期望效用理论的时间解释

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英文标题：
《The time interpretation of expected utility theory》
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作者：
Ole Peters and Alexander Adamou
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Ergodicity economics is a new branch of economic theory that notes the conceptual difference between time averages and expectation values, which coincide only for ergodic observables. It postulates that individual agents maximise the time average growth rate of wealth, known widely as growth optimality. This contrasts with the dominant behavioural model in economics, expected utility theory, in which agents maximise expectation values of changes in psychologically transformed wealth. Historically, growth optimality was explored for additive and multiplicative gambles. Here we apply it to a general class of wealth dynamics, extending the range of economic situations where it may be used. Moreover, we show a correspondence between growth optimality and expected utility theory, in which the ergodicity transformation in the former is identified as the utility function in the latter. This correspondence offers a theoretical basis for choosing utility functions and predicts that wealth dynamics are strong determinants of risk preferences.
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中文摘要：
遍历性经济学是经济理论的一个新分支，它注意到时间平均值和期望值之间的概念上的差异，而期望值只与遍历观测值一致。它假设个体代理人最大化财富的时间平均增长率，即众所周知的增长最优性。这与经济学中占主导地位的行为模型预期效用理论形成了鲜明对比，在该理论中，代理人将心理转化财富变化的预期值最大化。历史上，增长最优性是为加法和乘法赌博探索的。在这里，我们将其应用于一般类别的财富动态，扩大了可能使用它的经济情况的范围。此外，我们还证明了增长最优性与期望效用理论之间的对应关系，其中前者的遍历性变换被确定为后者的效用函数。这种对应关系为选择效用函数提供了理论基础，并预测财富动态是风险偏好的有力决定因素。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> The_time_interpretation_of_expected_utility_theory.pdf (417.88 KB)

2022-6-2 22:05:47 上传

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关键词：期望效用 historically Determinants Quantitative expectation

期望效用理论的时间解释。Peters1,2，A.Adamou1*伦敦数学实验室，8 Margravine Gardens，W6 8RH London，Ukstanta Fe Institute，1399 Hyde Park Road，Santa Fe，NM 87501，USA（日期：2021 3月2日）。遍历性经济学是经济理论的一个新分支，它注意到时间平均值和期望值之间的概念差异，这仅适用于遍历观测值。它假设个体代理人使财富的时间平均增长率最大化，这被广泛称为增长最优性。这与经济学中占主导地位的行为模型，即预期效用理论形成了对比，在该理论中，代理人最大化了心理转化财富变化的预期值。历史上，增长最优性是为加法和乘法赌博探索的。在此，我们将其应用于一般类别的财富动态，扩大了可能使用它的经济情况的范围。此外，我们还展示了增长最优性与预期效用理论之间的对应关系，其中前者的遍历性转换被确定为后者的效用函数。这种对应关系为选择效用函数提供了理论基础，并预测财富动态是风险偏好的重要决定因素。PACS编号：02.50。Ey，05.10。Gg，05.20。Gg，05.40。JcI。引言预期效用理论（EUT）是不确定性决策的基础模型，起源于[1]。在该模型中，个体主体最大化了财富非线性变换中随机变化的数学期望。这种转换称为效用函数。它被视为编码代理人对风险的特殊厌恶，在固定偏好的标准假设下，这种厌恶在时间上是稳定的，不依赖于外部因素。

简言之，代理人并不关心反映其硬接线心理的财富转变的所有可能变化的平均值。由于效用是一种心理构造，EUT无法演绎推理哪个效用函数最能预测真实的人的决策。在revealedpreferences框架中，观察到此类决策，并对数据拟合效用函数。如果该人员的参考是稳定的，并且具有良好的专注度函数特征，那么希望他们未来的决策能够通过EUT进行预测。因此，在实践中，该理论是循环的：它声称代理人最大化预期效用，并将其定义为观察到的代理人数量最大化。它可以用来表示观测到的决策，但不能先验地预测它们。遍历性经济学（EE）是经济学的一个新分支，研究期望值在经济模型中的应用。参见【13】及其参考文献。根据大数定律，期望值是一个随机变量的可加性。当随机变量对经济主体的利益数量（如财富变化）进行建模时，其期望值类似于大型主体集体中的每个成员所取得的结果，他们同意*电子地址：o。peters@lml.org.uk一adamou@lml.org.ukpool并分享各自的成果。期望值与个体代理人没有机械相关性，个体代理人只接触其中一种可能的结果。一系列随机变量对代理人财富的影响可以用时间平均值来很好地描述。遍历性问题询问时间平均值是否等于期望值。

