八分之一布朗运动的转移概率及其性质

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英文标题：
《Transition probability of Brownian motion in the octant and its
  application to default modeling》
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作者：
Vadim Kaushansky, Alexander Lipton, Christoph Reisinger
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We derive a semi-analytic formula for the transition probability of three-dimensional Brownian motion in the positive octant with absorption at the boundaries. Separation of variables in spherical coordinates leads to an eigenvalue problem for the resulting boundary value problem in the two angular components. The main theoretical result is a solution to the original problem expressed as an expansion into special functions and an eigenvalue which has to be chosen to allow a matching of the boundary condition. We discuss and test several computational methods to solve a finite-dimensional approximation to this nonlinear eigenvalue problem. Finally, we apply our results to the computation of default probabilities and credit valuation adjustments in a structural credit model with mutual liabilities.
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中文摘要：
我们推导了在边界有吸收的正八分体中三维布朗运动转移概率的半解析公式。在球坐标系中分离变量会导致在两个角分量中产生的边值问题的特征值问题。主要的理论结果是对原始问题的一个解决方案，表示为对特殊函数和特征值的扩展，必须选择该特征值以允许边界条件的匹配。我们讨论并测试了几种计算方法来解决这个非线性特征值问题的有限维近似。最后，我们将我们的结果应用于具有共同负债的结构性信贷模型中违约概率的计算和信贷估值调整。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Transition_probability_of_Brownian_motion_in_the_octant_and_its_application_to_d.pdf (1.05 MB)

2022-6-2 20:22:07 上传

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关键词：布朗运动 转移概率 Applications Quantitative Computation

CTANT中布朗运动的转移概率及其在违约建模Vadim Kaushansky中的应用*+, 亚历山大·利普顿（Alexander Lipton），克里斯托夫·赖辛格（Christoph Reisinger）§Abstracts我们推导出了在边界吸收的正八分之一中三维布朗运动跃迁概率的半解析公式。在球坐标系中分离变量会导致在两个角分量中产生边值问题的特征值问题。主要的理论结果是原始问题的解决方案，表示为对特殊函数和特征值的展开，必须选择特征值来匹配边界条件。我们讨论并测试了几种计算方法来解决这个非线性特征值问题的有限维近似。最后，我们将我们的结果应用于具有共同负债的结构性信贷模型中违约概率和信用估值调整的计算。关键词：三维布朗运动；转移概率；非线性特征值问题；结构缺省模型；相互责任。1引言Rn+，n中多维布朗运动的转移概率≥ 1，在边界处吸收，发生在应用数学的不同领域。我们尤其受到数学金融的推动。例如，它出现在交易对手信用风险建模（Lipton and Savescu（2014）、Lipton and Sepp（2009）、Itkin and Lipton（2016）、Zhou（2001））、市场微观结构（Cont and De Larrard（2012）、Lipton et al.（2014））和奇异期权定价（Escobar et al.（2014）中，针对三种具有特殊相关性结构的资产的障碍期权；He等人。

（1998）对于回望期权，其收益取决于资产价格过程的最小值、最大值和终点；Lipto n（2001））。一维情况是经典的，通过反射原理，或者用偏微分方程（PDE）术语，通过图像方法，简单地解决。二维问题可用图像法或分离变量法解析求解；看见*第一作者感谢经济及社会研究委员会和美国银行美林+通讯作者、英国牛津大学数学研究所和牛津人研究所的支持，电子邮件：vadim。kaushansky@maths.ox.ac.uk美国马萨诸塞州剑桥市麻省理工学院连接科学与瑞士洛桑市Ecole Poly Technology F'ed'erale de Lausanne，电子邮件：alexlipt@mit.edu§牛津大学数学研究所和牛津人研究所，安德鲁·怀尔斯大厦，伍德斯托克路，OX2 6GG，英国，邮箱：christoph。reisinger@maths.ox.ac.ukLipton和Sepp（2009）获取详细信息。三维问题比一维和二维问题困难得多。对于correlationmatrix的几种特殊情况，Escobar et al.（2013）通过图像方法提供了三维问题的解决方案。不幸的是，它不能推广到一般的相关矩阵。Lipton和Savescu（201 4）提出了半解析解，其中使用了分离变量技术，并将问题分为径向和角度偏微分方程。径向偏微分方程采用解析法求解，而角度偏微分方程采用有限元法求解。在本文中，我们使用分离变量技术，解析地求解角偏微分方程，并提供格林函数的“完全半解析”表示。

