八分之一布朗运动的转移概率及其性质

图1说明了T（λ）的最小特征值umin（T（λ））对λ的依赖关系。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.020.040.060.080.10.120.14∧2min（eig（T））（a）20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 4000.511.522.533.5x 10-4∧2min（eig（T））（b）图1：对于ρxy=0.8、ρxz=0.2、ρyz=0.5和N=15，matr ix的最小特征值T：umin（T（λ））。注意（a）和（b）中的不同绘图范围。为了找到原始问题的近似值，我们需要“正则化”它，因为当项的数量增加时，存在一个近似于有限问题的解的截断问题的解。第一种简单方法基于umin的最小值（而不是其根）。这里，我们使用切比雪夫多项式（Driscoll et al.（2014））来近似（21）左侧的所有局部极小值，并将其用作非线性特征值的近似值。下文第4.2节和第4.3节分别给出了通过考虑复非线性特征值、直接基于T（λ）切比雪夫插值和基于轮廓积分的更复杂和有效的方法。4.2 T（λ）的切比雪夫多项式插值在这种方法中，我们使用切比雪夫多项式T（λ）近似复λ的T（λ）≈bT（λ）≡mXj=0Aj▄Tj（λ），（22），其中{▄Tj，0≤ j≤ m} 是m次和Aj次的（标量）切比雪夫多项式基∈RN×Nar是相应的系数。以下结果是对Trefethen（2013）中定理18.1的修正（例如，见Nakatsukasa et al.（2015），第7.2节）。定理1。

bt i n（22）的多项式特征值问题的解是线性矩阵束（维数mN×mN）λ的奇异值阿明。。。。。。。。。在中--是-1英寸-是-2.-是-3···AIN0英寸。。。。。。。。。英寸0英寸, （23）由于正不确定性，我们避免在（15）中使用“ωRf（Д）”g（Д）dД而不是h·、·i。（即，所有λ使得上述矩阵为单数），其中未显示的条目为零。因此，通过找到线性矩阵束的特征值，我们得到了多项式特征值问题的解，这是非线性特征值问题的近似值（20）。4.3轮廓积分法Beyn（2012）提出的以下方法在agiven ContourΓ内找到非线性复特征值。我们给出了Alg算法1中的主要步骤，然后讨论了轮廓的选择。算法1非线性特征值问题的轮廓积分算法1:l=12:Choose^V∈ CN×lan ar二进制矩阵。3： 计算A=2πiRΓT（z）-1^V dz和A=2πiRΓzT（z）-1^V dz。4： 计算SVD A=V∑WH。5： 对∑进行等级测试，即，结果0<k≤ l使得σ≥ σ≥ . . . tolrank>σk+1≈ . . . ≈ σl≈ 0.6：如果k=l，则l=l+1，然后转到第1行；7： 否则，设V=V（1:N，1:k），W=W（1:l，1:k）和∑=diag（σ，…，σk）。8： 结束if9：计算B=VHAW∑-1.10：求解B的特征值问题：BS=S∧，其中S=（v | v |…| vk）。11： 对于具有| | T（λj）vj | |的所有j≤ 托尔桑德λj∈ int（Γ）接受λjas非线性本征值，vj=Vsjas本征向量。一些进一步的规范和意见：1。在第2行中，我们选择^V=（Il | O）乘以l×l单位矩阵和O和l×（N-l） 零矩阵。第3行中的被积函数是通过解线性系统T（z）x=^V（x.3）得到的。对于线性系统、奇异值分解和线性特征值问题，我们使用Matlabdefault函数。我们选择中心为u，半径为R的等高线圆。

