid't+dWi't。在下文中，为了简洁起见，我们省略了条形，并用（x，y，z）表示状态变量∈ R+。默认边界更改为ui=（u<i=0，t<t，u=i=σilnΞ=i（t）Ξ<i（t）, 我们将要考虑的问题都可以写在表格中五、t+LV=χ（t，x，y，z），（26）V（t，0，y，z）=φ0，x（t，y，z），V（t，x，y，z）-→x个→+∞φ∞,x（t，y，z），（27）V（t，x，0，z）=φ0，y（t，x，z），V（t，x，y，z）-→y→+∞φ∞,y（t，x，z），（28）V（t，x，y，0）=φ0，z（t，x，y），V（t，x，y，z）-→z→+∞φ∞,z（t，x，y），（29）V（t，x，y，z）=ψ（x，y，z），（30）具有适当定义的终端条件ψ、边界条件φ和右侧χ，其中Kolmogorov向后运算符或isLf=fxx+fyy+fzz+ρfxy+ρfxz+ρfyz+ξfx+ξfy+ξfz。一旦为一组模型参数数值构建了格林函数，通过将格林函数与适当的非均匀右侧和边界数据进行简单卷积，可以找到不同衍生品和对冲参数的价格，作为（26）–（30）的解。正是格林函数概念的优势，使得不需要进一步的偏微分方程数值解。

我们将在以下部分对此进行说明。6.2联合生存概率相应的Kolmogorov后向方程f或联合生存概率为Qt+LQ=0，Q（t，0，y，z）=0，Q（t，x，0，z）=0，Q（t，x，y，z）=0，Q（t，x，y，z）=（x，y，z）∈Dxyz，其中Dxyz={x≥ ux，y≥ uy，z≥ uz}是所有银行生存的R+子集。由于各种监管要求，大型银行的资产不能低于其能力，这意味着其回收率应接近1。这意味着域dxyz变为正八分之一R+。Itkin和Lipton（2016）最近发现了正象限（即二维）中无零漂移生存概率的分析解。在这里，我们使用第3节中的格林函数表达式和Gegenbauer多项式的展开式将此结果扩展到三维。仅在本节中，我们使用（x，y，z）代替（x′，y′，z′），使用（x，y，z）代替（x，y，z），以缩短积分中的符号，对于（r，ν，θ）也是如此。

然后可以将解q写成q（τ，x，y，z）=ZZZR+G（τ，x′，y′，z′，x，y，z）dx′dy′dz′。使用（19）和（2），Q（τ，r，Д，θ）=+∞Z′ωZΘ（Д）Zexp（ξα（r sinθsinД）- rsinθsinД）+ξβ（r sinθcosД- rsinθcosД）+ξγ（r cosθ- rcosθ）G（τ，r，θ，Д）rsinθdθdДdr=eκτ√r∞Xl=1ψl（Д，θ）(R)ωZΘ（Д）Zψl（Д，θ）sinθZ+∞e-αrreγ（Д，θ）rIλl（βr）drdθdД，（31）其中λl=q∧l+，α=2τ，β=rτ，γ（Д，θ）=αsinθsinν+ξβsinθcosД+ξγcosθ和κ=-ξαrsinθsinИ- ξβrsinθcosД- ξγrcosθ- αr。接下来，我们使用了来自Itkin a和Lipton（2016），e的超球面多项式的指数表示思想-Sx=Γ（ν）S-ν∞Xk=0(-1） k（ν+k）Iν+k（S）Cνk（x），其中Cνk（x）是Gegenbauer多项式，参数ν可以任意选择。用S=βR，x=-γ（Д，θ）/β到（31），我们得到q（τ，r，Д，θ）=eκτ√rΓ（ν）β-ν∞Xl=1∞Xu=0(-1） u（u+ν）ψl（Д，θ）××ZZOhmψl（ν，θ）sinθCνu(-γ（Д，θ）/β）dθdДZ+∞e-αrr-νIλl（βr）Iu+ν（βr）dr.（32）为简单起见，我们选择ν=1，然后使用恒等式（Gradˇstejn et al.（2007））计算第二个积分，u=Z∞e-αrrIλl（βr）Iν+u（βr）dr=2-λl-u-2α-（λl+u+5/2）/2βλl+u+1·Γ[（3/2+u+λl）/2]Γ（u+1）Γ（λl+1）Fλl+u+2λl+u+3λl+u+5/2u+2λl+1u+λl+2；βα,（33）其中f（a，b，c；a，b，c；z）是广义超几何函数。此外，当ν=1时，Gegenbauer多项式成为第二类切比雪夫多项式，它接受表示（Abramowitz和Stegun（1964））Ul（x）=[l/2]Xk=0(-1） 氯化钾-kk（2x）l-2k，其中，[x]是FLOOR函数。

因此，（32）中的积分Ohm 可表示为asIl，u=[u/2]Xk=0u-2公里(-1)u-kCu-kkZZ公司Ohmψl（Д，θ）sinθ（ξαsinθsinД+ξβsinθcosД+ξγcosθ）u-2kdθdД。（34）因此，我们得到积分q（τ，r，Д，θ）=2eκβτ的表达式√r∞Xl=1∞Xu=0(-1） u（u+1）ψl（Д，θ）·Il，u·Il，u，（35），其中Il，u的表达式在（34）中给出，Il，u的表达式在（33）中给出。从计算的角度来看，与格林函数的直接积分相比，这种半解析表示具有优势。考虑参数Mandumax，求和中的极限（35），以及ψl的特征值展开中的项数Ohm 可以进行数值计算。由于Θ（θ）是光滑的，我们可以通过变量的平滑变化将域转换为矩形，并使用高斯求积等高阶积分方法。我们用N表示Ohm二维积分节点数。首先，我们预先计算网格上所有l的ψlf；可以用O（MNN）完成Ohm) 操作。然后，我们预计算（34）中的积分，其复杂性为O（umaxMNOhm). 然后，我们预计算Il，u，复杂性为O（umaxM）。最后，我们使用预计算，用O（umaxM）运算计算（35）。因此，总体复杂性为O（MNNOhm+ umaxMNOhm+ Mumax）。相比之下，格林函数与ψlfor alll的预计算的直接积分得到O（MNNOhm+ MNrN公司Ohm) 运算，其中nr是变量r的正交节点数，需要在某个rmaxin处截断以处理r上的适当积分。请注意，（19）是去漂移格林函数，因此在乘以（2）中的因子后，求和中的每一项都是（r′，φ′，θ′）的非平凡函数，无法利用分离结构。

通常，umaxandN的值可以选择相对较小的值，与NR相比，以获得可比的精度。在我们的计算中，我们使用表6中的参数和表7中的负债。σσσρxyρxzρyzRRRT1 1 0.8 0.2 0.5 0.4 0.45 0.4表6：假设模型参数。在图3中，我们将计算出的j点生存概率显示为x.LLLLLLL60 70 65 10 15 10 10 5 10不同值在他们-z平面上的投影。表7：假设的外部和相互责任。6.3信用和债务价值调整的计算在本节中，我们计算信用违约掉期（CDS）的估值调整。