我们的意思是，该解被表示为包含特殊函数（超几何和贝塞尔）的（双）有限系列项。我们还需要一个可数有限维非线性特征值问题的解。在实践中，正如我们的数值测试所证明的那样，可以将总和截断为相对较少的项（低十项），而不会显著降低精度，对于非线性特征值问题的维数也是如此。有许多已发布的方法可用于解决（有限维）非线性特征值问题。Mehrmann和Voss（2004）对此进行了详细审查。大多数方法使用线性化和相应线性特征值问题的解。作为此类方法的一个示例，我们考虑一种基于切比雪夫插值的方法（Trefethen（2013））。我们还研究了另一种最近开发的基于计算轮廓积分的方法（Beyn（2012））。这两种方法都易于实现，并且对于我们的特定问题具有良好的特性。通过这种半解析方法，我们可以比用数值解原始的三维抛物型偏微分方程更快地计算出高精度的透射密度及其导数。我们通过与Hundsdorfer-Verwer方案（Hundsdorfer和Verwer（2013））获得的有限差分近似值进行比较来证明这一点。据我们所知，这是第一个发表的关于一般相关布朗运动转移概率的表达式，该运动具有吸纳基。

此外，我们考虑了一个比她公布的特殊情况稍微更一般的公式，该特殊情况允许持续漂移。在信用风险应用的背景下，我们展示了如何使用Gegenbauer多项式展开半解析地计算Black-Cox环境下企业的联合生存概率，并给出了根据转移概率（分析可用）导数的积分进行信用和债务估值调整的表达式。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了问题asPDE，说明了如何消除漂移和相关项，并将方程转换为球坐标。在第3节中，我们使用变量分离来计算径向和角度偏微分方程中的bta，求解这两个方程，并根据未知的非线性特征值和特征向量编写Green\'s函数的最终表达式。在第四节中，我们讨论了求解非线性特征值问题的各种方法。在第5节中，我们进行了数值试验。在第6节中，我们研究了三维转移概率在具有相互责任的违约模型中的应用。在第7节中，我们得出结论。2问题公式和预备工作我们考虑一个具有常数漂移（ui）的三维标准布朗运动1≤我≤3，dXis=uids+dWis，Xit=xi，1≤ 我≤ 3，微型发电机L=Xi，j=1ρijxixj+Xi=1uixi，其中（ρij）1≤i、 j≤3是ρii=1的对称正定义矩阵，1≤ 我≤ 3、三维标准布朗运动的相关矩阵。现在考虑停止的进程Xs∧τ、 τ=inf{u:Xu/∈ R+}正八分之一的退出时间。然后是Xs的分布∧τ在边界上有一个奇异分量a，其中一个坐标为0，对应于吸收质量，内部有一个连续密度，在边界处变为零。

设p（t′，x′t，x）表示在x′处计算的分布的连续分量∈ 时间t′时的R+≥ t、 对于固定对（t，x），它满足正向Kolmogorov方程pt′（t′，x′| t，x）=L*p（t′，x′t，x），（1）初始条件p（t，x′t，x）=δ（x′- x） ，边界条件p（t′，x′t，x）=0，对于x′·x′·x′=0，t′≥ t、 我在哪里*是L的伴随算子，L*=Xi，j=1ρijx′ix′j-Xi=1ui在偏微分方程理论中，转移概率可以解释为格林函数，这是一个合适的初边值问题的基本解，我们将在后面详细说明。因此，对于时间均匀性，我们使用符号G（t′）-t、 x′，x）=p（t′，x′| t，x）。为方便起见，我们将偶尔用（x，y，z）表示状态变量∈ R+。为了消除交叉导数项，我们使用变量（x，y，z）的变化→（α、β、γ）如Lipton等人（2014）和Lipton和Savescu（2014）所述；另见附录A。为了消除漂移项，我们进一步使用变换▄G（t′）- t、 α′，β′，γ′，α，β，γ）=exp- ξα(α - α′) - ξβ(β - β′) - ξγ(γ - γ′) -ξα+ξβ+ξγ（t- t′）×G（t′）- t、 α′，β′，γ′，α，β，γ）（2）（另见附录A）。