然后，对于Д（t）=u+R exp2πijL, A和A可通过L节点的求积来近似，A0，L=RLL-1Xj=0T（Д（tj））-1^V扩展2πijL,A1，L=uA0，L+RLL-1Xj=0T（Д（tj））-1^V扩展4πijL.5、由于u可能很大，为了计算稳定性，最好将坐标移动到▄z=z- u.5数值试验在本节中，我们讨论了第3节和第4节中的方法在求解（20）和数值试验中的应用。5.1矩阵组合为了计算T的元素，我们必须计算（15）中的积分。我们注意到fmn（ν′）=sin（kmД′）sin（knД′）e（km+kn）Z（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+km，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）××Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）在{z |<1}上分析，且f′mn（0）=f′mn（\'ω），其中\'ω=arccos(-ρxy）。然后，根据Javed和Trefethen（2014），具有K个节点的梯形求积规则收敛于O阶（K-4） 具有小常数。与其他自适应求积规则相比，使用标准梯形规则的一个优点是，在固定网格上，我们可以预先计算函数Fn（Д′）=sin（knД′）eknZ（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）.因此，我们只使用N来代替超几何函数的N计算，这是一个昂贵的操作。由于exp（（kn+km）Z（Д）），T（λ）gr的元素在n和m中快速移动，对于较大的n，可能变得非常不准确。我们将使用以下直接结果来改善T的条件。提案1。考虑非奇异平方矩阵s V和W。定义T（λ）=V T（λ）W。那么，λ是T（λ）的一个非线性特征值，当且仅当它是一个非线性特征值。将矩阵定义为V=W=D，D=diag（e-αk，e-αk，e-αkN）。那么，T（λ）=DT（λ）D的元素是T（λ）mn=\'ωZsin（kmν′）sin（knν′）e（km+kn）（Z（Д′）-α） F级λ, 1 - λ、 1+km，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）×Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）dД′。

（24）转变（24）有助于按生长速率成比例减少元素，其中α在试验中被选为Z（Д）的最大值或平均值。标准的Matlab超几何函数非常慢。因此，我们用C实现了自己的函数，并将其作为mex函数插入到Matlab中。5.2特征值雪的计算我们考虑第4节中的数值方法在截断问题（20）中的应用。T（λ）最小特征值的切比雪夫近似（第4.1节）。对于该方法，使用Cholesky f factorisation和chebf-un（Driscoll et al.（2014））直接应用于寻找局部极小值。切比雪夫多项式插值（第4.2节）。在这里，我们考虑复杂的IgenValue，T（λ）的切比雪夫插值是使用chebfun实现的（Driscoll et al.（2014））。所得到的广义线性特征值问题在Matlab中用defaultmethod求解。轮廓积分法（第4.3节）。为了找到所有（复）特征值，我们必须选择合适的中心和半径来应用算法1。根据经验观察，特征值的分布非常均匀（见下表1），我们可以选择一个固定半径，并将中心稍微增加两倍以下，以找到下一个特征值。由于轮廓重叠，我们丢弃了之前发现的任何特征值。算法2对此进行了总结。算法2非线性特征值问题的轮廓积分算法1：如上所述选择u=u和R。2： 而u≤ umaxdo3：使用算法1，其中Γ=C（u，R），一个圆心为u且半径为R的圆。4：u=u+2R5：结束。在表1和表2中，我们比较了半解析法中不同方法（第4节）的近似非线性特征值和计算时间，以及Lipton和Savescu（2014）中有限元法的近似非线性特征值和计算时间。

考虑参数ρxy=0.8，ρxz=0.2，ρyz=0.5。对于半解析法，我们取N=20来近似（16）中的有限和，K=1000，L=500个正交节点。EV有限元切比雪夫近似轮廓积分/最小特征值T（λ）切比雪夫插值∧5.232 5.228 5.229（0.028）∧11.805 11.787 11.787（0.076）∧16.313 16.285 16.284（0.068）∧21.204 21.149 21.147（0.151）∧26.184 26.112 26.109（0.188）∧33.230 33.261（0.215）∧72.911 72.841 72.701 8（0.731）∧138.087 139.421 139.391（1.331）表1：参数特征值ρxy=0.8，ρxz=0.2，ρyz=0.5。在最后一列中，虚部在括号中。由于等高线积分法和切比雪夫多项式插值给出了多达5位数的相同结果，我们将它们合并在一列中。切比雪夫近似T（λ）轮廓积分的切比雪夫插值T（λ）最小特征值561.17 s 60.27 s 220.79稳定2：前30个特征值的计算时间。我们还将数值计算的非线性特征值与表3中ρxy=ρxz=ρyz=0（见附录B.4）情况下的解析表达式进行了比较。我们可以看到，半分析法远远优于有限元法。在这种情况下，半解析方法的优势在于，在经过大量计算后，非线性特征值问题存在有限的基础和截断，例如，NTERM不会改变解（见附录B.4）。这里，N选择得足够大，因此剩余误差主要来自切比雪夫方法中线性特征值问题的近似解和轮廓积分方法中的奇异值分解。EV值有限元切比雪夫近似切比雪夫轮廓积分。

