期望效用理论的时间解释

2] 这意味着u（t）必须是一个有漂移的布朗运动，du=audt+budW，（17），其中dW是维纳过程的最小增量。通过逆向论证，我们可以解决关于“r”存在的担忧。如果u遵循（等式17）规定的动力学，那么可以直接证明极限“r”始终存在并取值a。因此，决策标准（等式7）相当于“r”的优化，即时间平均增长率。可以选择过程x（t），使得（等式17）不适用于u（x）的任何选择。在这种情况下，我们无法动态解释，这样的过程很可能是病理性的。这给出了我们的中心结果：为了使EUT等效于优化超时，效用必须遵循一个具有平稳增量的加性随机过程，在我们的框架中，我们将其视为带漂移的布朗运动。这是一种迷人的普遍联系。如果我们观察非线性效用函数的物理原因是随时间变化的非线性影响，那么阿吉文效用函数编码了相应的随机财富过程。如果效用函数u（x）是不可变换的，即如果其逆函数x（u）存在，那么将It^o演算简单地应用于（等式17）可以直接得到财富x所服从的SDE。因此，每个可变的效用函数都编码一个唯一的动态财富，该财富是由效用中的布朗运动产生的。下面将对此进行进一步探讨。四、 动态从效用函数我们现在说明效用函数和财富动态之间的关系。出于上述原因，我们假设效用遵循带漂移的布朗运动。如果u（x）可以反转为x（u）=u-1（u），且x（u）是二次可微分的，则可以找到对应于效用函数u（x）的动力学。方程式（17）是一个It^o过程。

It^o引理告诉我们，dx将是另一个It^o过程，It^o公式规定了如何根据相关偏导数dx来找到dx=x个t+aux个u+bux个u| {z}ax（x）dt+bux个因此，我们已经证明了定理1。对于任何可逆效用函数u（x），可以得到相应财富过程的类dx，因此效用净变化的期望值的（线性）变化率是财富的时间平均增长率。因此，优化可持续性函数的预期变化相当于优化相应财富过程下第三节意义上的时间平均增长。优化期望效用的起源可以理解为：在18世纪，遍历过程和非遍历过程之间的区别是未知的，所有随机过程都是通过计算期望值来处理的。由于财富过程的期望值对于财富由非遍历过程建模的个人来说是一个不相关的数学对象，因此可用的方法失败了。通过引入财富的非线性映射，即效用函数，挽救了这种形式主义。（失败的）期望值标准被解释为理论最优，非线性效用函数被解释为人类行为的心理激励模式。从概念上讲，这是错误的。时间平均增长的优化认识到情况的非遍历性，并从一开始就计算出适当的对象——这一过程的构建块始于19世纪末。它并没有假设任何关于人类心理的东西，而且确实预测，在任何不需要人类的生长优化实体中，都会观察到同样的行为。A、 示例Sequation（18）创建一对效用函数u（x）和dynamics dx。

在离散时间内，在【14】中研究了两个这样的对，即案例1。和2。在下面线性效用平凡的线性效用函数对应于加性财富动力学（布朗运动），u（x）=x<-> dx=audt+budW。(19)2. 对数效用由伯努利于1738年引入【1】，对数效用函数被广泛使用，对应于乘法财富动力学（几何布朗运动），u（x）=ln（x）<-> dx=xau+budt+budW.（20） 在实践中，最有用的情况是乘法沃尔特动力学。但为了证明程序的普遍性，我们针对不同的特殊情况执行该程序，这在历史上很重要。平方根（Cramer）效用首次提出的效用函数是Cramer在1728年写给Daniel Bernoulli的一封信中提出的平方根函数u（x）=x1/2，部分复制于[1]。该函数是可逆的，即x（u）=u，因此（等式18）适用。我们注意到，在特定意义上，平方根位于线性函数和对数之间：limx→∞x1/2x=0和limx→∞ln（x）x1/2=0。由于线性效用产生加法动力，对数效用产生乘法动力，我们期望平方根效用产生介于两者之间或某种混合。替换（公式18）中的x（u）并进行我们发现的差异dx=2aux1/2+budt+2bux1/2dW（21）漂移项包含一个乘法元素（我们指的是与x相关的元素）和一个加法元素。我们看到，位于对数和线性函数之间的平方根效用函数确实代表了一种部分可加部分可乘的动态。（等式21）令人想起金融数学中的考克斯-英格索尔-罗斯模型[3]，尤其是当au<0时。类似的动力学，即。