为了便于记法，我们在下面省略了tilde。最后，我们在球坐标（r，Д，θ）中重写方程，以利用do main的楔形，其中r∈ (0, ∞), φ ∈ （0，ω），ω=arccos(-ρxy）和θ∈ （0，Θ（Д）），其中Θ（Д）可隐式定义为Д（ω）=arccos1- ρxyωp1- 2ρxyω+ω！，（3） Θ（ω）=arccos-ρyz- ρxzρxy+ω（ρxz- ρyzρxy）q′ρxy（(R)ρxz- 2ω（ρxy- ρxzρyz）+ω′ρyz）, （4） 其中ρ=p1- ρ表示ρ∈ {ρxy，ρyz}。格林函数的最终初边值问题的形式如下Gt′型-r′r′2（r′G）+r′2sinθ′GИ′Д′+sinθ′θ′（sinθ′Gθ′）= 0，G（0，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=rsinθδ（r′）- r） δ（Д′）- φ)δ(θ′- θ） ，G（t′）- t、 r′，0，θ′，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，\'ω，θ′，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，Д′，0，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，Д′，Θ（Д′），r，Д，θ）=0，G（t′- t、 0，Д′，θ′，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，Д′，θ′，r，Д，θ）-→r′→+∞0。（5）3展开式半解析解在本节中，我们展示了如何通过特征值展开式给出（5）的解。首先，我们应用变量分离sg（t，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=g（t，r′，r）ψ（Д′，θ′，Д，θ），然后（5）分解为两个独立的（初）边值问题gt′型=r′r′2（r′g）-∧r′2g,g（0，r′，r）=rδ（r′）- r） ，g（t′）- t、 0，r）=0，g（t′- t、 r′，r）-→r′→+∞0、（6）和sinθ′ψИ′Д′+sinθ′θ′（sinθ′ψθ′）=-∧ψ，ψ（0，θ′，Д，θ）=0，ψ（(R)ω，θ′，Д，θ）=0，ψ（Д′，0，Д，θ）=0，ψ（Д′，Θ（Д′），Д，θ）=0，（7），其中∧∈ R+是特征值。

特征值是实的和正的，因为（7）左侧的微分算子相对于某个加权内积是对称的和正的，如Lipton和Savescu（2014）中给出的不等式（40）的变分公式所示。我们注意到（6）和（7）之间的不对称性，前者包含时间变量，因此施加了初始条件，后者是平稳的，因此不匹配任何初始条件。（5）中溶液的初始条件最终将由第3.2节中的支持条件确定。由于（7）在这里不依赖于（Д，θ）（由于忽略了初始条件），为了简单起见，我们进一步写出ψ（Д′，θ′，Д，θ）=ψ（Д′，θ′）。PDE（6）可以解析求解，其解（t，r′，r）=e-r+r′22tt√rr′I√Λ+rr′t,式中，Ia（b）是第二类修正贝塞尔函数。Lipton和Savescu（2014）采用有限元法数值求解了角偏微分方程（7）的特征值问题。在下文中，我们考虑另一种半分析方法。3.1角度PDEWe的半分析方法首先通过额外的变换（如Lipton et al.（2014）中针对静止情况的变换）ζ′=ln tanθ′/2，（8）进一步简化问题，将域更改为半有限条带-∞ < ζ ≤ Z（Д）=ln tan（Д）/2和特征值问题t oΨφ′φ′+ Ψζ′ζ′= -4∧e2ζ′（1+e2ζ′）ψ，ψ（0，ζ′）=ψ（(R)ω，ζ′）=limζ′→-∞ψ（Д′，ζ′）=ψ（Д′，Z（Д′）=0。（9） 表示λ=+q+λ。然后，（9）变成ψИ′Д′+ψζ′ζ′=-λ(λ - 1） cosh（ζ′）ψ。我们将以ψ（Д′，ζ′）=Φ（Д′）·Υ（ζ′）的形式找到溶液。因此，我们可以将（9）分解为Φ′′系统=-kΦ，（10）Υ′\'=k-λ(λ - 1） cosh（ζ′）Υ，（11）其中k∈ R+是特征值，边界条件Φ（0）=0，Φ（(R)ω）=0，Υ（ζ′）-→ζ →-∞0，ψ（Д′，Z（Д′）=0。