T（λ）插值的eig∧12.0 0.018 4.1×10-153.6 × 10-121.3 × 10-12Λ30.0 0.097 9.5 × 10-141.1 × 10-113.4 × 10-12Λ30.0 0.105 9.5 × 10-141.1 × 10-113.4 × 10-12Λ56.0 0.309 7.7 × 10-126.0 × 10-116.1 × 10-11Λ56.0 0.353 7.7 × 10-126.0 × 10-116.1 × 10-11Λ90.0 0.767 1.0 × 10-105.4 × 10-107.8 × 10-10Λ132.0 2.311 2.3 × 10-51.8 × 10-94.5 × 10-8Λ306.0 8.896 1.3 × 10-24.1 × 10-81.0 × 10-表3：ρxy=0.0、ρxz=0.0、ρyz=0.0的特征值误差。我们给出了用不同方法计算的特征值与解析解之间的差异。从数值实验可以看出，基于最小线性特征值的方法速度较慢。基于轮廓积分和Chebyshevinterpolation的方法显示了最好的结果。从计算的角度来看，切比雪文插值比轮廓积分法更快，因为对于后者，我们必须在不同的圆上运行多次计算，以及沿轮廓计算数值积分。切比雪夫插值方法的复杂性包括两个步骤。第一步是使用（22）中的切比雪夫多项式在λ中插值T（λ），以获得多项式特征值问题。这可以用O（Nm）表示，其中n是特征值展开中的项数，m是切比雪夫基的维数。第二步是求解多项式特征值问题，其复杂性等于Nm×Nm矩阵的线性特征值分解的复杂性。因此，第二步的复杂度与矩阵乘法的复杂度成正比，即实际中的O（Nm）。理论上，可以使用O（Nωmω）为2<ω<2.37的算法（见Demmel et al.（200 7）），但发现该常数太大，无法与此处相关的矩阵大小竞争。我们在表4中对CPU时间进行了实证分析。

由于第一步的常数因子较高，因此它对小m起主导作用，而对大m起主导作用的是第二步。一旦我们计算了特征值和相应的特征向量，我们就可以使用表达式（13）计算ψ（Д，ζ）。图2给出了特征向量的一个示例，如（Д，θ）-平面所示。5.3扩展的收敛性和计算速度我们现在关注最有效的方法，即第4.2节中的切比雪夫插值方法。为了从数值上探讨收敛性，我们将格林函数的结果与特殊相关情形ρxy=-余弦π, ρxz=-余弦π, ρyz=0，使用图像方法（Escobar et al.（2013））。值得指出的是，我们不应该期望（t′，x′，y′，z′）中的一致收敛，特别是当t′时↓ t、 因为初始条件是狄拉克三角洲。在应用中，当t′>0时，感兴趣的量通常是格林函数空间变量中的一个积分。众所周知，当t′>0时，格林函数是平滑的。