噪声振幅与√x、 也在统计物理中吸收态相变的背景下进行了研究【5，8】。这封有300年历史的信与统计力学（statisticalmechanics）最近的工作有关，这并不奇怪：推动决策理论发展的问题，以及概率理论本身的问题，都离均衡过程很远。研究这些过程的方法直到20世纪才发展起来，并且构成了目前统计力学中所开展的大部分工作。五、 动态效用函数我们现在会问，在什么情况下可以反转过程（公式18）。什么时候可以找到给定动态的效用函数？换句话说，动态dx必须满足哪些条件，才能通过优化效用u（x）的预期净变化来表示随时间的优化？我们问一个给定的动态是否可以映射成一个效用，其增量由布朗运动（方程式17）描述。动力学是一个任意的It^o过程dx=ax（x）dt+bx（x）dW，（22），其中ax（x）和bx（x）是x的任意函数。为了将该动力学转化为效用的布朗运动，u（x）必须满足（式18）的等价物，并满足系数auand buin（式17）为常数的特殊要求，即du=ax（x）ux+bx（x）ux个| {z}audt+bx（x）ux |{z}budW。（23）明确地说，我们得出了两个方程，即系数sau=ax（x）u+bx（x）u（24）和bu=bx（x）u.（25）微分方程（等式25），如下所示，u（x）=-bubx（x）bx（x）。（26）用（式24）中的公式代替UAN和UAN，并对x（x）进行求解，我们发现漂移项是噪声计的函数，ax（x）=aububx（x）+bx（x）bx（x）。（27）换言之，只有了解动态才能确定是否存在相应的效用函数。

我们不需要显式地构造效用函数来知道漂移项和噪声项对是否一致。在确定存在一致效用函数的某些动力学之后，我们可以通过替换（等式24）中的bx（x）来构造它。这就产生了uau=ax（x）u+bu2uu（28）或0=-auu+ax（x）u+buu。（29）总体而言，三重态噪声项、漂移项、效用函数是相互依存的。给定噪声项，我们可以找到一致的漂移项，给定漂移项，我们可以找到效用函数的一致性条件（微分方程）。A、 例如，给定一个动态，可以检查此动态是否可以映射到效用函数，并且可以找到效用函数本身。我们考虑以下示例dx=奥布埃-x个-e-2倍dt+e-xdW。（30）我们注意到ax（x）=aubue-x个-e-2x和bx（x）=e-x、 方程（27）根据噪声项bx（x）对漂移项ax（x）施加条件。代入（等式27）表明，一致性条件由动态in（等式30）满足。图1.0 200 400 600 800 1000Time012345678CASH010020300400500效用图显示了（等式30）的典型轨迹。1： 财富轨迹x（t）的典型轨迹由（等式30）描述，参数值au=1/2和Bu=1，以及相应的布朗运动u（t）。注意，财富越大，x（t）中的波动越小。由于（等式30）是内部一致的，因此可以导出相应的效用函数。方程（25）是u（x）u（x）=bubx（x），（31）的一阶普通微分方程，可将tou（x）=Zxdxbubx（x）+C，（32）与C积分为任意积分常数。

正如冯·诺依曼（von Neumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）[15]所指出的那样，这一常数对应的事实是，只有效用的变化才是有意义的。无论是从动态的角度和时间平均值考虑，还是从一致的测量理论概念和期望值的角度考虑，这一稳健的特征都是可见的。用（式30）代替bx（x），（式31）becomesu（x）=buex，（33），这是图2中绘制的易于集成的tou（x）=buex+C，（34）。该指数效用函数是单调的，因此是可逆的，这反映在一致性条件满足的事实上。效用函数是凸的。从预期效用理论的角度来看，根据这一函数进行最佳行为的个人将被称为“风险寻求”动态视角对应于水的不同解释：在动态（等式30）下，“寻求风险”的个人表现最佳，即他的财富增长速度将快于厌恶风险的个人。动态（公式30）的特点是，财富的波动随着财富的增长而变小。因此，高财富是粘性的——个人将很快从低财富中摆脱出来，进入高财富。然后它将倾向于留在那里。六、 动态财富分布EUT的动态解释使得计算财富分布特别简单。效用函数u（x）意味着动态x（t），该动态生成财富分布Px（x，t）。我们知道u（t）遵循一个简单的布朗运动，因此我们知道u（t）是正态分布的，根据u（u，t）=Naut，但. （35）由于我们知道Pu（u，t），x的分布很容易得到。大人口中的财富分布，isPx（x，t）=Pu（u（x，t）dudx。（36）A.财富分配示例效用函数（等式34）对应于示例动态（等式30）。