（12） 具有（12）中第一和第二基本条件的方程（10）可解为Φn（Д′）=cnsin（knД′），其中kn=πn/(R)ω，而（11）是具有P¨oschl–Teller势的Schr¨odinger方程。用（12）中的第三个边界条件求解，我们得到（见附录B）Υn（ζ′）=cneknζ′Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2ζ′1+e2ζ′,其中f（a，b，c，z）是高斯超几何函数。因此，我们发现ψ（Д′，ζ′）的形式为ψ（Д′，ζ′）=∞Xn=1康星（knИ′）eknζ′Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2ζ′1+e2ζ′. （13） 作为a方，我们注意到Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2ζ′1+e2ζ′= λ=0时为1，表示ψ（Д′，ζ′）=∞Xn=1康星（knИ′）eknζ′，与Lipton et al.（2014）中关于平稳问题的表达式一致。为了确定系数Cn和特征值λ，我们使用（12）中的第四个条件，∞Xn=1康星（knИ）eknZ（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）= 0（14）表示所有Д′∈ [0, ω].我们引入积分lsTmn（λ）=hfm，fni=’ωZfm（Д′）fn（Д′）dД′，（15）fn（Д′）=sin（knД′）eknZ（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）,注意，Tmnis仅为λ的函数。然后，应用（14），我们得到∞Xn=1Tmn（λ）cn=0，m级≥ 1.（16） 我们推迟了λ和（cn）n的（16）解≥1至第4节。3.2格林函数的最终表达式现在，我们可以使用特征值展开（τ，r′，ν′，ζ′，r，Д，ζ）编写格林函数的表达式=∞Xl=1algl（τ，r′）ψl（Д′，ζ′）=∞Xl=1algl（τ，r′）∞Xn=1clnΦn（Д′）Υln（ζ′）=e-r′2+r2ττ√r′r∞Xl=1alIλlr′rτ×∞Xn=1clnsin（knИ′）eknζ′Fλl，1- λl，1+kn，e2ζ′1+e2ζ′, （17） 其中（可数个）特征值λland系数clnca可确定为非线性特征值问题（16）的解，且kn=πn′ω。通过施加初始条件g（0，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=rsinθδ（r′，可以确定系数alc- r） δ（Д′）- φ)δ(θ′- θ).我们已经确定了径向部分的初始条件，因此我们需要∞Xl=1alψl（Д′，θ′）=sinθδ（Д′）- φ)δ(θ′- θ).

（18） 从多边形偏微分方程的弱公式中，很容易看出特征向量在sinθ′加权的标量积中是正交的（Lipton和Savescu（2014））。将（18）乘以ψm（Д′，θ′）sinθ′，并在整个域上积分，al=ZZOhmsinθψl（Д′，θ′）sinθ′δ（Д′）- φ)δ(θ′- θ） dД′dθ′=ψl（Д，θ）。将alf的表达式从最后一个方程代入（17），扩展ψl（Д′，ζ′）和ψl（Д，ζ）的表达式，我们得到g（τ，r′，Д′，ζ′，r，Д，ζ）=e-r′2+r2ττ√r′r∞Xl=1Iλlr′rτ××∞Xn=1clnsin（knИ′）eknζ′Fλl，1- λl，1+kn，e2ζ′1+e2ζ′!××∞Xn=1clnsin（knх）eknζFλl，1- λl，1+kn，e2ζ1+e2ζ!.回到变量θ，我们得到g（τ，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=e-r′2+r2ττ√r′r∞Xl=1Iλlr′rτ××∞Xn=1clnsin（knИ′）储罐nθ′Fλl，1- λl，1+kn，sinθ′!××∞Xn=1clnsin（knх）储罐nθFλl，1- λl，1+kn，sinθ!. （19） 4非线性特征值问题的解在本节中，我们首先给出特征值问题的性质（16）。然后，我们描述了求解非线性特征值问题的几种方法，并概述了这些方法在测试中的应用。4.1截断和T（λ）的最小（线性）特征值如果我们截断N项后的和（16），则所得方程可以重写为矩阵形式T（λ）·c=0，（20），其中T（λ）∈ RN×N，c∈ 注册护士。方程（20）是一个非线性特征值问题f或对称正半有限矩阵（因为矩阵T是一个Gram矩阵）。该截断问题的特征值λ必须满足方程umin（T（λ））=0，（21），其中uminis正半有限矩阵T（λ）的最小特征值。然而，由于截断，问题（20）通常没有λ的实值解。事实上，数值试验表明，对于所有λ，T通常是严格的正定义，而对于c，则不存在非零解。