在我们的实验中，我们考虑空间Lnorm（固定t′）进行比较。我们的截断G r een函数近似的形式为（τ，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=e-r′2+r2ττ√r′rMXl=1Iλlr′rτ××NXn=1clnsin（knИ′）储罐nθ′Fλl，1- λl，1+kn，sinθ′!××NXn=1clnsin（knх）储罐nθFλl，1- λl，1+kn，sinθ!.我们有几个数值参数：（i）M，t（5）的叠加解中的项数，即（16）中我们近似的非线性特征值和特征向量的数目；（ii）N，近似于有限维问题（16）的非线性特征值问题（20）的维数；（iii）m，在（22）中切比雪夫基的维数，用多项式逼近非线性广义值问题；（iv）K，近似（15）中积分的正交点的数量；另请参见第5.1节。随着这四个参数趋于一致，我们预计近似值会收敛。这尤其涉及到cnl与它们相乘的项相结合，以n，l的速度快速归零→ 此外，对于固定的n，l，cnlandλl，通过截断有限维Igenvalue问题隐式依赖于n，通过对有限维Igenvalue问题的近似依赖于m和K，需要收敛为n，m，K→ ∞.（a） 特征向量1∧=5.2（b）特征向量2∧=11.8（c）特征向量3∧=16.3（d）特征向量4∧=21.1（e）特征向量8∧=39.3（f）特征向量30∧=139.4图2：为ρxy=0.8、ρxz=0.2、ρyz=0.5获得的域的特征向量和相应特征值示例。在缺乏理论误差估计的情况下，我们对这一点进行了实证检验。

在我们的实验中，我们选择K=1000个节点作为（15）的tra-pezoid规则；用更少的节点就可以获得很好的容差，然而，即使K=10 00，这些积分的计算时间也不太重要（约占总特征值计算程序的10-15%）。我们现在提供三个实验：在每一个实验中，我们将剩余的两个参数（M，N，M）固定到足够大，并改变第三个参数，以将格林函数与解析解进行比较。对于N=30、M=50、M=100，在我们的实验中，任何一个参数的进一步增加都不会对格林函数的值产生超出此处要求精度的影响。结果和计算时间见下表4。回想一下，有限维非线性特征值问题（16）最终由（23）的（mN）维广义线性特征值问题近似。为了研究展开式中项数M的收敛性，我们从得到的mN特征值和相应的特征向量中选择最小的M。由于主要计算成本来自特征值问题的解决方案，这里的特征值问题与所有M相同，因此我们不报告不同M的计算时间。相比之下，使用Lipton和Savescu（2014）的有限元方法，使用1500点网格，我们得到的精度为3.1×10-5 CPU时间621s。该精度与m（约15）和Naround（约7）的半解析解相当，可在几分之一秒内计算。请注意，Lipton和Savescu（2014）的方法要求解决1500维（由有限元素的数量决定）广义线性特征值问题。

然而，在我们的测试中，成本主要取决于局部有限元网格的构建。m 10 20 50 80 100误差2.52×10-47.73 × 1 0-66.21 × 10-71.76 × 10-78.60 × 1 0-8CPU时间79.9 94.8 256.5 604.1 1070.1N 5 10 20 25 30错误7.92×10-53.46 × 1 0-62.68 × 10-78.60 × 10-88.60 × 1 0-8CPU时间9.9 56.6 333.1 667.4 1070.1M 5 10 20 40 50错误4.87×10-41.19 × 1 0-59.71 × 10-71.02 × 10-78.60 × 1 0-8表4：不同m（N=3 0，m=5 0）、N（m=100，m=50）和m（m=100，N=30）的格林函数误差形式。作为进一步的基准，我们在下表5中给出了二阶微分法（Hundsdorfer-Verwer方案；见Hundsdorfer和Verwer（2013））的结果。我们在每个空间方向上使用NX=100个点，在时间上使用NT=200个点。为了逼近误差，我们计算了网格{（x′i，y′j，z′k）=（i）上的格林函数x、 jy、 k级z） }覆盖一些[0，xmax]×[0，ymax]×[0，zmax]，然后通过数值求积err逼近误差≈Pi、j、kG（x′i，y′j，z′k，x，y，z）- G*（x′i，y′j，z′k，x，y，z）x个yz、 其中G（·）是半解析或数值解，G*（·）Escobar等人（2013）的分析溶液。数值初始条件选择asG（0，xi，xj，xk，x，x，x）=x个x个x、 xi=x，xj=x，xk=x，0，否则。为了近似Dirac delta，网格的构造方式应确保（x，x，x）与网格点重合。这是Pooley等人数值分析的非光滑初始条件近似的特例。