任何时候t的财富分布可以解读为off（等式36）Px（x，t）=p2πbutexp-（buex+C- aut）p2but！buex，（37），如图3所示。就我们对动态的了解而言，这种分布是可以感知的——因为波动会随着财富的增加而减少，许多人会在高财富（所有那些已经远离低财富的人）中找到，而财富增长缓慢的人会有一条沉重的尾巴$0美元1美元2美元3美元4美元5CASH020406080101020140效用图。2： 效用函数（公式34），其中bu=1，C=0。优化该效用函数的预期变化也会优化相应动态下的时间平均增长（公式30）。一个不寻常的效用函数（如此处所示的convexfunction）反映了不寻常的动态，请参见正文$0.0美元0.5美元1.0美元1.5美元2.0美元2.5美元3.5美元4.0Cash0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035概率密度图。3： 财富的概率密度函数，也称为财富分布（公式37）。这种分配是由财富动态产生的（等式30）。时间固定为tot=5，我们使用au=1/2、bu=1和C=0。七、u（x）的无界性第五节中概述的方案为关于效用函数有界性的Debate提供了信息。由于卡尔·门格尔（Karl Menger）[10，11]，阿威尔在经济学文献中确立了一个错误的信念，即允许效用函数必须有界。我们之前已经论证过，有界性是一种不必要的限制，Menger的论点是无效的[12，14]。第五节暗示，我们在这里所提供的预期效用理论的解释正式要求效用函数的无限性。有界函数是不可逆的，因此Menger的错误结果导致了我们在这里给出的简单自然参数的错误。当然，u（x）是否有界实际上是相关的，因为x总是有限的。

然而，对于一个干净的数学形式主义来说，无界u（x）是非常可取的。考虑到零噪声的情况，这个问题很容易证明。因为在我们的处理中，u（x）总是遵循布朗运动，在零噪声的情况下，它遵循du=audt，（38）意味着时间上的线性增长。要使u有界，时间本身就必须有界。另一种观察问题的方法是将u（x）倒置为find x（u）。如果我们同时要求u（t）在时间上的线性增长，以及从上面得到的有界性，则limx→∞u（x）=Ub，那么x（t）必须在u（t）到达集线器所需的有限时间内发散，即Tb=Ubau（为简单起见，假设u（t=0）=0）。这些特征——时间的终结或财富的有限时间奇点——在形式主义中很难贯彻。由于它们没有物理意义，因此为了简单起见，应该选择没有它们的模型，即无界效用函数会更好。我们重申，门格尔反对无界效用函数的论点是无效的，我们不必担心它们。八、DiscussionOut是18世纪的一个补丁，适用于17世纪建立的令人敬畏的概念框架，该框架对人类行为做出了明显错误的预测。由于随机性数学在18世纪才刚刚起步，人们对概念问题进行了重新审视，效用理论将经济学推向了错误的方向。如果没有效用函数固有的任意性，现在就有可能赋予人们似乎要应用于货币量的非线性映射以物理意义。这些明显的映射只是对财富动态的非线性进行编码。[1] 伯努利。门苏拉溃疡新理论标本。L.Sommer（1954年）翻译的“风险衡量新理论的阐述”。《计量经济学》，22（1）：23–361738。[2] L.布雷曼。可能性Addison-Wesley出版公司，1968年。[3] J.C.Cox，J.E。

英格索尔和S.A.罗斯。资产价格的跨期一般均衡模型。《计量经济学》，53（2）：363–3841985。[4] J·M·哈里森。性能与控制的布朗运动。剑桥大学出版社，2013年。[5] H.Hinrichsen。非平衡临界现象和吸收态相变。高级物理。，49(7):815–958, 2000.[6] J.L.Kelly，Jr.信息率的新解释。贝尔系统。《技术杂志》，35（4）：917-9261956年7月。[7] P.E.Kloeden和E.Platen。《随机微分方程的数值解》，第23卷。Springer Science&Business Media，1992年。[8] J.Marro和R.Dickman。晶格模型中的非平衡相变。剑桥大学出版社，1999年。[9] D.Meder、F.Rabe、T.Morville、K.H.Madsen、M.T.Koudahl、R.J.Dolan、H.R.Siebner和O.J.Hulme。遍历性打破揭示了人类的时间最优经济行为。arXiv:1906.0465219年。[10] K.Menger。这是Wertlehre的一个不整洁的地方。J、 经济。，5(4):459–485, 1934.[11] O.彼得斯。曼格1934年重访。http://arxiv.org/abs/1110.1578, 2011.[12] O.彼得斯。非遍历性的最佳杠杆。《定量金融》，11（11）：1593–16022011年11月。[13] O.彼得斯。经济学中的遍历性问题。《自然物理学》，15:1216–1221199年。[14] O.Peters和M.GellMann。使用动力学评估赌博。混沌，26:231032016。[15] J.冯·诺依曼和O.摩根斯坦。博弈论与经济行为。普林斯顿大学出版社，1944年。[16] W.A.惠特沃思。选择和机会。戴顿·贝尔，第2版，1870年。