总的来说，尤其是对于经济学中所计算的增长过程增量而言，情况并非如此。EUT中财富向效用的转化可以被视为恢复理论上无关期望值的经验相关性的一种方式，通过引入自由使其能够适应行为数据。e以概念上不同的方式发展决策理论：通过建模物理（即未转换的）经济观察，如财富；并通过指定与个体代理人（而不是假设集体）机械相关的平均值。更具体地说，为了关注财富，EE寻求建立其时间演变的现实模型。这些模型采用随机过程的形式，其生成方程称为财富动力学。动态取决于代理人的经济环境，并与代理人的参考资料相关联。例如，一个有劳动力收入且没有储蓄的代理人将被很好地建模为财富的经验动态变化，而对于一个有大量投资资本的代理人，乘法动态将更为现实。EE假设代理人关心财富的时间平均增长率，即在长期的随机过程的单一轨迹中实现的增长率。这是一个暴露于一系列经济选择中的个体的机械相关最大值。相比之下，财富期望值的增长率，即所有可能轨迹的平均值，将与一组代理人有关。就一般财富动态而言，这些增长率是不同的。在EE中，假设所有代理人都有相同的偏好：最大化财富的时间平均增长率。这一决策标准并不新鲜，通常被称为增长最优性。

它在设定乘法赌博方面有着悠久的历史，在20世纪50年代以“凯利标准”而闻名，最早可追溯到19世纪70年代。[14]在EE框架中处理了加性和乘性财富动态的案例。增长率是多少？简单地说，它是增长函数中的时间系数。不同的动力学对应不同的增长函数，因此对应不同的增长率。例如，财富在时间上呈线性增长，x=gt，其增长率由dx/dt=g运算提取；而对于指数增长，x=exp（gt），增长率由d ln x/dt=g提取。在这两种情况下，从时变函数中获得一个常数，作为转化财富的变化率，在这些简单示例中为线性和对数。在随机增长模型中，不再可能找到变化率恒定的财富函数。相反，该函数在EE中称为遍历性变换，用于从随机过程中提取遍历增长率。本文中我们做了两件事。首先，我们将增长最优性推广到迄今为止文献中处理的加性和乘性财富动力学之外。从经济上讲，我们允许财富以一种普遍的方式发展，而不是通过收入和消费流或投资组合。这拓宽了可以在EE中建模的经济状况的范围。其次，我们通过指出给定财富动态的遍历增长率的时间平均值，由于其遍历性，等于其期望值，从而得出EE和UT之间的对应关系。通过将效用函数inEUT识别为EE中财富动态的遍历性变换，可以将增长最优决策表述为期望效用最大化。

我们证明了这一对应关系存在于一类财富动态，特别是那些承认遍历性变换的财富动态，并推导了这类财富动态的成员条件。相反，我们证明了所有可逆效用函数都有相应的财富动态，其中预期效用最大化是增长最优的。这两个概念上不同但已确立的行为模型之间的对应关系为这两个领域的研究人员开辟了诱人的新途径。由于财富动态是由外部定义的，因此对代理人的显性效用函数进行了先验预测。换言之，EE为EUT中效用函数的选择提供了一个理论基础，而EUT中缺少后者。相反，如果效用函数已经在EUT模型中指定，EE将从财富动态的角度对其进行物理解释。此外，财富动态的外生性意味着，如果动态发生变化，代理人的明显偏好也会随之改变。这与固定偏好的假设标准形成对比。最近进行了可控财富动态的实验，以比较EE的预测与具有固定偏好的EUT的预测【9】。他们支持EE的预测，即动力学是参数的强决定因素。二、预期效用理论在这里，我们简要回顾一下EUT。为了保持其相关性和可管理性，我们将其限制为财务决策。我们不会考虑一个苹果或一首诗的效用，而只考虑不同货币数量之间的效用差异。我们将自己限制在可以忽略决策的任何非财务附带情况的情况下。换言之，我们使用的是同一种经济形式。对于面临不同行动过程选择的代理人，EUT的工作流程如下所示。1.

想象在不同的动作下可能发生的一切：与任何动作A、B、C关联。一组可能的未来事件OhmA.OhmBOhmC2、估计每个行为的后果的可能性以及它们对你的财富的影响：对于setOhmA、 将概率p（ωA）与财富的变化联系起来xωA，每个基本事件ωA∈ OhmA、 对于所有其他集合也是如此。3、指定这些结果如何影响你的效用：定义效用函数u（x），该函数仅取决于财富并描述代理人的风险偏好。聚合每个事件的效用变化：计算与每个可用操作相关的效用的预期变化，huAi=POhmAp（ωA）u（x+x（ωA））-u（x），以及类似的动作B，C。5、选择最能提高效用的行动：具有最高预期效用变化的选项是代理的首选。我们假设此工作流程中的所有步骤都是可能的。因此，我们假设所有可能的未来事件、相关概率和财富变化都是已知的；适当的效用函数可用；效用变化的数学期望是一个数学对象，其排序反映了行为的偏好。为简单起见，我们还提出了一个共同的假设，即采取行动和体验相应财富变化之间的时间与采取的行动无关。三、 技术在此，我们介绍了EE中决策理论的技术发展，即一般财富动态下的时间平均增长率最大化。我们假设一个人的财富按照一个随机过程超时演化。这与经典决策理论不同，在经典决策理论中，财富是由一个没有动态的随机变量来描述的。

要将赌博转变为随机过程，并使我们开发的技术得以实施，必须假设一种动态，即赌博的重复模式，见【14】。个体需要从一组交替的随机过程中选择一个，比如x（t）和x*（t） 。我们认为这是通过考虑决策者在其长期限制内的表现来实现的。在每个决策时间t，我们的个体通过选择x（t）来最大化其财富的后续变化，这样，如果他等待的时间足够长，那么他在所选过程下的财富将比在替代过程下的财富更大。从数学上讲，存在一个非常大的t，使得弦x（t）的概率大于x*（t） 任意接近一个，ε、 x个*（t）t s.t.P(x>x个*) > 1.- , （1） 其中0<ε<1和x个≡ x（t+t）- x（t），（2）带x个*定义类似。由于数量x和x个*都是随机变量，对于任何一个特定的变量，后者都可能超过前者t、 仅在限制范围内t型→ ∞ 随机性是否从系统中消失。从概念上讲，该标准等同于最大化limt型→∞{x} 或者，等效地，limt型→∞{x个/t} 。然而，这两个限制都不能保证存在。例如，考虑两个几何布朗运动之间的选择，dx=x（udt+σdW），（3）dx*= x个*(u*dt+σ*dW），（4）u>σ/2和u*> σ*/2、工程量x个/坦德x个*/t两个在极限内发散t型→ ∞ 而一项要求选择较大者的决定未能达成。为了克服这个问题，我们引入了财富的montonicallyincreasing函数，我们称之为suggestivelyu（x）。我们定义：u≡ u（x（t+t） （）- u（x（t））；(5)u*≡ u（x*（t+t） （）- u（x*（t） ）。（6） u（x）的单调性意味着事件x>x个*和u>u*都是一样的。

拿t>0允许将此事件表示为u型/t>u*/t、 当（等式1）中的决策标准变为ε、 x个*（t）t s.t.Put>u*t型> 1.- . （7） 我们的决策标准已经重新制定，因此它关注的是变化率≡ut、 （8）与之前一样，它在概念上类似于最大化r≡ lim公司t型→∞ut型= lim公司t型→∞{r} 。（9） 如果x（t）满足以下讨论的特定条件，则可以选择函数u（x），以使该限制存在。我们将看到'r是第一节中提到的时间平均增长率。目前我们的标准为概率形式（公式7），但为了继续讨论，我们假设存在极限（公式9）。现在一切都已设置好，可以链接到EUT。或许（等式9）与嗯用户界面t=hri。（10） 然后，我们可以确定u（x）是效用函数，注意到我们的标准相当于最大化预期效用的变化率。韦诺特u和r是随机变量，但hri不是。取长时间限制是消除问题随机性的一种方法，取期望值是另一种方法。期望值只是另一个极限：它是随机数N次实现的平均值u、 在极限N内→ ∞. 去除随机性的效果是过程x（t）被压缩到刻度中u、 通过对相关标量进行排序，可以做出一致的传递性决策。一般来说，maximisinghri不会产生与（等式7）中支持的标准相同的决策。这仅适用于形状取决于过程x（t）的特定函数u（x）。我们的目标是找到这些过程和功能对。当使用u（x）作为效用函数时，EUT将与随时间的优化保持一致。

然后可以使用效用函数u（x）来解释观察到的与EUT一致的行为：这种行为将导致财富随时间的最快增长。我们要问的是，什么样的动态u必须遵循，以使r=hri，或者换句话说，使r是一个遍历可观测的，在这个意义上，它的时间和集合平均值是相同的【7，第32页】。我们从表达效用的变化开始，u、 当asum超过M个相等的时间间隔时，u≡ u（t+t）- u（t）（11）=MXm=1[u（t+mδt）- u（t+（m- 1） δt）]（12）=MXm=1δum（t），（13），其中δt≡ t/M和δum（t）≡ u（t+mδt）- u（t+（m- 1） δt）。根据（等式9），我们得到了r=limt型→∞(tMXm=1δum）（14）=limM→∞（MMXm=1δumδt），（15）保持δt固定。从（式10）中，我们得到hri=limN→∞（NNXn=1联合国t） （16）如果独立于u、 现在我们比较这两个表达式（公式15）和（公式16）。很明显，（等式15）中的r值不能取决于发散时间段的划分方式，因此间隔δt的长度必须是任意的，并且可以设置为t in（等式16），为了一致性，我们称δum（t）=um（t）。如果连续的加法增量，um（t），与unin（公式16），它只要求它们是稳定的和独立的。因此，我们对u（t）有一个条件，即它是一个随机过程，其加性增量是平稳且独立的。这意味着u（t）通常是一个L'evy过程。在不丧失真实感的情况下，我们将把注意力限制在具有连续路径的过程上。根据[4，p。